フリードリヒスの不等式

数学において、フリードリヒスの不等式はクルト・フリードリヒスによる関数解析の定理です。関数の弱微分のL ^p境界と定義域の幾何学を用いて、関数のL ^pノルムに境界を置き、ソボレフ空間上の特定のノルムが同値であることを示すために使用できます。フリードリヒスの不等式は、 k  = 1 の場合を扱う ポアンカレ-ヴィルティンガーの不等式を一般化したものです

不平等の声明

を直径のユークリッド空間の有界部分集合とする。がソボレフ空間、すなわち に属し、境界上のの軌跡が 0 であるとする。すると、 ${\displaystyle \Omega}$ ${\displaystyle \mathbb {R}^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle u:\Ω\to\mathbb{R}}$ ${\displaystyle W_{0}^{k,p}(\Omega)}$ ${\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega)}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ $${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.}$$

上記において

• ${\displaystyle \|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}}$ はL ^pノルムを表します
• α = ( α ₁ , ..., α _n ) は、ノルム | を持つマルチインデックスです。 α | = α ₁ + ... + α _n ;
• D ^α uは混合偏微分である$${\displaystyle \mathrm {D}^{\alpha}u={\frac {\partial^{|\alpha |}u}{\partial_{x_{1}}^{\alpha_{1}}\cdots \partial_{x_{n}}^{\alpha_{n}}}}.}}$$

参照

• ポアンカレ不等式

参考文献

• Rektorys, Karel (2001) [1977]. 「フリードリヒの不等式。ポアンカレ不等式」 .変分法による数学、科学、工学（第2版）. ドルドレヒト：ライデル. pp.  188– 198. ISBN 1-4020-0297-1。