フレドホルムの定理

数学において、フレドホルムの定理は、積分方程式のフレドホルム理論におけるイヴァル・フレドホルムの著名な結果の集合です。密接に関連する定理がいくつかあり、積分方程式、線型代数、またはバナッハ空間上のフレドホルム作用素を用いて述べることができます

フレドホルム代替定理はフレドホルム定理の 1 つです。

線型代数

線型代数におけるフレドホルムの定理は次のとおりです。Mが行列である場合、Mの行空間の直交補空間は Mの零空間です

${\displaystyle (\operatorname {row} M)^{\bot }=\ker M.}$

同様に、 Mの列空間の直交補空間は随伴空間の零空間である。

${\displaystyle (\operatorname {col} M)^{\bot }=\ker M^{*}.}$

積分方程式

積分方程式に対するフレドホルムの定理は次のように表されます。を積分核とし、同次方程式を考えます${\displaystyle K(x,y)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=\lambda \phi (x)}$

およびその複素随伴関数

${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi (x){\overline {K(x,y)}}\,dx={\overline {\lambda }}\psi (y).}$

ここで、は複素数の複素共役を表し、 についても同様です。すると、フレドホルムの定理は、 の任意の固定値に対して、これらの方程式は自明な解を持つか、または同じ数の線形独立な解 を持つ というものです。${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\overline {K(x,y)}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)=0}$ ${\displaystyle \phi _{1}(x),\cdots ,\phi _{n}(x)}$ ${\displaystyle \psi _{1}(y),\cdots ,\psi _{n}(y)}$

この定理が成り立つための十分な条件は、 が長方形上で平方積分可能であることです(ここで、aおよび/またはb は負または正の無限大です)。 ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$

ここで、積分は実数直線上の1次元積分として表される。フレドホルム理論では、この結果は、例えばリーマン多様体を含む多次元空間上の積分作用素に一般化される。

解決策の存在

フレドホルムの定理の一つは、フレドホルムの代替定理と密接に関連しており、非同次フレドホルム方程式の解の存在に関するものである

${\displaystyle \lambda \phi (x)-\int _{a}^{b}K(x,y)\phi (y)\,dy=f(x).}$

この方程式の解は、関数が対応する同次随伴方程式の 解の完全な集合に直交する場合にのみ存在します。${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \{\psi _{n}(x)\}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\overline {\psi _{n}(x)}}f(x)\,dx=0}$

ここでは の複素共役であり、前者は の完全な解の集合の1つである。 ${\displaystyle {\overline {\psi _{n}(x)}}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x)}$

${\displaystyle \lambda {\overline {\psi (y)}}-\int _{a}^{b}{\overline {\psi (x)}}K(x,y)\,dx=0.}$

この定理が成り立つための十分条件は、 が長方形上で平方積分可能であることです。 ${\displaystyle K(x,y)}$ ${\displaystyle [a,b]\times [a,b]}$

参考文献

• EI Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Math. , 27 (1903) pp. 365–390
• ワイスタイン、エリック・W.「フレドホルムの定理」。MathWorld。
• BV Khvedelidze (2001) [1994]、「フレドホルムの定理」、数学百科事典、EMSプレス