微分幾何学という数学の分野において、ドゥブロヴィン[ 1]によって導入されたフロベニウス多様体とは、接空間上に一定の適合する乗法構造を持つ平坦リーマン多様体である。この概念は、フロベニウス代数の概念を接束へと一般化したものである。
フロベニウス多様体は、シンプレクティック位相幾何学、より具体的には量子コホモロジーの分野で自然に出現する。最も広義の定義はリーマン超多様体の範疇に入る。ここでは滑らかな（実）多様体に限定して議論する。複素多様体への限定も可能である。
意味
M を滑らかな多様体とする。M上のアフィン平坦構造は、 TM を点ごとに張るベクトル空間の層T fであり、その接束とその切断の対の接括弧はゼロである。
局所的な例として、 Mのチャート上の座標ベクトル場を考えてみましょう。そのようなベクトル場をチャートの被覆族に接着できる場合、多様体はアフィン平坦構造を許容します。
さらに、M上のリーマン計量 gが与えられているとする。g ( X , Y )がすべての平坦ベクトル場Xと Yに対して局所的に定数であるとき、それは平坦構造と両立する。
リーマン多様体は、その曲率テンソルがどこでもゼロになる場合にのみ、互換性のあるアフィン平坦構造を許容します。
TM上の可換積族*は、 S 2 (T * M ) ⊗ TM のセクションAと等価であり、
さらに、以下の物件が必要です
したがって、合成g # ∘ Aは対称3テンソルです。
( g , T f , A )が与えられたとき、局所ポテンシャルΦは局所的に滑らかな関数であり、
![{\displaystyle g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd40f9ca1fa1febb1995589ea6b8d152d956d8d)
すべての平坦なベクトル場X、Y、 Zに対して。
フロベニウス多様体( M , g , *) は、対称な3次元テンソルAを持つ平坦リーマン多様体 ( M , g )となり、局所ポテンシャルをどこにでも許容し、結合的となる。特に、定数積を持つ線型フロベニウス多様体 ( M , g , *) はフロベニウス代数Mとなる。
基本的な性質
積*の結合性は、局所ポテンシャルΦにおける次の2次偏微分方程式と等価である。
ここで、アインシュタインの和の慣性が暗示され、Φ ,a は、すべて平坦であると仮定される 座標ベクトル場 ∂/∂ x aによる関数 Φ の偏微分を表します。g ef は、計量の逆数の係数です。
したがって、この方程式は結合方程式またはヴィッテン・ダイクグラーフ・ヴァーリンデ・ヴァーリンデ (WDVV) 方程式と呼ばれます。
例
フロベニウス代数に加えて、量子コホモロジーからも例が挙げられます。具体的には、半正値シンプレクティック多様体( M , ω ) が与えられたとき、その偶量子コホモロジーQH even ( M , ω )に 0 の開近傍Uが存在し、C上のノビコフ環において、 Uにおけるaに対する大量子積 * aは解析的となります。ここで、Uと交差形式g = <·,·> は（複素）フロベニウス多様体となります。
フロベニウス多様体の二番目に大きな例は、特異点論から来ます。つまり、孤立した特異点のミニバーサル変形空間はフロベニウス多様体構造を持ちます。このフロベニウス多様体構造は、斉藤恭司の原始形式とも関連しています。
参考文献
- ^ B. Dubrovin: 2次元位相場理論の幾何学. Springer LNM, 1620 (1996), pp. 120–348.
2. Yu.I. Manin, SA Merkulov: 半単純フロベニウス（超）多様体とPr, Topolの量子コホモロジー. 非線形解析法9 (1997), pp. 107–161
