フレーム（線形代数）

線型代数学において、内積空間のフレームとは、ベクトル空間の基底を線型従属関係にある集合に一般化したものである。信号処理の用語では、フレームは冗長性があり安定した信号表現方法を提供する。^{[1]フレームは、}誤り検出・訂正、フィルタバンクの設計・解析、そしてより一般的には応用数学、コンピュータサイエンス、工学において用いられる。^[2]

歴史

フレームを取り巻く様々な数学的要素のため、フレーム理論は調和解析、関数解析、作用素論、線型代数、行列理論に根ざしている。^[3]

フーリエ変換は、信号の分解と展開を行う方法として1世紀以上にわたって使用されてきました。しかし、フーリエ変換では、信号の発信時刻と持続時間に関する重要な情報が隠されてしまいます。1946年、デニス・ガボールは、ノイズの低減、復元力の付与、量子化の実現を同時に実現し、重要な信号特性をカプセル化する手法を用いて、この問題を解決しました。 ^[1]この発見は、フレーム理論に向けた最初の協調的な取り組みとなりました。

フレーム条件は、リチャード・ダフィンとアルバート・チャールズ・シェーファーが1952年に発表した非調和フーリエ級数に関する論文において、線形従属の全域集合（彼らの用語では「ヒルベルト空間フレーム」）のベクトルの線形結合における係数を計算する方法として初めて記述されました。 ^[4] 1980年代には、ステファン・マラ、イングリッド・ドーブシー、イヴ・マイヤーがフレームを用いてウェーブレットを解析しました。今日では、フレームはウェーブレット、信号処理、画像処理、データ圧縮と関連付けられています。

定義と動機

動機付けの例: 線形従属集合から基底を計算する

体上のベクトル空間 があり、任意の元をベクトルの線形結合として表現したいとします。つまり 、${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}\subset V}$ ${\displaystyle \{c_{k}\}\subset F}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

集合 がを張らない場合、そのような係数はすべての に対して存在しません。が を張っており、 も線形独立である場合、この集合 はの基底を形成し、係数はによって一意に決定されます。しかし、が を張るがは線形独立でない場合、係数をどのように決定するかという問題は、特に が無限次元である場合に、あまり明確ではなくなります。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

が張っていて線型従属であることを考えると、一つの戦略は、線型独立になって基底を形成するまで集合からベクトルを除去することです。この計画にはいくつか問題があります。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$

1. セットから任意のベクトルを削除すると、線形独立になる前にセットを張ることができなくなる可能性があります。${\displaystyle V}$
2. 集合が基底になるまでベクトルを除去する特定の方法を考案することが可能であったとしても、集合が大きいか無限である場合、このアプローチは実際には実行不可能になる可能性がある。
3. アプリケーションによっては、 を表現するのに必要な数よりも多くのベクトルを使用する方が有利な場合があります。これは、 の要素を削除せずに係数を求めることを意味します。係数はによって一意に決定されなくなります。したがって、ベクトルはの線形結合として複数の方法で表現できます。${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle c_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

意味

を内積空間とし、を のベクトル集合とする。集合がのフレームであるとは、いわゆるフレーム条件を満たすことを意味する。つまり、^[5]を満たす2つの定数が存在することを意味する。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \sum _{k\in \mathbb {N} }\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

フレームがベクトル空間のリース基底でないとき、そのフレームは過剰完備（または冗長）と呼ばれる。フレームの冗長性は、それぞれフレームの下限境界と上限境界（または冗長係数）とで測られる。^[6] つまり、-次元空間における正規化ベクトルのフレームは、次式を満たすフレーム境界を持つ。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle K\geq N}$ ${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle 0<A\leq {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{K}|\langle \mathbf {e} _{k},\mathbf {e} _{k}\rangle |^{2}={\frac {K}{N}}\leq B<\infty .}$

フレームがリース基底であり、したがって線形独立である場合、 となります。 ${\displaystyle A\leq 1\leq B}$

フレーム境界は一意ではありません。なぜなら、より小さい数やより大きい数も有効なフレーム境界となるからです。最適な下限はすべての下限の上限であり、最適な上限はすべての上限の 下限です。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

分析演算子

フレーム条件が満たされる場合、次のように定義される線形演算子^[7]

${\displaystyle \mathbf {T} :V\to \ell ^{2},\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {T} \mathbf {v} =\{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle \}_{k\in \mathbb {N} },}$

フレーム係数の列への写像は解析演算子と呼ばれる。この定義を用いると、フレーム条件は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle c_{k}=\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e_{k}} \rangle }$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\sum _{k}\left|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \right|^{2}\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

合成演算子

解析演算子の随伴演算子はフレームの合成演算子と呼ばれ、次のように定義される[ ^8]

${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}:\ell ^{2}\to V,\quad \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }\mapsto \sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}.}$

フレーム演算子

分析演算子と合成演算子の合成により、次のように定義される フレーム演算子が得られる。

${\displaystyle \mathbf {S} :V\rightarrow V,\quad \mathbf {v} \mapsto \mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

この定義と内積の最初の引数の線形性から、フレーム条件は次のようになる。

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq \left\|\mathbf {T} \mathbf {v} \right\|^{2}=\langle \mathbf {S} \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}.}$

解析演算子が存在する場合、フレーム演算子とその逆演算子も存在します。 と はどちらも正定値で有界な自己随伴演算子であり、その結果、 とはのスペクトルの最小値と最大値になります。^[9]有限次元では、フレーム演算子は自動的にトレースクラスとなり、 と はの最小および最大固有値、またはそれと同等にの最小および最大特異値に対応します。^[10]${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

基地との関係

フレーム条件は、の信号と の係数のシーケンス間のノルム等価性を維持するパーセバルの恒等式の一般化です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$

集合が のフレームである場合、 はを張る。そう でない場合、すべての に直交する非ゼロ集合が少なくとも1つ存在し、${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$

${\displaystyle A\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}\leq 0\leq B\left\|\mathbf {v} \right\|^{2};}$

フレーム条件または仮定に違反します。 ${\displaystyle \mathbf {v} \neq 0}$

しかし、 の全域集合は必ずしもフレームではない。例えば、の内積と、で与えられる 無限集合を考えてみよう。${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \left\{(1,0),\,(0,1),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right),\,\left(0,{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}\right),\dotsc \right\}.}$

このセットは、 ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \sum _{k}\left|\langle \mathbf {e} _{k},(0,1)\rangle \right|^{2}=0+1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\dotsb =\infty ,}$

有限な上側フレーム境界Bを選択することはできません。したがって、この集合はフレームではありません。 ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

デュアルフレーム

フレームをフレーム条件を満たすものとし、双対演算子は次のように定義される 。${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle {\widetilde {\mathbf {T} }}\mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle ,}$

と

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} )^{-1}\mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

双対座標系（または共役座標系）と呼ばれる。これは（基底の双対基底に似た）の標準的な双対であり、 ^[11]${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},}$

そしてその後のフレーム条件

${\displaystyle {\frac {1}{B}}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \sum _{k}|\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle |^{2}=\langle \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} \rangle =\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq {\frac {1}{A}}\|\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

標準双対性は相互関係である。つまり、フレームが の標準双対であれば、フレームはの標準双対である。これが意味を成すことを確認するために、を の元とし、${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\},}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {\tilde {e}} _{k}\}.}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.}$

したがって

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k})=\mathbf {S} ^{-1}\left(\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}\right)=\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {S} \mathbf {v} =\mathbf {v} ,}$

それを証明する

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}.}$

あるいは、

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

とその逆関数 の特性を適用すると、次のことが分かります。${\displaystyle \mathbf {S} }$

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\sum _{k}\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}=\mathbf {S} (\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {v} )=\mathbf {v} ,}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

過剰完備フレームは、 係数の選択にある程度自由度を与え、 となる。つまり、の双対フレームが存在し、に対して ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle c_{k}\neq \langle \mathbf {v} ,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$ ${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{k}c_{k}\mathbf {e} _{k}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {g} _{k}\}\neq \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {g} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

デュアルフレーム合成と分析

がヒルベルト空間の部分空間であり、と がそれぞれ の標構と双対標構であるとする。が に依存しない場合、双対標構は次のように計算される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle f\in H}$

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{k}=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {e} _{k},}$

ここで はから への制約を表し、は上で可逆となる。におけるの最良線形近似はから への直交射影によって与えられ、次のように定義される。 ${\displaystyle \mathbf {T} _{V}}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in H}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle P_{V}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k}=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}.}$

デュアルフレーム合成演算子は次のように定義される。

${\displaystyle P_{V}f={\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {T} f=(\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} _{V})^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {\tilde {e}} _{k},}$

そして直交射影はフレーム係数から計算される。双対解析では、直交射影は次のよう に計算される。${\displaystyle \langle f,\mathbf {e} _{k}\rangle }$ ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$

${\displaystyle P_{V}f=\mathbf {T} ^{*}{\widetilde {\mathbf {T} }}f=\sum _{k}\langle f,\mathbf {\tilde {e}} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k}}$

デュアルフレーム解析演算子を用いる。^[12]${\displaystyle \{{\widetilde {\mathbf {T} }}f\}_{k}=\langle f,{\tilde {\mathbf {e} }}_{k}\rangle }$

アプリケーションと例

信号処理では、信号をヒルベルト空間のベクトルとして表現するのが一般的です。この解釈では、フレームベクトルの線形結合として表現されるベクトルは冗長信号です。信号を線形独立ベクトルの集合で厳密に表現することが、必ずしも最もコンパクトな形式であるとは限りません。^[13]フレームを使用すると、基本信号の集合と比較して、より単純で疎な信号表現を作成できます。したがって、フレームは「堅牢性」を提供します。フレームは空間内で同じベクトルを生成する方法を提供するため、信号をさまざまな方法で符号化できます。これにより、フォールトトレランスと信号損失に対する回復力が向上します。最後に、冗長性はノイズを軽減するために使用でき、これは信号の復元、強調、および再構築に関連しています。

非調和フーリエ級数

調和解析から、複素三角関数系は の直交基底を形成することが知られている。したがって、は の（タイトな）フレームであり、境界はである。^[14]${\textstyle \{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$ ${\textstyle \{e^{ikx}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle A=B=2\pi }$

系は「十分に小さい」摂動の下で安定であり、フレームはのリース基底を形成する。したがって、のあらゆる関数は、唯一の非調和フーリエ級数表現 を持つ。${\displaystyle \{\lambda _{k}-k\}}$ ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{i\lambda _{k}x},}$

とはフーリエ枠（または指数関数枠）と呼ばれる。「十分に小さい」とは、ミハイル・カデッツにちなんで名付けられた次の定理によって記述される。^[15]${\textstyle \sum |c_{k}|^{2}<\infty }$ ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

カデックの1 ⁄ 4定理—実数列を次のように 表す${\textstyle \{\lambda _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle |\lambda _{k}-k|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,}$

すると、 はPaley-Wiener 基準を満たし、 の Riesz 基底を形成します。 ${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

この定理はフレームに簡単に拡張することができ、整数を別の実数列に置き換えると^{[16] [17]}${\textstyle \{\mu _{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle |\lambda _{k}-\mu _{k}|\leq L<{\frac {1}{4}},\quad \forall k\in \mathbb {Z} ,\quad {\text{and}}\quad 1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)<{\sqrt {\frac {A}{B}}},}$

境界の あるフレームです${\textstyle \{e^{i\lambda _{k}x}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$ ${\textstyle L^{2}(-\pi ,\pi )}$

${\displaystyle A(1-{\sqrt {\frac {B}{A}}}(1-\cos(\pi L)+\sin(\pi L)))^{2},\quad B(2-\cos(\pi L)+\sin(\pi L))^{2}.}$

フレームプロジェクター

フレームの冗長性は、フレーム係数から発生するノイズを軽減するのに役立ちます。ノイズを含むフレーム係数を用いて計算されたベクトルを とします。このノイズはの画像に投影することで軽減されます。 ${\displaystyle \mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

定理—をヒルベルト空間のフレームとし、その部分空間とする。直交射影は ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{k}\}}$ ${\displaystyle P:\ell ^{2}\to \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$

${\displaystyle P\mathbf {a} _{k}=\mathbf {T} {\widetilde {\mathbf {T} }}^{*}\mathbf {a} =\mathbf {T} (\mathbf {T} ^{*}\mathbf {T} )^{-1}\mathbf {T} ^{*}\mathbf {a} _{k}=\sum _{p}\mathbf {a} _{p}\langle {\tilde {\mathbf {e} }}_{p},\mathbf {e} _{k}\rangle .}$

係数は、次の場合のみフレーム係数となる。${\displaystyle \mathbf {a} \in \ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {T} f}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$

${\displaystyle P\mathbf {a} _{k}=\mathbf {a} _{k}.}$

シーケンス空間と（として）は、行列によって与えられる核を持つ再生核ヒルベルト空間である。^[9]そのため、上記の式は再生核方程式とも呼ばれ、フレーム係数の冗長性を表現している。^[18]${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )}$ ${\displaystyle \operatorname {im} (\mathbf {T} )\subseteq \ell ^{2}}$ ${\displaystyle M_{k,p}=\langle \mathbf {S} ^{-1}\mathbf {e} _{p},\mathbf {e} _{k}\rangle }$

特殊なケース

タイトなフレーム

フレームがタイトフレームであるのは、次の場合である。フレーム境界を持つタイトフレームは、次の性質を持つ。 ${\displaystyle A=B}$ ${\textstyle \{\mathbf {e} _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{A}}\sum _{k}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \mathbf {e} _{k},\quad \forall \mathbf {v} \in V.}$

例えば、ベクトル空間の互いに素な直交基底の和は を持つ過剰完備タイトフレームである。のとき、タイトフレームはパーセバルフレームである。^[19]各直交基底は（完全な）パーセバルフレームであるが、その逆は必ずしも真ではない。^[20]${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A=B=k}$ ${\displaystyle A=B=1}$

等ノルムフレーム

フレームは、各 に対して となる定数が存在するとき、等ノルムフレームと呼ばれます。等ノルムフレームは、 のとき正規化フレーム（単位ノルムフレームと呼ばれることもあります）です。^[21]単位ノルムパーセバルフレームは直交基底です。このようなフレームはパーセバルの恒等式を満たします。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \|\mathbf {e} _{k}\|=c}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c=1}$

等角フレーム

フレームが等角フレームであるとは、すべての に対してとなる定数が存在することを意味する。特に、すべての直交基底は等角である。^[22]${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |\langle \mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\rangle |=c}$ ${\displaystyle i\neq j}$

正確なフレーム

フレームの真部分集合が内積空間を張らない場合、その フレームは正確なフレームである。内積空間の各基底は、その空間の正確なフレームである（したがって、基底はフレームの特別なケースである）。

一般化

セミフレーム

場合によっては、両方のフレーム境界を同時に満たすことができないことがあります。上（または下）セミフレームとは、上（または下）フレーム不等式のみを満たす集合です。^[9]ベッセル列は、上フレーム不等式のみを満たすベクトル集合の例です。

係数から再構成される任意のベクトルには、次のような 定数が存在していれば十分である。${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$ ${\displaystyle \{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {e} _{k}\rangle \}_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle A>0}$

${\displaystyle A\|x-y\|^{2}\leq \|Tx-Ty\|^{2},\quad \forall x,y\in V.}$

分析演算子の線形性 を設定して適用すると、この条件は次の式と同等になります。${\displaystyle \mathbf {v} =x-y}$

${\displaystyle A\|\mathbf {v} \|^{2}\leq \|T\mathbf {v} \|^{2},\quad \forall \mathbf {v} \in V,}$

これはまさに下限フレーム境界条件です。

フュージョンフレーム

融合フレームは、単一の部分空間の代わりに、正のスカラー重みを持つ閉部分空間の集合を考慮する、双対フレーム合成演算子および双対フレーム解析演算子の拡張として理解するのが最も適切である。融合フレームは、フレーム条件を満たす 族である。${\displaystyle V\subseteq H}$ ${\displaystyle \{W_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }\subseteq H}$ ${\displaystyle \{w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \{W_{i},w_{i}\}_{i\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle A\|f\|^{2}\leq \sum _{i}w_{i}^{2}\|P_{W_{i}}f\|^{2}\leq B\|f\|^{2},\quad \forall f\in H,}$

ここで は部分空間への直交射影を表す。^[23]${\displaystyle P_{W_{i}}}$ ${\displaystyle W_{i}}$

連続フレーム

がヒルベルト空間、局所コンパクト空間、が上の局所有限ボレル測度であるとする。このとき、 内の測度を持つベクトル集合が連続フレームであるとは、定数が 存在し、${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 0<A\leq B}$

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \int _{X}|\langle f,f_{x}\rangle |^{2}d\mu (x)\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

連続フレームが実際に上記のフレームの自然な一般化であることを確認するために、離散集合と、ディラック測度である測度 を考えてみましょう。すると、連続フレーム条件は次のように帰着します。 ${\displaystyle \Lambda \subset X}$ ${\displaystyle \mu =\delta _{\Lambda }}$ ${\displaystyle \delta _{\Lambda }}$

${\displaystyle A||f||^{2}\leq \sum _{\lambda \in \Lambda }|\langle f,f_{\lambda }\rangle |^{2}\leq B||f||^{2},\quad \forall f\in H.}$

離散の場合と同様に、連続フレームを扱うときにも分析、合成、フレーム演算子を定義できます。

連続分析オペレーター

連続フレームが与えられた場合、連続解析演算子は次のように定義される関数にマッピングされる演算子です。 ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T:H\to L^{2}(X,\mu )}$ による。 ${\displaystyle f\mapsto \langle f,f_{x}\rangle _{x\in X}}$

連続合成演算子

連続解析演算子の随伴演算子は連続合成演算子であり、これは写像である。

${\displaystyle T^{*}:L^{2}(X,\mu )\to H}$ による。${\displaystyle a_{x}\mapsto \int _{X}a_{x}f_{x}d\mu (x)}$

連続フレーム演算子

連続分析演算子と連続合成演算子の合成は、連続フレーム演算子として知られています。連続フレームの場合、これは次のように定義されます。 ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$

${\displaystyle S:H\to H}$ による${\displaystyle Sf:=\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle f_{x}d\mu (x).}$

この場合、連続フレーム投影は次のように定義される正射影である。 ${\displaystyle P:L^{2}(x,\mu )\to \operatorname {im} (T)}$

${\displaystyle P:=TS^{-1}T^{*}.}$

射影子は再生核を持つ積分作用素であり、したがって再生核ヒルベルト空間である。^[9]${\displaystyle P}$ ${\displaystyle K(x,y)=\langle S^{-1}f_{x},f_{y}\rangle }$ ${\displaystyle \operatorname {im} (T)}$

連続デュアルフレーム

連続フレームと別の連続フレームが与えられたとき、 がすべて に対して次の条件を満たす場合、は の連続デュアルフレームであると言われます。 ${\displaystyle \{f_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle \{g_{x}\}_{x\in X}}$ ${\displaystyle \{f_{x}\}}$ ${\displaystyle f,h\in H}$

${\displaystyle \langle f,h\rangle =\int _{X}\langle f,f_{x}\rangle \langle g_{x},h\rangle d\mu (x).}$

フレーム化された正の演算子値測度

フレームが基底を線形従属である可能性のあるセットに自然に一般化したものであるのと同様に、正演算子値測度(POVM) は、POVM の要素が必ずしも直交射影ではないという点で、射影値測度(PVM)の自然な一般化です。

がボレルσ-代数を持つ測定空間であるとし、が から上の正作用素の空間へのPOVMで、次の追加の性質を持つと する。${\displaystyle (X,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle 0<AI\leq F(M)\leq BI<\infty ,}$

ここでは恒等演算子である。そしてはフレーム付きPOVMと呼ばれる。^[23]${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$

融合フレーム条件の場合、これにより置換が可能になる。

${\displaystyle F(m)=\sum _{i\in m}w_{i}P_{W_{i}},\quad m\in M.}$

連続フレーム演算子の場合、フレームPOVMは^[24]

${\displaystyle \langle F(M)f_{x},f_{y}\rangle =\int _{M}\langle Sf_{x},f_{y}\rangle d\mu (x).}$

参照

• kフレーム
• 双直交ウェーブレット
• 直交ウェーブレット
• 制限された等長性特性
• シャウダー基底
• 調和解析
• フーリエ解析
• 機能解析

注記

1. コヴァチェヴィッチ & チェビラ 2008、p. 6.
2. カサッツァ、クティニオク、フィリップ 2013、p. 1.
3. カサッツァ、クティニオク、フィリップ 2013、p. 2.
4. ダフィン＆シェーファー 1952年。
5. マラット 2009、155–157ページ。
6. マラット 2009、22ページ。
7. カサッツァ、クティニオク、フィリップ 2013、p. 18.
8. カサッツァ、クティニオク、フィリップ 2013、p. 19.
9. アントワーヌ＆バラス 2012.
10. マラット 2009、156ページ。
11. ダフィン&シェーファー、1952年、358–362ページ。
12. マラット 2009、161–163頁。
13. マラット 2009、1ページ。
14. クリステンセン 2016、232ページ。
15. ヤング2001、36ページ。
16. クリステンセン 2016、238頁。
17. ヤング2001、160ページ。
18. マラット 2009、166–167頁。
19. クリステンセン 2016、153–155 ページ。
20. クリステンセン 2016、23ページ。
21. クリステンセン 2016、3ページ。
22. クリステンセン 2016、43ページ。
23. Moran、Howard、Cochran 2013より。
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