関数微分方程式

関数微分方程式とは、偏角を持つ微分方程式です。つまり、関数微分方程式とは、関数とその導関数を異なる偏角値で評価した方程式です。[ 1 ]

関数微分方程式は、特定の挙動や現象がシステムの過去の状態だけでなく現在の状態にも依存すると仮定する数学モデルで用いられます。[ 2 ]言い換えれば、過去の出来事は将来の結果に明示的に影響を与えます。このため、関数微分方程式は、将来の挙動が過去の状態に暗黙的に依存する常微分方程式（ODE）よりも適用範囲が広くなります。

意味

1 つの変数の関数と、同じ入力で評価されるその導関数を含む通常の微分方程式とは異なり、関数微分方程式には、異なる入力値で評価される関数とその導関数が含まれます。

  • 常微分方程式の例は次のようになる。f′（×）＝2f（×）+1{\displaystyle f'(x)=2f(x)+1}
  • これと比較すると、関数微分方程式はf′（×）＝2f（×+3）−[f（×−1）]2{\displaystyle f'(x)=2f(x+3)-[f(x-1)]^{2}}

最も単純な関数微分方程式は遅延関数微分方程式または遅延微分差分方程式と呼ばれ、次の形式をとる[ 3 ]。

×′（t）＝f（t、×（t）、×（t−r））{\displaystyle x'(t)=f{\bigl (}t,x(t),x(tr){\bigr )}}

例

単純な関数微分方程式は線形一次遅延微分方程式[ 4 ]であり、これは次のように与えられる。

×′（t）＝α1×（t）+α2×（t−τ）+f（t）、t≥0{\displaystyle x'(t)=\alpha _{1}x(t)+\alpha _{2}x(t-\tau )+f(t),t\geq 0}

ここで、は定数、は連続関数、はスカラーです。以下は、いくつかの常微分方程式と関数微分方程式を比較した表です。[注 1 ]α1、α2、τ{\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\tau }f（t）{\displaystyle f(t)}×{\displaystyle x}

常微分方程式 関数微分方程式
例f′（×）＝×2−3{\displaystyle f'(x)=x^{2}-3}f′（×）＝3×−f（×−4）{\displaystyle f'(x)=3x-f(x-4)}
f′（×）＝f（×）−8{\displaystyle f'(x)=f(x)-8}×′（t）＝3×（2t）−[×（t−1）]2{\displaystyle x'(t)=3x(2t)-{\bigl [}x(t-1){\bigr ]}^{2}}
F（t、×（t）、×′（t）、×″（t））＝0{\displaystyle F{\bigl (}t,x(t),x'(t),x''(t){\bigr )}=0}2×（3t+1）−5×（4t）＝1{\displaystyle 2x(3t+1)-5x(4t)=1}
f′（×）＝4f（×）−3×{\displaystyle f'(x)=4f(x)-3x}

関数微分方程式の種類

「関数微分方程式」は、さまざまなアプリケーションで使用される、より特殊なタイプの微分方程式の総称です。

微分差分方程式

微分差分方程式は、引数の値が離散的な関数微分方程式である。[ 1 ]有限個の離散偏差引数を持つ関数微分方程式の一般的な形は

×（n）（t）＝f（t、×（n1）（t−τ1（t））、×（n2）（t−τ2（t））、…、×（nけ）（t−τけ（t）））{\displaystyle x^{(n)}(t)=f{\Bigl (}t,x^{(n_{1})}{\bigl (}t-\tau _{1}(t){\bigr )},x^{(n_{2})}{\bigl (}t-\tau _{2}(t){\bigr )},\ldots ,x^{(n_{k})}{\bigl (}t-\tau _{k}(t){\bigr )}{\Bigr )}}

どこでそして×（t）∈Rメートル、n1、n2、…、n私≥0、{\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{m},\,n_{1},n_{2},\ldots ,n_{i}\geq 0,}τ1（t）、τ2（t）、…、τ私（t）≥0{\displaystyle \tau_{1}(t),\tau_{2}(t),\ldots ,\tau_{i}(t)\geq 0}

微分方程式は、遅延型、中立型、先進型、混合関数型微分方程式とも呼ばれます。これらの分類は、システムの現在の状態の変化率が過去の値、将来の値、あるいはその両方に依存するかどうかによって異なります。[ 5 ]

微分差分方程式の分類[ 6 ]
遅れた ×′（t）＝f（t、×（t）、×（t−τ））{\displaystyle x'(t)=f{\bigl (}t,x(t),x(t-\tau ){\bigr )}}
中性 ×′（t）＝f（t、×（t）、×（t−τ）、×′（t−τ））{\displaystyle x'(t)=f{\bigl (}t,x(t),x(t-\tau ),x'(t-\tau ){\bigr )}}
高度な ×′（t−τ）＝f（t、×（t）、×（t−τ））{\displaystyle x'(t-\tau )=f{\bigl (}t,x(t),x(t-\tau ){\bigr )}}

遅延微分方程式

遅延型関数微分方程式は、上記の式が の場合に発生します。言い換えれば、このクラスの関数微分方程式は、遅延を伴う関数の過去と現在の値に依存します。 最大{n1、n2、…、nけ }<n{\displaystyle \max\{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\ \}<n}

遅延関数微分方程式の簡単な例は

x′(t)=−x(t−τ){\displaystyle x'(t)=-x(t-\tau )}

一方、離散的逸脱議論のより一般的な形式は次のように書ける。

x′(t)=f(t,x(t−τ1(t)),x(t−τ2(t)),…,x(t−τk(t))).{\displaystyle x'(t)=f{\Bigl (}t,x{\bigl (}t-\tau _{1}(t){\bigr )},x{\bigl (}t-\tau _{2}(t){\bigr )},\ldots ,x{\bigl (}t-\tau _{k}(t){\bigr )}{\Bigr )}.}

中立微分方程式

中立型の関数微分方程式、または中立微分方程式は、

max{n1,n2,…,nk}=n.{\displaystyle \max\{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k}\}=n.}

中立微分方程式は、遅延微分方程式と同様に関数の過去と現在の値に依存しますが、遅延微分方程式は遅延のある導関数にも依存します。言い換えれば、遅延微分方程式は与えられた関数の遅延のある導関数を含まないのに対し、中立微分方程式は遅延のある導関数を含みます。

積分微分方程式

ボルテラ型の積分微分方程式は、連続的な引数値を持つ関数微分方程式です。[ 1 ]積分微分方程式は、ある関数の引数に対する積分と微分の両方を含みます。

遅延関数微分方程式の連続積分微分方程式は次のように書ける。 x′(t)=f(t,x(t−τ1(t)),x(t−τ2(t)),…,x(t−τk(t))){\displaystyle x'(t)=f{\bigl (}t,x(t-\tau _{1}(t)),x(t-\tau _{2}(t)),\ldots ,x(t-\tau _{k}(t)){\bigr )}}

x′(t)=f(t,∫t−τ(t)tK(t,θ,x(θ))dθ),τ(t)≥0{\displaystyle x'(t)=f{\Biggl (}t,\int _{t-\tau (t)}^{t}K(t,\theta ,x(\theta ))\,\mathrm {d} \theta {\Biggr )},\quad \tau (t)\geq 0}

応用

関数微分方程式は、現在と過去によって決定されるある現象の将来の挙動を決定するモデルにおいて用いられてきました。これは、挙動が過去とは独立であると仮定する常微分方程式の解とは対照的です。[ 2 ]しかし、過去の挙動に依存する状況は数多く存在します。

FDEは、医学、力学、生物学、経済学など、様々な分野のモデルに適用可能です。FDEは、熱伝達、信号処理、種の進化、交通流、さらには疫病の研究にも利用されています。[ 1 ] [ 4 ]

時間差による人口増加

個体群増加のロジスティック方程式は次のように表される。 ここでρは再生産率、kは収容力である。は時刻tにおける個体群の大きさ、は密度依存の再生産率である。[ 7 ]dxdt=ρx(t)(1−x(t)k),{\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=\rho \,x(t)\left(1-{\frac {x(t)}{k}}\right),}x(t){\displaystyle x(t)}ρ(1−x(t)k){\textstyle \rho \left(1-{\frac {x(t)}{k}}\right)}

これを過去の時点に適用すると、 t−τ{\displaystyle t-\tau }dxdt=ρx(t)(1−x(t−τ)k){\displaystyle {\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}=\rho \,x(t)\left(1-{\frac {x(t-\tau )}{k}}\right)}

混合モデル

常微分方程式の応用に触れると、多くの人はある化学溶液の混合モデルに遭遇することになります。

リットルの塩水が入った容器があるとします。塩水は毎秒リットルの同じ速度で容器に流入し、流出しています。言い換えれば、流入する水の速度は流出する塩水の速度に等しいということです。容器内の塩水の量をリットルで、時刻における塩水1リットルあたりの均一濃度をグラムで表すとします。すると、微分方程式[ 8 ]が得られます。r{\displaystyle r}V{\displaystyle V}x(t){\displaystyle x(t)}t{\displaystyle t}x′(t)=−rVx(t),rV>0{\displaystyle x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t),{\frac {r}{V}}>0}

この式の問題点は、容器に入ったすべての水滴が瞬時に溶液に混ざり合うという仮定に基づいていることです。これは、常微分方程式ではなく有限微分方程式を用いることで解消できます。

を均一濃度ではなく、時刻 における平均濃度とします。そして、時刻 に容器から流出する溶液が、それ以前の時刻における平均濃度に等しいと仮定します。すると、方程式は[ 8 ]の形の遅延微分方程式となります。x(t){\displaystyle x(t)}t{\displaystyle t}t{\displaystyle t}x(t−τ),τ>0{\displaystyle x(t-\tau ),\tau >0}x′(t)=−rVx(t−τ){\displaystyle x'(t)=-{\frac {r}{V}}x(t-\tau )}

ヴォルテラの捕食者・被食者モデル

ロトカ・ヴォルテラ捕食者被食者モデルは、もともとアドリア海のサメや魚類の個体群を観察するために開発されましたが、化学反応の記述など、他の多くの分野でも様々な用途に利用されています。捕食者被食者個体群のモデル化は長年にわたって広く研究されており、その結果、元の方程式には様々な形態が存在しています。

Xu, Wu (2013) [ 9 ]が示し​​た時間遅れのあるロトカ・ヴォルテラモデルの一例として、以下に示すものがある。 ここで、は時刻tにおける被捕食者の個体群密度、は時刻tにおける捕食者の個体群密度、は時刻tにおける捕食者の個体群密度である。p′(t)=p(t)[r1(t)−a11(t)p(t−τ11(t))−a12(t)P1(t−τ12(t))−a13(t)P2(t−τ13(t))]{\displaystyle p'(t)=p(t){\Biggl [}r_{1}(t)-a_{11}(t)p{\biggl (}t-\tau _{11}(t){\biggr )}-a_{12}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{12}(t){\biggr )}-a_{13}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{13}(t){\biggr )}{\Biggr ]}}P1′(t)=P1(t)[−r2(t)+a21(t)p(t−τ21(t))−a22(t)P1(t−τ22(t))−a23(t)P2(t−τ23(t))]{\displaystyle P_{1}'(t)=P_{1}(t){\Biggl [}-r_{2}(t)+a_{21}(t)p{\biggl (}t-\tau _{21}(t){\biggr )}-a_{22}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{22}(t){\biggr )}-a_{23}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{23}(t){\biggr )}{\Biggr ]}}P2′(t)=P2(t)[−r2(t)+a31(t)p(t−τ31(t))−a32(t)P1(t−τ32(t))−a33(t)P2(t−τ33(t))]{\displaystyle P_{2}'(t)=P_{2}(t){\Biggl [}-r_{2}(t)+a_{31}(t)p{\biggl (}t-\tau _{31}(t){\biggr )}-a_{32}(t)P_{1}{\biggl (}t-\tau _{32}(t){\biggr )}-a_{33}(t)P_{2}{\biggl (}t-\tau _{33}(t){\biggr )}{\Biggr ]}}p(t){\displaystyle p(t)}P1(t){\displaystyle P_{1}(t)}P2(t){\displaystyle P_{2}(t)}t,ri,aij∈C(R,[0,∞)){\displaystyle t,r_{i},a_{ij}\in C(\mathbb {R} ,[0,\infty ))}τij∈C(R,R){\displaystyle \tau _{ij}\in C(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )}

FDEを使用する他のモデル

FDE、つまり RFDE を使用した他のモデルの例を以下に示します。

参照

参考文献

  1. ^ a b c d e f g Kolmanovskii, V.; Myshkis, A. (1992).応用関数微分方程式理論. オランダ: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-2013-1。
  2. ^ a bヘイル、ジャック・K. (1971).関数微分方程式. 米国: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90023-3。
  3. ^ジャック・K・ヘイル; Verduyn Lunel、Sjoerd M. (1993)。関数微分方程式の概要。米国: Springer-Verlag。ISBN 0-387-94076-6。
  4. ^ a b Falbo, Clement E. 「関数微分方程式を解くためのいくつかの基本的方法」(PDF) 。2016年12月20日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。
  5. ^ Guo, S.; Wu, J. (2013).関数微分方程式の分岐理論. ニューヨーク: Springer. pp.  41– 60. ISBN 978-1-4614-6991-9。
  6. ^ベルマン, リチャード; クック, ケネス L. (1963).微分差分方程式. ニューヨーク: アカデミック・プレス. pp.  42–49 . ISBN 978-0124109735。{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
  7. ^ Barnes, B.; Fulford, GR (2015).ケーススタディによる数学モデリング. Taylor & Francis Group LLC. pp.  75– 77. ISBN 978-1-4822-4772-5。
  8. ^ a b c d e Schmitt, Klaus編 (1972).遅延および関数微分方程式とその応用. 米国: Academic Press.
  9. ^ Xu, Changjin; Wu, Yusen (2013). 「時間変動遅延を伴うロトカ・ヴォルテラ捕食者・被食者モデルのダイナミクス」 . Abstract and Applied Analysis . 2013 : 1– 9. doi : 10.1155/2013/956703 .
  10. ^ García López, Álvaro (2020年9月1日). 「量子ゆらぎの電気力学的起源について」.非線形ダイナミクス. 102 (1): 621– 634. arXiv : 2001.07392 . Bibcode : 2020NonDy.102..621L . doi : 10.1007/s11071-020-05928-5 . S2CID 210838940 . 

注記

  1. ^以下の例では、 x (...) の (...) は、 xと (...)の積ではなく、関数xの引数を表します

さらに読む

  • ハードマン, テリー L.; ランキン III, サミュエル M.; ステック, ハーラン W. (1981).積分方程式と関数微分方程式：講義ノート. 67.米国: マルセル・デッカー社, 純粋・応用数学
  • フォード、ネヴィル・J.; ラム、パトリシア・M. (2009). 「混合型関数微分方程式：数値的アプローチ」.計算・応用数学ジャーナル. 229 (2): 471–479
  • レモン、グレッグ；キンフ、ジョン・R.（2012）：「差動接着による生物学的細胞選別のための機能微分方程式モデル」応用科学における数学モデルと方法12（1）：93–126
  • ダ・シルバ、カルメン、エスカランテ、ルネ (2011). 「順方向・逆方向関数微分方程式のセグメント化タウ近似」.コンピュータと数学の応用. 62 (12): 4582–4591
  • Pravica, DW; Randriampiry, N.; Spurr, MJ (2009). 「ウェーブレット研究における高度な微分方程式の応用」.応用・計算調和解析. 27 (1): 2(10)
  • Breda, Dimitri; Maset, Stefano; Vermiglio Rossana (2015).線形遅延微分方程式の安定性：MATLABを用いた数値的アプローチ. Springer. ISBN 978-1-4939-2106-5
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