友情のパラドックス
7～8歳児のソーシャルネットワーク図。各児童に、クラスで隣に座りたい人を2人挙げてもらい、マッピングしました。多くの児童は、自分がつながっている人の平均値よりもつながりが少ないです。

友情パラドックスとは、社会学者スコット・L・フェルドが1991年に初めて観察した現象で、ある人の友人は平均してその人よりも多くの友人を持っているというものです。[ 1 ]これは、友人が多い人ほど、その人の友人グループに属する可能性が高くなるという、一種のサンプリングバイアスとして説明できます。言い換えれば、友人の少ない人とは友人になる可能性が低いということです。これとは対照的に、ほとんどの人は自分の友人よりも多くの友人がいると信じています。[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

同じ観察結果は、友情以外の関係で定義される社会的ネットワークにも一般的に当てはまります。例えば、ほとんどの人の性的パートナーは（平均して）本人よりも多くの性的パートナーを持っていました。[ 6 ] [ 7 ]

友情のパラドックスは、ネットワーク構造が個人の局所的な観察をいかに大きく歪めるかを示す一例である。[ 8 ] [ 9 ]

数学的な説明

一見矛盾しているように見えるにもかかわらず、この現象は現実のものであり、ソーシャルネットワークの一般的な数学的性質の結果として説明することができます。この背後にある数学は、算術幾何平均不等式とコーシー・シュワルツ不等式に直接関連しています。[ 10 ]

正式には、フェルドはソーシャルネットワークが無向グラフG = ( V , E )で表されると仮定しています。ここで、頂点の集合Vはソーシャルネットワーク内の人々に対応し、辺の集合E は人々のペア間の友情関係に対応します。つまり、友情は対称的な関係であると仮定しています。つまり、 xがyの友人である場合、yはxの友人です。したがって、 xとyの間の友情は、辺{ x、y } によってモデル化され、個人が持つ友人の数は、頂点の次数に対応します。したがって、ソーシャルネットワーク内の人物の平均友人数は、グラフの頂点の次数の平均によって与えられます。つまり、頂点vにd ( v )本の辺が接している場合 ( d ( v )人の友人がいる人物を表す)、グラフ内のランダムな人物の友人の 平均数μは

μ＝∑v∈Vd（v）|V|＝2|E||V|。{\displaystyle \mu ={\frac {\sum _{v\in V}d(v)}{|V|}}={\frac {2|E|}{|V|}}.}

典型的な友人が持つ平均的な友人数は、ランダムに1人の人物（少なくとも1人の友人がいる人物）を選び、その友人が平均して何人の友人を持っているかを計算することでモデル化できます。これは、グラフの辺（友人のペアを表す）とその辺の端点（友人の1人）を一様ランダムに選び、選択された端点の次数を計算することに相当します。特定の頂点が選ばれる確率は、 v{\displaystyle v}

d（v）|E|12。{\displaystyle {\frac {d(v)}{|E|}}{\frac {1}{2}}.}

最初の係数は、選択された辺が頂点を含む確率に対応し、頂点の友達の数が多いほど増加します。半減係数は、各辺が2つの頂点を持つという事実から単純に求められます。したがって、（ランダムに選ばれた）友達の友達数の期待値は、

∑v（d（v）|E|12）d（v）＝∑vd（v）22|E|。{\displaystyle \sum _{v}\left({\frac {d(v)}{|E|}}{\frac {1}{2}}\right)d(v)={\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{2|E|}}.}

分散の定義から次の ことが分かります。

∑vd（v）2|V|＝μ2+σ2、{\displaystyle {\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{|V|}}=\mu ^{2}+\sigma ^{2},}

ここで、グラフの次数の分散です。これにより、望ましい期待値は次のように計算できます。 σ2{\displaystyle \sigma ^{2}}

∑vd（v）22|E|＝|V|2|E|（μ2+σ2）＝μ2+σ2μ＝μ+σ2μ。{\displaystyle {\frac {\sum _{v}d(v)^{2}}{2|E|}}={\frac {|V|}{2|E|}}(\mu ^{2}+\sigma ^{2})={\frac {\mu ^{2}+\sigma ^{2}}{\mu }}=\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{\mu }}。

さまざまな次数の頂点を持つグラフ (ソーシャル ネットワークでは一般的) の場合、は厳密に正であり、友人の平均次数はランダム ノードの平均次数よりも厳密に大きいことを意味します。 σ2{\displaystyle {\sigma}^{2}}

最初の項の由来を理解する別の方法は次のとおりです。各友情関係(u, v)について、ノードu はvが友人であり、v にはd(v)人の友人がいると言及します。このことを言及する友人はd(v)人います。したがって、 d(v)の項の2乗となります。これを、ネットワーク内のuとvの両方の観点から見たすべての友人関係に加算すると、分子が得られます。分母はそのような友人関係の総数であり、これはネットワーク内のエッジの総数（uとvの両方の観点から見たエッジの総数）の2倍です。

この分析の後、フェルドは、同類混合などのソーシャル ネットワーク理論に基づいて、2 人の友人が持つ友人の数の統計的相関についてさらに質的な仮定を立て、友人の数が自分よりも多い人の数についてこれらの仮定が何を意味するかを分析します。この分析に基づいて、フェルドは、実際のソーシャル ネットワークでは、ほとんどの人の友人の数は、友人の友人数の平均よりも少ない可能性が高いと結論付けています。ただし、この結論は数学的に確実なものではありません。ソーシャル ネットワークとして発生する可能性は低いものの、ほとんどの頂点の次数が隣接する頂点の次数の平均よりも高い無向グラフ (大きな完全グラフから 1 本の辺を削除して形成されるグラフなど) も存在します。

友情のパラドックスは、グラフ理論の用語で「ネットワーク内のランダムに選択されたノードの平均次数は、ランダムに選択されたノードの隣接ノードの平均次数よりも小さい」と言い換えることができるが、これでは平均化の正確なメカニズム（すなわち、マクロ平均化とミクロ平均化）が明確にされない。 が、孤立ノードを持たないとを持つ無向グラフであるとする。ノードの隣接ノードの集合を と表記する。このとき、平均次数は である。ノードの「友達の友達」の数を と表記する。この方法では2ホップ隣接ノードを複数回カウントできるが、フェルドの分析でも同様である点に注意する。 である。フェルドは次の「ミクロ平均」量を考察した。 G＝（V、E）{\displaystyle G=(V,E)}|V|＝北{\displaystyle |V|=N}|E|＝M{\displaystyle |E|=M}あなた{\displaystyle u}番号⁡（あなた）{\displaystyle \operatorname {nbr} (u)}μ＝1北∑あなた∈V|番号⁡（あなた）|＝2M北≥1{\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|={\frac {2M}{N}}\geq 1}あなた{\displaystyle u}FF⁡（あなた）＝∑v∈番号⁡（あなた）|番号⁡（v）|{\displaystyle \operatorname {FF} (u)=\sum _{v\in \operatorname {nbr} (u)}|\operatorname {nbr} (v)|}FF⁡（あなた）≥|番号⁡（あなた）|≥1{\displaystyle \オペレーター名 {FF} (u)\geq |\オペレーター名 {nbr} (u)|\geq 1}

マイクロ平均＝∑あなた∈VFF⁡（あなた）∑あなた∈V|番号⁡（あなた）|{\displaystyle {\text{MicroAvg}}={\frac {\sum _{u\in V}\operatorname {FF} (u)}{\sum _{u\in V}|\operatorname {nbr} (u)|}}}

しかし、同様に正当な「マクロ平均」量も存在し、それは次のように表される。

マクロ平均＝1北∑あなた∈VFF⁡（あなた）|番号⁡（あなた）|{\displaystyle {\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}{\frac {\operatorname {FF} (u)}{|\operatorname {nbr} (u)|}}}

MacroAvg の計算は、次の疑似コードとして表すことができます。 

アルゴリズムMacroAvg
  1. 各ノードについてあなた∈V{\displaystyle u\in V}
    1. 初期化する質問（あなた）←0{\displaystyle Q(u)\leftarrow 0}
  2. 各エッジについて{あなた、v}∈E{\displaystyle \{u,v\}\in E}
    1. 質問（あなた）←質問（あなた）+|番号⁡（v）||番号⁡（あなた）|{\displaystyle Q(u)\leftarrow Q(u)+{\frac {|\operatorname {nbr} (v)|}{|\operatorname {nbr} (u)|}}}
    2. 質問（v）←質問（v）+|番号⁡（あなた）||番号⁡（v）|{\displaystyle Q(v)\leftarrow Q(v)+{\frac {|\operatorname {nbr} (u)|}{|\operatorname {nbr} (v)|}}}
  3. 戻る1北∑あなた∈V質問（あなた）{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)}
  • 「←」は代入を表します。例えば、「biggest ← item 」は、 biggest の値がitemの値に変更されることを意味します。
  • 「return」はアルゴリズムを終了し、次の値を出力します。

各辺はMacroAvgに寄与する。なぜならである。したがって、 {あなた、v}{\displaystyle \{u,v\}}|番号⁡（v）||番号⁡（あなた）|+|番号⁡（あなた）||番号⁡（v）|≥2{\displaystyle {\frac {|\オペレータ名 {nbr} (v)|}{|\オペレータ名 {nbr} (u)|}}+{\frac {|\オペレータ名 {nbr} (u)|}{|\オペレータ名 {nbr} (v)|}}\geq 2}分1つの、b>01つのb+b1つの＝2{\displaystyle \min _{a,b>0}{\frac {a}{b}}+{\frac {b}{a}}=2}

マクロ平均＝1北∑あなた∈V質問（あなた）≥1北⋅M⋅2＝2M北＝μ{\displaystyle {\text{MacroAvg}}={\frac {1}{N}}\sum _{u\in V}Q(u)\geq {\frac {1}{N}}\cdot M\cdot 2={\frac {2M}{N}}=\mu }。

したがって、とが存在します。しかし、それらの間には不等式は成立しません。[ 11 ]マイクロ平均≥μ{\displaystyle {\text{MicroAvg}}\geq \mu }マクロ平均≥μ{\displaystyle {\text{MacroAvg}}\geq \mu }

2023年の論文では、ガセミアンとクリスタキスによって、否定的、敵対的、あるいは憎悪的なつながりにおける「敵意のパラドックス」と呼ばれるパラドックスが定義され、実証されました。[ 12 ] つまり、敵の敵は自分の敵よりも多く存在するということです。この論文では、敵対的なつながりと友好的なつながりが混在する「混合世界」という多様な現象についても記述されています。

アプリケーション

友情のパラドックスの分析は、ランダムに選ばれた個人の友人は平均よりも高い中心性を持つ可能性が高いことを示唆している。この観察は、ネットワーク内のすべてのノードの中心性の複雑な計算の必要性を避けながら、このランダム選択プロセスを使用して個人を免疫化または感染の監視対象として選択することにより、伝染病の進行を予測して遅らせる方法として使用されてきた。 [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]同様に、世論調査や選挙予測では、友情のパラドックスは、他の個人の投票数に関する知識を持っている可能性のある、つながりの強い個人に連絡して質問するために利用されてきた。[ 16 ]しかし、そのような状況で利用されると、友情のパラドックスは必然的に、多くの友人を持つ個人を過剰に代表することによってバイアスを導入し、結果として得られる推定値を歪める可能性がある。[ 17 ] [ 18 ]

2010年にChristakisとFowlerが行った研究では、ソーシャルネットワークにおける感染監視において友情パラドックスを用いることで、従来の監視手段よりも約2週間早くインフルエンザの発生を検知できることが示されました。[ 19 ]彼らは、友情パラドックスを用いて中心となる友人の健康状態を分析することは「発生を予測する理想的な方法であるが、ほとんどのグループには詳細な情報が存在せず、それを得るには時間と費用がかかる」ことを発見しました。[ 20 ]これは思想の拡散にも当てはまり、友情パラドックスを用いてネットワークを通じた思想や誤情報の拡散を追跡・予測できることが示されています。[ 21 ] [ 13 ] [ 22 ]この観察結果は、より多くの社会的つながりを持つ個人がこれらの思想や信念の拡散の原動力となっている可能性があり、早期警戒信号として利用できるという議論で説明されています。[ 18 ]

友情パラドックスに基づくサンプリング（すなわち、ランダムに友人をサンプリングすること）は、スケールフリーネットワークのべき乗法則次数分布を推定する目的で、古典的な均一サンプリングよりも優れていることが理論的かつ経験的に示されています。[ 23 ] [ 24 ]その理由は、ネットワークを均一にサンプリングすると、べき乗法則次数分布の特徴的な重い裾の部分から適切な推定を行うのに十分なサンプルを収集できないためです。しかし、ランダムに友人をサンプリングすると、次数分布の裾からより多くのノード（すなわち、より多くの高次ノード）がサンプルに組み込まれます。したがって、友情パラドックスに基づくサンプリングは、べき乗法則次数分布の特徴的な重い裾をより正確に捉え、推定のバイアスと分散を減らします。[ 24 ]

「一般化された友情のパラドックス」とは、友情のパラドックスが他の特性にも当てはまるというものです。例えば、共著者は平均してより著名で、より多くの論文を発表し、より多くの引用とより多くの共同研究者を持つ傾向があります。 [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]また、Twitterでフォロワーが多いほどフォロワー数が多くなります。[ 28 ]同じ効果がBollenら（2017）によって主観的幸福度についても実証されています。[ 29 ] Bollenらは大規模なTwitterネットワークとネットワーク内の各個人の主観的幸福度に関する長期データを用いて、オンラインソーシャルネットワークでは友情パラドックスと「幸福」パラドックスの両方が発生し得ることを実証しました。

友情のパラドックスは、社会ネットワーク内の構造的に影響力のあるノードを特定し、人々の福祉や公衆衛生に関わる多様な実践の社会的伝播を拡大する手段としても利用されてきた。これは、 Christakisらが実施した複数の大規模ランダム化比較フィールド試験において、ホンジュラスにおけるマルチビタミン剤[ 30 ]や母子保健の実践[ 31 ] [ 32 ]、あるいはインドにおける鉄分強化塩[ 33 ]の導入に関して可能であることが示された。この手法が有用なのは、友情のパラドックスを利用することで、ネットワーク全体を実際にマッピングする費用や遅延なしに、そのような影響力のあるノードを特定できる点である。

参照

参考文献

  1. ^フェルド、スコット・L.（1991）「なぜあなたの友人はあなたよりも多くの友人を持っているのか」アメリカ社会学誌、96（6）：1464–1477、doi：10.1086/229693、JSTOR  2781907、S2CID  56043992。
  2. ^ザッカーマン、エズラ・W.; ジョスト、ジョン・T. (2001) 「なぜあなたはそんなに人気があると思うのか？自己評価の維持と「友情のパラドックス」の主観的側面」（ PDF ） ,社会心理学季刊誌, 64 (3): 207– 223, doi : 10.2307/3090112 , JSTOR  3090112。
  3. ^マクレイニー、デイヴィッド（2012年）、You are Not So Smart、ワンワールド出版、p. 160、ISBN 978-1-78074-104-8
  4. ^フェルムリー、ダイアン; ファリス、ロバート (2013)、「ソーシャルネットワークにおける相互作用」、デラマター、ジョン; ワード、アマンダ (編)、『社会心理学ハンドブック』（第2版）、シュプリンガー、pp.  439– 464、ISBN 978-94-007-6772-0特に「友情の絆」の項（452ページ）を参照。
  5. ^ Lau, JYF (2011)、「批判的思考と創造性入門：もっと考え、より良く考える」、John Wiley & Sons、p. 191、ISBN 978-1-118-03343-2
  6. ^金沢智史（2009年）「科学的原理主義者：人間の本性に関する厳しい真実を見る - なぜあなたの友人はあなたよりも多くの友人を持っているのか」Psychology Today、2009年11月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  7. ^バークマン、オリバー（2010年1月30日）「このコラムはあなたの人生を変えるでしょう：なぜあなたの友達はあなたよりもはるかに人気があるように見えるのか疑問に思ったことはありませんか？それには理由があります」ガーディアン。
  8. ^ Lerman, Kristina ; Yan, Xiaoran ; Wu, Xin-Zeng (2016-02-17). 「ソーシャルネットワークにおける「多数派幻想」」 . PLOS ONE . 11 (2) e0147617. arXiv : 1506.03022 . Bibcode : 2016PLoSO..1147617L . doi : 10.1371/ journal.pone.0147617 . ISSN 1932-6203 . PMC 4757419. PMID 26886112 .   
  9. ^ Alipourfard, Nazanin; Nettasinghe, Buddhika; Abeliuk, Andrés; Krishnamurthy, Vikram; Lerman, Kristina (2020-02-05). 「友情パラドックスは有向ネットワークにおける認識にバイアスをかける」 . Nature Communications . 11 (1): 707. arXiv : 1905.05286 . Bibcode : 2020NatCo..11..707A . doi : 10.1038/s41467-020-14394- x . ISSN 2041-1723 . PMC 7002371. PMID 32024843 .   
  10. ^ベン・スリマン、マレック、コーリ、ラジーブ（2019）、「拡張された有向友情パラドックス」、SSRN、doi：10.2139/ssrn.3395317、S2CID 219376223 
  11. ^グプタ、ヤシュ；チャクラバーティ、ソウメン（2021）、友人の友人（PDF）
  12. ^ Ghasemian, Amir; Christakis, Nicholas A. (2023-11-16). 「敵意のパラドックス」 . Scientific Reports . 13 (1): 20040. arXiv : 2304.10076 . Bibcode : 2023NatSR..1320040G . doi : 10.1038/ s41598-023-47167-9 . ISSN 2045-2322 . PMC 10654772. PMID 37973933 .   
  13. ^ a b Cohen, Reuven; Havlin, Shlomo; ben-Avraham, Daniel (2003)、「コンピュータネットワークと集団のための効率的な免疫戦略」、Phys. Rev. Lett.、91 (24)、247901、arXiv : cond-mat/0207387、Bibcode : 2003PhRvL..91x7901C、doi : 10.1103/PhysRevLett.91.247901、PMID 14683159、S2CID 919625  。
  14. ^ Christakis, NA; Fowler, JH (2010)、「伝染病発生の早期検出のためのソーシャルネットワークセンサー」、PLOS ONE、5 (9)、e12948、arXiv : 1004.4792、Bibcode : 2010PLoSO...512948C、doi : 10.1371/journal.pone.0012948、PMC 2939797、PMID 20856792  。
  15. ^ウィルソン、マーク（2010年11月）「友情のパラドックスを用いたソーシャルネットワークのサンプリング」Physics Today、63（11）：15–16、Bibcode：2010PhT....63k..15W、doi：10.1063/1.3518199。
  16. ^ネッタシンハ、ブッディカ;クリシュナムルシー、ヴィクラム（2019）。 」「あなたの友達はどう思っているか？」：友情パラドックスを用いたネットワークの効率的なポーリング手法。IEEE Transactions on Knowledge and Data Engineering : 1. arXiv : 1802.06505 . doi : 10.1109/tkde.2019.2940914 . ISSN  1041-4347 . S2CID  3335133 .
  17. ^フェルド、スコット・L.、マクゲイル、アレック（2020年9月）。「エゴネットは社会を体系的に偏向させた窓である」。ネットワークサイエンス。8 (3): 399– 417。doi : 10.1017 / nws.2020.5。ISSN 2050-1242。S2CID 216301650。  
  18. ^ a b Galesic, Mirta; Bruine de Bruin, Wändi; Dalege, Jonas; Feld, Scott L.; Kreuter, Frauke; Olsson, Henrik; Prelec, Drazen; Stein, Daniel L.; van der Does, Tamara (2021年7月). 「人間の社会感覚は計算社会科学にとって未開拓の資源である」 . Nature . 595 (7866): 214– 222. Bibcode : 2021Natur.595..214G . doi : 10.1038/ s41586-021-03649-2 . ISSN 1476-4687 . PMID 34194037. S2CID 235697772 .   
  19. ^ Christakis, Nicholas A.; Fowler, James H. (2010年9月15日). 「伝染病アウトブレイクの早期検知のためのソーシャルネットワークセンサー」 . PLOS ONE . 5 (9) e12948. arXiv : 1004.4792 . Bibcode : 2010PLoSO...512948C . doi : 10.1371/ journal.pone.0012948 . PMC 2939797. PMID 20856792 .  
  20. ^ Schnirring, Lisa (2010年9月16日). 「研究：友人の『見張り役』がインフルエンザの早期警告を提供」 . CIDRAPニュース. 2013年5月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年8月14日閲覧。
  21. ^ Garcia-Herranz, Manuel; Moro, Esteban; Cebrian, Manuel; Christakis, Nicholas A.; Fowler, James H. (2014-04-09). 「友人をセンサーとして利用し、世界規模の伝染病の発生を検知する」 . PLOS ONE . 9 (4) e92413. Bibcode : 2014PLoSO...992413G . doi : 10.1371/journal.pone.0092413 . ISSN 1932-6203 . PMC 3981694. PMID 24718030 .   
  22. ^ Kumar, Vineet; Krackhardt, David; Feld, Scott (2021-05-18). 「未知のネットワークにおけるインバーシティを用いた介入は、伝染の制御に役立つ可能性がある」. arXiv : 2105.08758 [ cs.SI ].
  23. ^ Eom, Young-Ho; Jo, Hang-Hyun (2015-05-11). 「Tail-scope: 大規模複雑ネットワークにおける次数分布の重い裾を推定するための友人情報の利用」 . Scientific Reports . 5 (1): 9752. arXiv : 1411.6871 . Bibcode : 2015NatSR...5.9752E . doi : 10.1038/srep09752 . ISSN 2045-2322 . PMC 4426729. PMID 25959097 .   
  24. ^ a b Nettasinghe, Buddhika; Krishnamurthy, Vikram (2021-05-19). 「友情パラドックスに基づくサンプリングによるべき乗次数分布の最大尤度推定」. ACM Transactions on Knowledge Discovery from Data . 15 (6): 1– 28. arXiv : 1908.00310 . doi : 10.1145/3451166 . ISSN 1556-4681 . S2CID 199064540 .  
  25. ^ Eom, Young-Ho; Jo, Hang-Hyun (2014)、「複雑ネットワークにおける一般化された友情パラドックス：科学的コラボレーションの事例」、Scientific Reports、4 4603、arXiv：1401.1458、Bibcode：2014NatSR...4.4603E、doi：10.1038/srep04603、PMC 3980335、PMID 24714092  
  26. ^ Grund, Thomas U. (2014)、「なぜあなたの友達はあなたが思っているよりも重要で特別なのか」（PDF）、社会科学、1：128-140、doi：10.15195/v1.a10
  27. ^ディッカーソン、ケリー（2014年1月16日）「なぜあなたの友達はあなたよりも人気があり、裕福で、幸せなのか」スレート誌、スレートグループ。2014年1月17日閲覧。
  28. ^ホダス、ネイサン、クーティ、クリスティーナ・ラーマン（2013年5月）「友情のパラドックス：あなたの友達はあなたよりも面白い」arXiv : 1304.3480 [ cs.SI ].
  29. ^ Bollen, Johan; Goncalves, Bruno; Van de Leemput, Ingrid; Guanchen, Ruan (2017)「幸福のパラドックス：友達はあなたよりも幸せ」EPJ Data Science , 6 4, arXiv : 1602.02665 , doi : 10.1140/epjds/s13688-017-0100-1 , S2CID 2044182 
  30. ^ Kim, David A.; Hwong, Alison R.; Stafford, Derek; Hughes, D. Alex; O'Malley, A. James; Fowler, James H.; Christakis, Nicholas A. (2015-07-11). 「集団行動変容を最大化するためのソーシャルネットワークターゲティング：クラスターランダム化比較試験」. Lancet . 386 ( 9989): 145– 153. doi : 10.1016/S0140-6736(15)60095-2 . ISSN 1474-547X . PMC 4638320. PMID 25952354 .   
  31. ^ Airoldi, Edoardo M.; Christakis, Nicholas A. (2024-05-03). 「孤立した村での構造化実験における多様な結果のための社会的伝染の誘導」 . Science . 384 (6695) eadi5147. Bibcode : 2024Sci...384i5147A . doi : 10.1126/science.adi5147 . ISSN 0036-8075 . PMID 38696582 .  
  32. ^ Shakya, Holly B.; Stafford, Derek; Hughes, D. Alex; Keegan, Thomas; Negron, Rennie; Broome, Jai; McKnight, Mark; Nicoll, Liza; Nelson, Jennifer; Iriarte, Emma; Ordonez, Maria; Airoldi, Edo; Fowler, James H.; Christakis, Nicholas A. (2017-03-01). 「社会的影響力を活用した母子保健における集団レベルの行動変化の拡大：ホンジュラス農村部におけるネットワークターゲティングアルゴリズムのランダム化比較試験の研究プロトコル」 BMJ Open . 7 (3) e012996. doi : 10.1136/bmjopen-2016-012996 . ISSN 2044-6055 . PMC 5353315 . PMID 28289044。   
  33. ^ Alexander, Marcus; Forastiere, Laura; Gupta, Swati; Christakis, Nicholas A. (2022-07-26). 「ソーシャルネットワークをシードするためのアルゴリズムは、インド都市部における公衆衛生介入の採用を促進する可能性がある」 . Proceedings of the National Academy of Sciences . 119 (3​​0) e2120742119. Bibcode : 2022PNAS..11920742A . doi : 10.1073/ pnas.2120742119 . ISSN 0027-8424 . PMC 9335263. PMID 35862454 .   
  • スティーブン・ストロガッツ（2012年9月17日）「頼れる友達」ニューヨーク・タイムズ。 2013年1月17日閲覧。
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