フロストマンの補題

フロストマンの補題は、数学、特にフラクタル次元理論において、集合のハウスドルフ次元を推定するための便利なツールを提供します。^{[ 1 ]}

補題

補題: A をR ⁿのボレル部分集合とし、s  > 0 とします。このとき、以下は同値です。

• H ^s ( A ) > 0、ここでH ^sはs次元ハウスドルフ測度を表す。
• R ⁿ上に（符号なし）ボレル測度μが存在し、μ ( A ) > 0 を満たす。

${\displaystyle \mu (B(x,r))\leq r^{s}}$

すべてのx∈Rnおよびr  >  0に対して成立^する。

オットー・フロストマンは1935年にルンド大学の博士論文の中で閉集合Aに対してこの補題を証明した。ボレル集合への一般化はより複雑で、スースリン集合の理論を必要とする。^{[ 2 ]}

フロストマンの補題の有用な系は、ボレル集合A  ⊂  R ⁿのs容量の概念を必要とする。これは次のように定義される。

${\displaystyle C_{s}(A):=\sup {\Bigl \{}{\Bigl (}\int _{A\times A}{\frac {d\mu (x)\,d\mu (y)}{|xy|^{s}}}{\Bigr )}^{-1}:\mu {\text{ はボレル測度であり、 }}\mu (A)=1{\Bigr \}} である。}$

（ここで、inf ∅ = ∞、 1 ⁄ ∞ = 0とする。 前述  と同様に、測度は符号なしである。）フロストマンの補題から、ボレルA⊂R ⁿに対して、${\displaystyle \mu}$

${\displaystyle \mathrm {dim} _{H}(A)=\sup\{s\geq 0:C_{s}(A)>0\}.}$

ウェブページ

• フロストマン尺度の図解

参考文献

1. ドブロンラヴォフ、ニキータ P. (2022-04-22)。 「フロストマンの補題の再考」。arXiv : 2204.10441 [ math.CA ]。
2. 野崎康夫 (1958). 「フロストマンの補題の一般化とその応用について」 .古代数学セミナー報告. 10 (3): 113– 126. doi : 10.2996/kmj/1138844025 .

さらに読む

• Mattila, Pertti (1995), 『ユークリッド空間における集合と測度の幾何学』 , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 44, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65595-8、MR  1333890