深谷圏
シンプレクティック多様体の圏

シンプレクティック位相幾何学において、シンプレクティック多様体の深谷圏は、その対象が のラグランジアン部分多様体であり、射がラグランジアン・フレアー連鎖群である圏です 。そのより細かい構造は、 A∞ 圏として記述できます （ X 、 ω ) {\displaystyle (X,\omega)} F （ X ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(X)} X {\displaystyle X} H o メートル （ 長さ 0 、 長さ 1 ) ＝ C F （ 長さ 0 、 長さ 1 ) {\displaystyle \mathrm {ホム} (L_{0},L_{1})=CF(L_{0},L_{1})}

これらは、モースホモロジー[ 1]の文脈で初めてこの言語を導入した深谷健二にちなんで名付けられ、いくつかの変種が存在します。深谷圏はA∞圏であるため、関連する導来圏を持ち、これはマキシム・コンツェビッチの有名なホモロジー的ミラー対称性予想の対象となっています 。[2]この予想は現在、多くの例で計算的に検証されています。 A ∞ {\displaystyle A_{\infty}}

形式的定義

をシンプレクティック多様体とする。横方向に交差するラグランジアン部分多様体の各ペアに対して、交点によって生成される加群であるフレアーコチェイン複体を定義する。フレアーコチェイン複体は、からへの射の集合として見られる。深谷カテゴリはカテゴリであり、通常の合成に加えて、高次の合成写像が存在することを意味する （ X 、 ω ) {\displaystyle (X,\omega)} 長さ 0 、 長さ 1 ⊂ X {\displaystyle L_{0},L_{1}\subset X} C F ∗ （ 長さ 0 、 長さ 1 ) {\displaystyle CF^{*}(L_{0},L_{1})} 長さ 0 ∩ 長さ 1 {\displaystyle L_{0}\cap L_{1}} 長さ 0 {\displaystyle L_{0}} 長さ 1 {\displaystyle L_{1}} A ∞ {\displaystyle A_{\infty}}

μ d ： C F ∗ （ 長さ d − 1 、 長さ d ) ⊗ C F ∗ （ 長さ d − 2 、 長さ d − 1 ) ⊗ ⋯ ⊗ C F ∗ （ 長さ 1 、 長さ 2 ) ⊗ C F ∗ （ 長さ 0 、 長さ 1 ) → C F ∗ （ 長さ 0 、 長さ d ) 。 {\displaystyle \mu_{d}:CF^{*}(L_{d-1},L_{d})\otimes CF^{*}(L_{d-2},L_{d-1})\otimes \cdots \otimes CF^{*}(L_{1},L_{2})\otimes CF^{*}(L_{0},L_{1})\to CF^{*}(L_{0},L_{d}).}

これは次のように定義される。シンプレクティック多様体 上の適合する概複素構造 を選択する。共鎖複体の生成元とに対して、各面が に写像される面を持つ -正則多角形のモジュライ空間は、 J {\displaystyle J} （ X 、 ω ) {\displaystyle (X,\omega)} p d − 1 、 d ∈ C F ∗ （ 長さ d − 1 、 長さ d ) 、 … 、 p 0 、 1 ∈ C F ∗ （ 長さ 0 、 長さ 1 ) {\displaystyle p_{d-1,d}\in CF^{*}(L_{d-1},L_{d}),\ldots ,p_{0,1}\in CF^{*}(L_{0},L_{1})} q 0 、 d ∈ C F ∗ （ 長さ 0 、 長さ d ) {\displaystyle q_{0,d}\in CF^{*}(L_{0},L_{d})} J {\displaystyle J} d + 1 {\displaystyle d+1} 長さ 0 、 長さ 1 、 … 、 長さ d {\displaystyle L_{0},L_{1},\ldots,L_{d}}

n （ p d − 1 、 d 、 … 、 p 0 、 1 ; q 0 、 d ) {\displaystyle n(p_{d-1,d},\ldots,p_{0,1};q_{0,d})}

係数環において定義する。

μ d （ p d − 1 、 d 、 … 、 p 0 、 1 ) ＝ ∑ q 0 、 d ∈ 長さ 0 ∩ 長さ d n （ p d − 1 、 d 、 … 、 p 0 、 1 ) ⋅ q 0 、 d ∈ C F ∗ （ 長さ 0 、 長さ d ) {\displaystyle \mu_{d}(p_{d-1,d},\ldots,p_{0,1})=\sum_{q_{0,d}\inL_{0}\capL_{d}}n(p_{d-1,d},\ldots,p_{0,1})\cdotq_{0,d}\inCF^{*}(L_{0},L_{d})}

そして多線的に拡張します。 μ d {\displaystyle \mu_{d}}

高次の構成のシーケンスは、正則多角形のさまざまなモジュライ空間の境界が退化した多角形の構成に対応するため、関係を 満たします。 μ 1 、 μ 2 、 … 、 {\displaystyle \mu_{1},\mu_{2},\ldots,} A ∞ {\displaystyle A_{\infty}}

一般（コンパクト）シンプレクティック多様体に対する深谷圏の定義は、これまで厳密には与えられていません。主な課題は、正則円板の数え上げを定義する上で不可欠な横断性の問題です。

参照

参考文献

  1. ^ 深谷健二,モースホモトピー、カテゴリ、およびフレアーホモロジー A ∞ {\displaystyle A_{\infty}} , MSRI プレプリント No. 020-94 (1993)
  2. ^ Kontsevich, Maxim、「ミラー対称性のホモロジー代数」、国際数学者会議論文集、第1巻、第2巻（チューリッヒ、1994年）、120–139、ビルクハウザー、バーゼル、1995年。

参考文献

  • Denis Auroux、深谷カテゴリーの初心者向け入門。
  • ポール・ザイデル、深谷カテゴリーとピカール・レフシェッツ理論。チューリッヒ大学上級数学講義
  • 深谷健二、呉用根、太田博、小野薫(2009)、「ラグランジュ交差フロール理論：異常性と閉塞」第1部、AMS/IP Studies in Advanced Mathematics、第46巻、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州；International Press、サマービル、マサチューセッツ州、ISBN 978-0-8218-4836-4、MR  2553465
  • 深谷健二、呉容根、太田博、小野薫 (2009)、「ラグランジュ交差フロール理論：異常性と閉塞」第2部、AMS/IP 先端数学研究、第46巻、アメリカ数学会、ロードアイランド州プロビデンス；国際出版、マサチューセッツ州サマービル、ISBN 978-0-8218-4837-1、MR  2548482
  • MathOverflowのスレッド 「深谷カテゴリは「定義」されていますか?」
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