フレンケル・コントロヴァモデル

フレンケル・コントロバ（FK）モデルは、低次元非線形物理学の基本モデルである。^{[ 1 ]}

一般化されたFKモデルは、最近接相互作用を持つ古典粒子の鎖と、周期的なオンサイト基質ポテンシャルを記述する。^{[ 2 ]}元来の最も単純な形では、相互作用は調和振動であり、ポテンシャルは粒子の平衡距離に比例した周期を持つ正弦波であるとされる。相互作用と基質ポテンシャルの異なる選択、そして駆動力の導入によって、多種多様な物理的状況を記述することができる。

FKモデルは、転位芯近傍の結晶格子の構造とダイナミクスを記述するために1938年にヤコフ・フレンケルとタチアナ・コントロヴァによって最初に導入されましたが、多くの物理現象を記述するために適用できるため、凝縮系物理学における標準モデルの1つとなっています。FKモデルでモデル化できる物理現象には、転位、表面上の吸着層のダイナミクス、クラウディオン、磁気秩序構造の磁壁、長ジョセフソン接合、水素結合鎖、DNA型鎖などがあります。^{[ 3 ] [ 4 ]} FKモデルの修正版であるトムリンソンモデルは、トライボロジーの分野で重要な役割を果たしています。

FKモデルの定常配置の方程式は、確率理論の標準マップまたはチリコフ・テイラーマップの方程式に還元される。^{[ 1 ]}

連続体極限近似において、FKモデルは正確に積分可能なサイン・ゴードン（SG）方程式に帰着し、ソリトン解を許容する。このため、FKモデルは「離散サイン・ゴードン」または「周期的クライン・ゴードン方程式」とも呼ばれる。

歴史

周期的基質ポテンシャルにおける調和波鎖の単純なモデルは、1928年にウルリッヒ・デリンガーによって提案された。デリンガーはこのモデルの安定解の近似解析式を導出し、これを「Verhakungen （意味論）」と名付けた。これは今日ではキンク対と呼ばれるものに相当する。ルートヴィヒ・プラントルは1912年から1913年にかけて本質的に類似したモデルを開発していたが、1928年まで出版されなかった。^{[ 5 ]}

このモデルは、ヤコフ・フレンケルとタチアナ・コントロヴァが1938年の論文「塑性変形と双晶形成の理論について」で独立に提案したもので、転位近くの結晶格子のダイナミクスと結晶の双晶形成を記述するために用いられた。^{[ 4 ]}標準的な線形調和連鎖では、原子の変位は波となり、安定する構成は自明な構成のみとなる。フレンケルとコントロヴァの非線形連鎖の場合、自明な構成のほかに安定な構成が存在する。原子の変位が小さい場合、状況は線形連鎖に似ているが、変位が十分に大きい場合は、移動する単一の転位を作り出すことが可能であり、フレンケルとコントロヴァはこれについて解析解を導出した。^{[ 6 ]}これらの転位の形状は、質量やバネの弾性定数などのシステムのパラメータによってのみ定義される。

転位はソリトンとも呼ばれ、分散した非局所的な欠陥であり、数学的には位相欠陥の一種です。ソリトン／転位の特徴は、安定した粒子のように振る舞い、全体的な形状を維持しながら移動できることです。等しく反対向きの2つのソリトンは衝突により打ち消し合う可能性がありますが、1つのソリトンが自発的に消滅することはありません。

一般化モデル

一般化されたFKモデルは、周期的なオンサイトポテンシャルにおける最近傍相互作用を持つ1次元原子鎖を扱う。このシステムの ハミルトニアンは

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {m_{a}}{2}}\sum _{n}\left({\frac {dx_{n}}{dt}}\right)^{2}+U,}$

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ここで、最初の項は質量 の原子の運動エネルギーであり、位置エネルギーは最近接相互作用による位置エネルギーと基質電位による位置エネルギーの合計です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{a}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U=U_{\text{sub}}+U_{\text{int}}}$

基質電位は周期的である、すなわち、ある に対してである。 ${\displaystyle U_{\text{sub}}(x+a_{s})=U_{\text{sub}}(x)}$ ${\displaystyle a_{s}}$

非調和相互作用および/または非正弦ポテンシャルの場合、FK モデルは整合-不整合相転移を引き起こします。

FKモデルは、1つのサブシステムを線形チェーンとして近似し、2番目のサブシステムを静止した基質電位として近似できる2つの結合したサブシステムとして扱うことができる任意のシステムに適用できます。^{[ 1 ]}

一例として、結晶表面への層の吸着が挙げられます。ここでは、吸着層は鎖として近似でき、結晶表面はオンサイト電位として近似できます。

古典モデル

この節では、FKモデルの最も単純な形を詳細に検討する。この導出の詳細なバージョンは文献に記載されている^{[ 2 ]} 。このモデルは、調和最近傍相互作用を持ち、正弦波ポテンシャルを受ける1次元原子鎖を記述する。原子の横方向の運動は無視され、すなわち原子は鎖に沿ってのみ移動できる。この状況におけるハミルトニアンは1で与えられ、相互作用ポテンシャルは次のように指定する。

${\displaystyle U_{\text{int}}={\frac {g}{2}}\sum _{n}(x_{n+1}-x_{n}-a_{0})^{2},}$

ここで、は弾性定数、は原子間平衡距離である。基質電位は ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle U_{\text{sub}}={\frac {\epsilon _{s}}{2}}\sum _{n}\left[1-\cos {\frac {2\pi x_{n}}{a_{s}}}\right],}$

は振幅、 は周期です。 ${\displaystyle \epsilon_{s}}$ ${\displaystyle a_{s}}$

ハミルトニアンを書き換えるために、次の無次元変数が導入されます。

${\displaystyle x_{n}\to \left({\frac {2\pi }{a_{s}}}\right)x_{n},\quad t\to \left({\frac {2\pi }{a_{s}}}\right){\sqrt {\frac {\epsilon _{s}}{2m_{a}}}}t,\quad a_{0}\to {\frac {2\pi }{a_{s}}},\quad g\to g{\frac {a_{s}/2\pi ^{2}}{\epsilon _{s}/2}}.}$

無次元形式ではハミルトニアンは

${\displaystyle H={\frac {\mathcal {H}}{\epsilon _{s}/2}}=\sum _{n}\left[{\frac {1}{2}}{\frac {dx_{n}}{dt}}^{2}+\left(1-\cos x_{n}+{\frac {1}{2}}g(x_{n+1}-x_{n}-a_{0})^{2}\right)\right],}$

これは、周期 の振幅の正弦波ポテンシャルにおける単位質量の原子の調和連鎖を記述する。このハミルトニアンの運動方程式は ${\displaystyle a_{s}=2\pi }$ ${\displaystyle \epsilon _{s}=2}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x_{n}}{dt^{2}}}+\sin x_{n}-g(x_{n+1}+x_{n-1}-2x_{n})=0.}$

ここでは、単純化のため、 と が整合している場合のみを考える。したがって、鎖の基底状態においては、基質ポテンシャルの各最小値は1つの原子によって占有される。原子変位を表す変数 を導入し、これは次のように定義される 。${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle a_{0}=a_{s}}$ ${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle x_{n}=na_{s}+u_{n}.}$

小さな変位の場合、運動方程式は線形化され、次の形式になります。 ${\displaystyle u_{n}\ll a_{s}}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}u_{n}}{dt^{2}}}+u_{n}-g(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n})=0.}$

この運動方程式は、無次元波数 のフォノン分散関係を持つフォノンを記述します。これは、鎖の周波数スペクトルが遮断周波数 のバンドギャップを持つことを示しています。 ${\displaystyle u_{n}\propto \exp[i(\omega _{\text{ph}}(\kappa )t-\kappa n)]}$ ${\displaystyle \omega _{\text{ph}}^{2}(\kappa )=\omega _{\text{min}}^{2}+2g(1-\cos \kappa )}$ ${\displaystyle |\kappa |\leq \pi }$ ${\displaystyle \omega _{\text{min}}\equiv \omega _{\text{ph}}(0)=1}$ ${\displaystyle \omega _{\text{max}}\equiv \omega _{\text{ph}}(\pi )={\sqrt {\omega _{\text{min}}^{2}+4g}}}$

線形化された運動方程式は、原子変位が小さくない場合は有効ではなく、非線形運動方程式を用いる必要がある。非線形方程式は、 FK模型の連続体極限を考慮することで最もよく説明される新しいタイプの局所励起をサポートすることができる。離散格子から連続体極限方程式を導くためのRosenau ^{[ 7 ]}の標準的な手順を適用すると、摂動を受けた正弦ゴルドン方程式が 得られる。

${\displaystyle u_{tt}+\sin u-(a_{s}^{2}g)u_{xx}=\epsilon f(u),}$

ここで関数

${\displaystyle \epsilon f(u)={\frac {1}{12}}a_{s}^{2}(u_{xxtt}+u_{x}^{2}\sin u-u_{xx}\cos u)}$

チェーンの離散性による影響を第一に説明します。

離散性の影響を無視し、運動方程式を標準形のサイン・ゴードン（SG）方程式に簡約 すると、${\displaystyle x\to {\frac {x}{a_{s}{\sqrt {g}}}}}$

${\displaystyle u_{tt}-u_{xx}+\sin u=0.}$

SG 方程式は、キンク、ブリーザー、フォノンという 3 つの基本的な励起/解を生み出します。

キンク、あるいは位相ソリトンは、周期的基質ポテンシャルの最も近傍の二つの最小値を結ぶ解として理解することができ、基底状態の縮退の結果である。これらの解は

${\displaystyle u_{\text{k}}(x,t)=4\tan ^{-1}(\exp[-\sigma \gamma (v)(x-vt)]),}$

ここではトポロジカルチャージである。解 はキンクと呼ばれ、 は反キンクと呼ばれる。キンクの幅はキンク速度 によって決定される。ここで は音速の単位で測定され、 は である。 のキンク運動の場合、幅は1に近づく。無次元単位でのキンクのエネルギーは、 ${\displaystyle \sigma =\pm 1}$ ${\displaystyle \sigma =1}$ ${\displaystyle \sigma =-1}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \gamma (v)=1/{\sqrt {1-v^{2}}}}$ ${\displaystyle v^{2}\ll c^{2}}$

${\displaystyle E_{\text{k}}=mc^{2}\gamma (v)\approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2},}$

ここからキンクの静止質量は となり、キンクの静止エネルギーは となります。 ${\displaystyle m={\frac {2}{\pi ^{2}{\sqrt {g}}}}}$ ${\displaystyle \epsilon _{\text{k}}=mc^{2}=8{\sqrt {g}}}$

距離のある2つの隣接する静的キンクは反発エネルギーを持つ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle v_{\text{int}}\approx \epsilon _{\text{k}}\sinh ^{-2}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt {g}}}},}$

一方、キンクと反キンクは相互作用によって引き合う。

${\displaystyle v_{\text{int}}(R)\approx -\epsilon _{\text{k}}\cosh ^{-2}{\frac {R}{2a_{s}{\sqrt {g}}}}.}$

休憩は ​

${\displaystyle u_{\text{br}}(x,t)=4\tan ^{-1}\left[{\frac {\sqrt {1-\Omega ^{2}}}{\Omega }}{\frac {\sin(\Omega t)}{\cosh(x{\sqrt {1-\Omega ^{2}}})}}\right],}$

これは、周波数 の非線形振動を記述します。 ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 0<\Omega <\omega _{\text{min}}}$

休息エネルギー

${\displaystyle \epsilon _{\text{br}}=2\epsilon _{\text{k}}{\sqrt {1-\Omega ^{2}}}.}$

低周波では、ブリーザーはキンクと反キンクが結合したペアと見なすことができます。キンクとブリーザーは、エネルギー散逸を生じることなくチェーンに沿って移動できます。さらに、SG方程式のすべての励起間の衝突は、位相シフトのみをもたらします。したがって、キンクとブリーザーはSGモデルの非線形準粒子と見なすことができます。FKモデルの連続体近似など、SG方程式のほぼ積分可能な修正では、離散性効果が小さい限り、キンクは変形可能な準粒子と見なすことができます。 ^{[ 2 ]}${\displaystyle \Omega \ll 1}$

パイエルス・ナバロポテンシャル

単一キンクのFKモデルの定常構成。上の画像は安定構成に対応し、下の画像は不安定構成に対応します。

前節では、FKモデルの励起は、モデルを連続体極限近似で考察することにより導出されました。キンクの特性は主モデルの離散性によってわずかにしか変化しないため、SG方程式はシステムのほとんどの特徴とダイナミクスを適切に記述できます。

しかし、離散格子は、パイエルス・ナバロ（PN）ポテンシャル の存在によって、キンクの運動に独特の影響を与えます。ここで、はキンクの中心の位置です。PN ポテンシャルが存在するのは、離散鎖では並進不変性が欠如しているためです。連続体の極限では、システムは鎖に沿ったキンクのいかなる並進に対しても不変です。離散鎖では、格子間隔の整数倍の並進のみがシステムを不変にします。PN 障壁 は、キンクが格子を移動するために克服しなければならない最小のエネルギー障壁です。PN 障壁の値は、安定した定常構成と不安定な定常構成のキンクの位置エネルギーの差です。^{[ 2 ]} 定常構成は、図に模式的に示されています。 ${\displaystyle V_{\text{PN}}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{s}}$ ${\displaystyle E_{\text{PN}}}$

参照

• パイエルス応力

参考文献

1. Kivshar YS; Benner H.; Braun O. M (2008). 「固体における位相欠陥のダイナミクスに関する非線形モデル」. PL Christiansen; MP Sorensen; AC Scott (編). 21世紀幕開けの非線形科学. 第542巻. Springer. p. 265.書誌コード: 2000LNP...542..265K . ISBN 978-3-540-46629-1。
2. Braun, Oleg M.; Kivshar, Yuri S. (1998). 「Frenkel–Kontorova模型の非線形ダイナミクス」. Physics Reports . 306 ( 1–2 ): 1– 108. Bibcode : 1998PhR...306....1B . doi : 10.1016/S0370-1573(98)00029-5 .
3. Kivshar YS; Braun O. M (2013).フレンケル・コントロバ・モデル：概念、方法、応用. Springer Science & Business Media. p. 9. ISBN 978-3-662-10331-9。
4. 「フレンケル・コントロバモデル」『非線形科学百科事典』ラウトレッジ、2015年、ISBN 978-1-138-01214-1。
5. Yuri S. Kivshar, Oleg M. Braun (2013). The Frenkel-Kontorova Model: Concepts, Methods and Applications . Springer Science & Business Media. p. 435. ISBN 978-3-662-10331-9。
6. Filippov, AT (2010). 『多用途ソリトン』 . Modern Birkhäuser Classics. Springer Science & Business Media. p. 138. ISBN 978-0-8176-4974-6。
7. Rosenau, P. (1986). 「連続体極限付近における非線形質量バネ鎖のダイナミクス」. Physics Letters A. 118 ( 5): 222– 227. Bibcode : 1986PhLA..118..222R . doi : 10.1016/0375-9601(86)90170-2 .