フロベニウスの内積

数学において、フロベニウスの内積は、2つの行列を受け取り、スカラーを返す二項演算です。しばしば と表記されます。この演算は、2つの行列をベクトルであるかのように成分ごとに内積するものであり、内積の公理を満たします。2つの行列は同じ次元（行数と列数が同じ）である必要がありますが、正方行列である必要はありません。 ${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}$

フェルディナント・ゲオルク・フロベニウスにちなんで名付けられました。

意味

2つの複素数値n × m行列AとBが与えられ、明示的に次のように書かれる。

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}},}$

フロベニウスの内積は次のように定義される。

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=\sum _{i,j}{\overline {A_{ij}}}B_{ij}\,=\mathrm {Tr} \left({\overline {\mathbf {A} ^{T}}}\mathbf {B} \right)\equiv \mathrm {Tr} \left(\mathbf {A} ^{\!\ダガー }\mathbf {B} \right),}$

ここで上線は複素共役を表し、はエルミート共役を表す。^{[ 1 ]}明示的には、この和は ${\displaystyle \dagger }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=&{\overline {A}}_{11}B_{11}+{\overline {A}}_{12}B_{12}+\cdots +{\overline {A}}_{1m}B_{1m}\\&+{\overline {A}}_{21}B_{21}+{\overline {A}}_{22}B_{22}+\cdots +{\overline {A}}_{2m}B_{2m}\\&\vdots \\&+{\overline {A}}_{n1}B_{n1}+{\overline {A}}_{n2}B_{n2}+\cdots +{\overline {A}}_{nm}B_{nm}\\\end{aligned}}}$

この計算は、2 つのベクトルのドット積と非常に似ており、これは内積の例です。

他の製品との関係

AとBがそれぞれ実数値行列である場合、フロベニウスの内積はアダマール積の要素の和となる。行列をベクトル化（つまり、" " で表される列ベクトルに変換）すると、${\displaystyle \mathrm {vec} (\cdot )}$

${\displaystyle \mathrm {vec} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}A_{11}\\A_{12}\\\vdots \\A_{21}\\A_{22}\\\vdots \\A_{nm}\end{pmatrix}},\quad \mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}\,,}$ ${\displaystyle \quad {\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )={\begin{pmatrix}{\overline {A}}_{11}&{\overline {A}}_{12}&\cdots &{\overline {A}}_{21}&{\overline {A}}_{22}&\cdots &{\overline {A}}_{nm}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{11}\\B_{12}\\\vdots \\B_{21}\\B_{22}\\\vdots \\B_{nm}\end{pmatrix}}}$

したがって

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\mathrm {vec} (\mathbf {A} )}}^{T}\mathrm {vec} (\mathbf {B} )\,.}$

プロパティ

あらゆる内積と同様に、これは4 つの複素数値行列A、B、C、Dと 2 つの複素数aとbに対して二等分線形式になります。

${\displaystyle \langle a\mathbf {A} ,b\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {a}}b\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}$

${\displaystyle \langle \mathbf {A} +\mathbf {C} ,\mathbf {B} +\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }=\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {A} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }+\langle \mathbf {C} ,\mathbf {D} \rangle _{\mathrm {F} }}$

また、行列の交換は複素共役に相当します。

${\displaystyle \langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }={\overline {\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }}}}$

同じ行列に対して、内積はフロベニウスノルムを誘導する。

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=\|\mathbf {A} \|_{\mathrm {F} }^{2}\geq 0}$ , ^{[ 1 ]}

零行列の場合は零である。

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=0\Longleftrightarrow \mathbf {A} =\mathbf {0} }$ 。

例

実数値行列

2つの実数値行列の場合、

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0&6\\1&-1&2\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}8&-3&2\\4&1&-5\end{pmatrix}},}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=2\cdot 8+0\cdot (-3)+6\cdot 2+1\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot (-5)\\&=21.\end{aligned}}}$

複素数値行列

2つの複素数値行列の場合、

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1+i&-2i\\3&-5\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}-2&3i\\4-3i&6\end{pmatrix}},}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {A} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }&=(1-i)\cdot (-2)+(2i)\cdot 3i+3\cdot (4-3i)+(-5)\cdot 6\\&=-26-7i,\end{aligned}}}$

その間

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {B} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }&=(-2)\cdot (1+i)+(-3i)\cdot (-2i)+(4+3i)\cdot 3+6\cdot (-5)\\&=-26+7i.\end{aligned}}}$

AとBのフロベニウス内積はそれぞれ

${\displaystyle \langle \mathbf {A} ,\mathbf {A} \rangle _{\mathrm {F} }=2+4+9+25=40}$ ${\displaystyle \qquad \langle \mathbf {B} ,\mathbf {B} \rangle _{\mathrm {F} }=4+9+25+36=74.}$

参照

• アダマール積（行列）
• ヒルベルト・シュミット内積
• クロネッカー積
• マトリックス分析
• 行列の乗算
• 行列ノルム
• ヒルベルト空間のテンソル積- フロベニウスの内積は、ベクトル空間が有限次元の実数または複素ベクトル空間であり、通常のユークリッド内積を持つ特殊なケースである。

参考文献

1. Horn, RA; Johnson., CR (2012). Matrix Analysis (第2版). Cambridge: Cambridge University Press . p. 321. ISBN 978-0-521-83940-2。