分数モデル

応用統計学において、分数モデルはある程度、二値応答モデルと関連している。しかし、二値変数の一方のビンに入る確率を推定するのではなく、分数モデルは通常、単位区間内のすべての可能な値を取る変数を取り扱う。適切な変換を行うことで、このモデルを他の任意の区間の値を取るように容易に一般化することができる。^{[1]例としては、} 401(k)プランの参加率^[2]からNBAのテレビ視聴率^[3]までが挙げられる。

説明

この問題をモデル化するアプローチは2つあります。どちらもx _iに線形な指標とリンク関数の組み合わせに依存していますが、^[4]、これは厳密には必要ではありません。最初のアプローチでは、yの対数オッズ変換をx _iの線形関数として用います。つまり、 です。このアプローチには2つの異なる理由から問題があります。y変数は境界値1と0を取ることができず、係数の解釈が単純ではありません。2つ目のアプローチは、ロジスティック回帰をリンク関数として用いることでこれらの問題を回避します。より具体的には、 ${\displaystyle \operatorname {logit} y=\log {\frac {y}{1-y}}=x\beta }$

${\displaystyle \operatorname {E} [y\lor x]={\frac {\exp(x\beta)}{1+\exp(x\beta)}}}$

この設定は2値ロジットモデルと非常に類似していることがすぐに明らかになりますが、y変数が単位区間内の値を実際に取り得るという点が異なります。非線形最小二乗法や準最尤推定法など、2値ロジットモデルの推定手法の多くは、不均一分散調整や部分効果計算と同様に、自然に引き継がれます。^[5]

この横断モデルには、内生的説明変数や観察されない異質効果といった重要な計量経済学的問題を考慮に入れるための拡張版が提供されている。厳密な外生性仮定の下では、パネルデータ手法を用いてこれらの観察されない効果を区別することが可能だが、より弱い外生性仮定の下でも整合的な推定値が得られる可能性がある。^{[6]内生性の問題に対処するため} の制御関数手法も提案されている。^[7]

参考文献

1. Wooldridge, J. (2002):クロスセクションとパネルデータの計量経済学的分析、MIT Press、ケンブリッジ、マサチューセッツ州。
2. Papke, LEおよびJM Wooldridge (1996):「分数応答変数の計量経済学的手法と401(k)プラン参加率への応用」応用計量経済学ジャーナル(11)、619–632頁
3. ハウスマン、JA、GK レナード (1997)：「全米バスケットボール協会のスーパースター：経済的価値と政策」労働経済ジャーナル(15)、586–624頁
4. McCullagh, P. および JA Nelder (1989):一般化線形モデル、CRC 統計および応用確率に関するモノグラフ (書籍 37)、第 2 版、Chapman and Hall、ロンドン。
5. Wooldridge, J. (2002):クロスセクションとパネルデータの計量経済学的分析、MIT Press、ケンブリッジ、マサチューセッツ州。
6. Papke, LEおよびJM Wooldridge (1996):「分数応答変数のためのパネルデータ法と試験合格率への応用」Journal of Econometrics (145), pp. 121–133
7. Wooldridge, JM (2005):「観測されない異質性と平均部分効果の推定」『計量モデルの識別と推論：トーマス・ローゼンバーグに捧ぐエッセイ集』アンドリュース、DWK、JHストック編、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、pp. 27–55