複数の実変数の関数

数学的解析とその応用において、実変数関数または実多変数関数とは、複数の引数を持ち、すべての引数が実変数である関数のことです。この概念は、実変数関数の概念を複数の変数に拡張したものです。「入力」変数は実数値を取り、「出力」（関数の値とも呼ばれます）は実数または複素数です。しかし、複素関数の研究は、複素関数の実部と虚部を考慮することで、実数値関数の研究に簡単に還元できます。したがって、特に明記しない限り、この記事では実数値関数のみを扱います。

n変数関数の定義域は、その関数が定義されている⁠ ⁠の部分集合です。通常、複数の実変数を持つ関数の定義域は、⁠ ⁠の空でない開集合を含むものと想定されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

一般的な定義

1​

2​

3​

n変数の関数f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n )を空間R ^{n + 1}にグラフとしてプロットしたもの。領域は赤色のn次元領域、画像は紫色のn次元曲線である。

n個の実変数を持つ実数値関数とは、 n個の実数（通常は変数x ₁、x ₂、…、x _nで表される）を入力として受け取り、別の実数（通常は関数の値f ( x ₁、x ₂、…、x _n )で表される）を生成する関数です。簡潔にするため、この記事では、複数の実変数を持つ実数値関数を単に関数と呼びます。曖昧さを避けるため、他の種類の関数についても明示的に指定します。

いくつかの関数は変数のすべての実数値に対して定義される（どこでも定義されていると言われる）が、他のいくつかの関数は変数の値が関数の定義域であるR ⁿの部分集合Xに含まれる場合にのみ定義される。R nの部分集合Xは常にR ⁿの開集合を含むと想定される。言い換えれば、n個の実変数を持つ実数値関数は関数である。

${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$

その定義域Xは空でない開集合を含む R ⁿのサブセットである。

Xの要素がn個の組( x ₁ , x ₂ , …, x _n )（通常は括弧で区切られる）である場合、関数を表す一般的な表記法はf (( x ₁ , x ₂ , …, x _n ))となる。集合間の関数の一般的な定義よりもはるかに古い慣用法では、二重括弧は使用せず、単にf ( x ₁ , x ₂ , …, x _n )と書く。

n組( x ₁ , x ₂ , …, x _n )を、ベクトルの表記法に似た、太字のx、下線付きのx、上矢印のx →などの略記法で表記することもよくあります。この記事では太字を使用します。

2 つの変数を持つ関数の簡単な例は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}&V:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(A,h)\in \mathbb {R} ^{2}\mid A>0,h>0\right\}\\&V(A,h)={\frac {1}{3}}Ah\end{aligned}}}$

これは、底面積A、底から垂直に測った高さhの円錐の体積Vです。長さと面積は必ず正となる ため、定義域ではすべての変数が正となるよう制限されます。

2 つの変数の関数の例:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \\&z(x,y)=ax+by\end{aligned}}}$

ここで、aとbは非零の実定数である。xy平面を定義域R ²、z軸を共定義域Rとする3次元直交座標系を用いると、この図は正のx方向の傾きがa、正のy方向の傾きがbである2次元平面として視覚化できる。この関数はR ²内のすべての点( x , y )において明確に定義されている。前の例は高次元に簡単に拡張できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&z:\mathbb {R} ^{p}\to \mathbb {R} \\&z(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{p})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{p}x_{p}\end{aligned}}}$

p 個の非ゼロ実定数a ₁、a ₂、…、a _pに対して、 p次元超平面を記述します。

ユークリッドノルム：

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=\|{\boldsymbol {x}}\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}$

はn変数 の関数であり、どこでも定義されるが、

${\displaystyle g({\boldsymbol {x}})={\frac {1}{f({\boldsymbol {x}})}}$

はx ≠(0, 0, …, 0)の場合にのみ定義されます。

2 つの変数を持つ非線形の例関数の場合:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z:X\to \mathbb {R} \\&X=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}\leq 8\,,\,x\neq 0\,,\,y\neq 0\right\}\\&z(x,y)={\frac {1}{2xy}}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}}}$

これは、平面R ²上の原点( x , y ) = (0, 0)で「穴が開けられた」半径√ 8の円板Xのすべての点を取り、 R上の点を返します。この関数は原点( x , y ) = (0, 0)を含んでいません。もし含んでいると、その点におけるf は定義不能になります。xy平面を定義域R ²とし、 z 軸を共定義域Rとする3次元直交座標系を用いると、この画像は曲面として視覚化できます。

この関数は、 Xの点( x , y ) = (2, √ 3 )で評価できます。

${\displaystyle z\left(2,{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2\cdot 2\cdot {\sqrt {3}}}}{\sqrt {\left(2\right)^{2}+\left({\sqrt {3}}\right)^{2}}}={\frac {1}{4{\sqrt {3}}}}{\sqrt {7}}\,,}$

しかし、この関数は、例えば

${\displaystyle (x,y)=(65,{\sqrt {10}})\,\Rightarrow \,x^{2}+y^{2}=(65)^{2}+({\sqrt {10}})^{2}>8}$

xとyのこれらの値はドメインのルールを満たしていないためです。

画像

関数f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n )の像は、 n組( x ₁ , x ₂ , …, x _n )がfの定義域全体を通っているときの、 fのすべての値の集合です。連続（定義は下記参照）実数値関数で定義域が連結である場合、像は区間または単一の値のいずれかになります。後者の場合、関数は定数関数です。

与えられた実数cの逆像は準位集合と呼ばれる。これは方程式f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n ) = cの解の集合である。

ドメイン

多変数実関数の定義域は R n の部分集合であり、明示的^に定義される場合もありますが、常に明示的に定義されるとは限りません。実際、関数fの定義域X を部分集合Y ⊂ Xに制限すると、形式的には異なる関数、すなわちfのYへの制限が得られ、これは と表記されます。実際には、 fと を同一視し、制限子| _Yを省略しても問題ない場合が多いですが（常にそうとは限りません）。 ${\displaystyle f|_{Y}}$ ${\displaystyle f|_{Y}}$

逆に、連続性や解析接続などによって、与えられた関数の定義域を自然に拡大できる場合もあります。

さらに、多くの関数は、その定義域を明示的に指定することが困難な方法で定義されています。例えば、関数fが与えられた場合、関数の定義域を指定することが困難な場合があります。 f が多変数多項式（定義域として を持つ）である場合、 gの定義域も であるかどうかを判定することさえ困難です。これは、多項式が常に正であるかどうかを判定することと同等であり、活発な研究分野の研究対象となっています（ 「正の多項式 」を参照）。 ${\displaystyle g({\boldsymbol {x}})=1/f({\boldsymbol {x}}).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

代数構造

実数に対する通常の算術演算は、次のようにして複数の実変数の実数値関数に拡張できます。

• すべての実数rに対して、定数関数 はどこでも定義されます。$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto r}$$
• すべての実数rとすべての関数fに対して、関数:はfと同じ定義域を持ちます(またはr = 0の場合はどこでも定義されます)。$${\displaystyle rf:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto rf(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$
• fとg がそれぞれXとYの領域を持つ 2 つの関数であり、X ∩ YがR ⁿの空でない開集合を含む場合、およびはX ∩ Yを含む領域を持つ関数です。$${\displaystyle f\,g:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,g(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$ $${\displaystyle g\,f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto g(x_{1},\ldots ,x_{n})\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$$

したがって、n変数の関数のうち、どこでも定義されているものも、与えられた点の近傍で定義されているものも、どちらも実数（R代数）上の可換代数を形成する。これは関数空間の典型的な例である。

同様に定義すると

${\displaystyle 1/f:(x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto 1/f(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

これは、 fの定義域における点( x ₁ , …, x _n )の集合でf ( x ₁ , …, x _n ) ≠ 0 がR ⁿの開集合を含む場合にのみ関数となる。この制約は、上記の2つの代数が体ではないことを意味する。

多変数関数に関連付けられた単変数関数

実変数1つの関数は、変数のうち1つを除くすべての変数に定数を与えることで簡単に得られる。例えば、( a ₁ , …, a _n )が関数fの定義域の内部点である場合、 x ₂ , …, x _nの値をそれぞれa ₂ , …, a _nに固定することで、単変数関数が得られる。

${\displaystyle x\mapsto f(x,a_{2},\ldots ,a_{n}),}$

その定義域はa ₁を中心とする区間を含む。この関数は、関数fを、 i = 2, …, nに対してx _i = a _iという方程式で定義される直線に制限したものと見ることもできる。

他の単変数関数は、 fを( a ₁ , …, a _n )を通る任意の直線に制限することで定義できます。これらは以下の関数です。

${\displaystyle x\mapsto f(a_{1}+c_{1}x,a_{2}+c_{2}x,\ldots ,a_{n}+c_{n}x),}$

ここで、c _iはすべてがゼロではない実数です。

次のセクションでは、多変数関数が連続的であれば、単変数関数もすべて連続的であるが、その逆は必ずしも真ではないことを示します。

連続性と限界

19世紀後半まで、数学者は連続関数のみを考察していました。当時、位相空間と位相空間間の連続写像が正式に定義されるずっと以前から、一変数または複数の実変数の関数について連続性の概念が精緻化されていました。複数の実変数の連続関数は数学において広く用いられているため、位相空間間の連続写像という一般的な概念とは関係なく、この概念を定義することは価値があります。

連続性を定義するには、 2 n 個の実変数 のどこでも定義された関数であるR ⁿの距離関数を考慮すると便利です。

${\displaystyle d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=d(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})={\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}}$

関数fがその定義域の内部にある点a = ( a ₁ , …, a _n )で連続であるとは、任意の正の実数εに対して、 d ( x a ) < φとなるすべてのxに対して| f ( x ) − f ( a )| < εを満たす正の実数φが存在するときである。言い換えれば、φ は、半径φを持つ球体のaを中心とする像が、 f ( a )を中心とする長さ2 εの区間に含まれるように、十分に小さく選ぶことができる。関数が連続であるとは、定義域のすべての点で連続であることを意味する 。

関数がf ( a )で連続ならば、変数x _iのうち1つを除いてすべてを値a _iに固定することによって得られる一変数関数はすべてf ( a )で連続となる。逆は偽である。つまり、これらの一変数関数はすべて、f ( a )で連続でない関数に対して連続となる可能性がある。例えば、 f (0, 0) = 0 となる関数 f を考えよう。そうでなければ、 f (0, 0) = 0となる関数fは次のように定義される。

${\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}.}$

関数x ↦ f ( x , 0)とy ↦ f (0, y )はどちらも定数でゼロに等しいため連続である。関数f は(0, 0)において連続ではない。なぜならε < 1/2かつy = x ² ≠ 0のとき、 | x |が非常に小さい場合でもf ( x , y ) = 1/2 となるからである。連続ではないが、この関数は、(0, 0)を通る直線に制限することによって得られるすべての一変数関数も連続であるというさらなる性質を持つ。実際、

${\displaystyle f(x,\lambda x)={\frac {\lambda x}{x^{2}+\lambda ^{2}}}}$

λ ≠0の場合。

実数値関数のある点における極限は次のように定義される。[ 1 ^{] a =} ( a 1 _, a 2 _, …, a _n )を関数fの定義域Xの位相閉包内の点とする。関数fは、 x がaに向かうときに極限Lを持ち、これを

${\displaystyle L=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}),}$

次の条件が満たされる場合：すべての正の実数ε > 0に対して、正の実数δ > 0が存在し、

${\displaystyle |f({\boldsymbol {x}})-L|<\varepsilon }$

定義域内の すべてのxに対して、

${\displaystyle d({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {a}})<\delta .}$

極限が存在する場合、それは一意である。aが定義域の内部にある場合、極限が存在するのは、関数がaで連続である場合に限る。この場合、

${\displaystyle f({\boldsymbol {a}})=\lim _{{\boldsymbol {x}}\to {\boldsymbol {a}}}f({\boldsymbol {x}}).}$

a がfの定義域の境界内にあり、f がaで極限を持つ場合、後者の式によりfの定義域をaまで「連続的に拡張」することができます。

対称

対称関数とは、2つの変数x _iとx _jを交換しても変化しない関数fのことです。

${\displaystyle f(\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{j},\ldots )=f(\ldots ,x_{j},\ldots ,x_{i},\ldots )}$

ここで、iとjはそれぞれ1、2、…、nのいずれかです。例えば、

${\displaystyle f(x,y,z,t)=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

は、 x、y、zについて対称です。これは、 x、y、zの任意のペアを入れ替えてもfは変化しないためです。ただし、 t をxまたはyまたはzと入れ替えると異なる関数 になるため、x、y、z、tのすべてについて対称ではありません。

関数合成

関数が

${\displaystyle \xi _{1}=\xi _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\quad \xi _{2}=\xi _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),\ldots \xi _{m}=\xi _{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}$

あるいはより簡潔に言えばξ = ξ ( x )はすべて、定義域X上で定義されます。n組x = ( x ₁ , x ₂ , …, x _n )がR ⁿのサブセットであるX内で変化するのと同様に、m組ξ = ( ξ ₁ , ξ ₂ , …, ξ _m )は別の領域Ξ （R ^mのサブセット）内で変化します。これを言い換えると、

${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}:X\to \Xi .}$

次に、 Ξ上で定義された関数ξ ( x )のうちの関数ζ は、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta :\Xi \to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m}),\end{aligned}}}$

はX上に定義された関数合成であり、^{[ 2 ]}言い換えれば写像

${\displaystyle {\begin{aligned}&\zeta :X\to \mathbb {R} ,\\&\zeta =\zeta (\xi _{1},\xi _{2},\ldots ,\xi _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$

数値mとn は等しくなくてもよいことに注意してください。

例えば、関数

${\displaystyle f(x,y)=e^{xy}[\sin 3(x-y)-\cos 2(x+y)]}$

R ²上のどこでも定義されるは、

${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )=(\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=(xy,x-y,x+y)}$

これはR ³のどこでも定義されており、

${\displaystyle f(x,y)=\zeta (\alpha (x,y),\beta (x,y),\gamma (x,y))=\zeta (\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{\alpha }[\sin(3\beta )-\cos(2\gamma )]\,.}$

関数合成を使用すると関数を簡略化することができ、多重積分を実行したり偏微分方程式を解いたりするのに役立ちます。

微積分

初等微積分学は、1 つの実変数の実数値関数の微積分学であり、そのような関数の微分と積分の主要な考え方は、複数の実変数の関数に拡張できます。この拡張が多変数微積分学です。

偏微分

偏微分は各変数に関して定義できます。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

偏微分自体は関数であり、それぞれがx ₁、x ₂、…、x _n軸のいずれかに平行な関数fの変化率を、定義域内のすべての点において表します（微分が存在し、かつ連続である場合。下記も参照）。1次微分は、関数が対応する軸の方向に沿って増加する場合は正、減少する場合は負、増加も減少もない場合はゼロとなります。定義域内の特定の点における偏微分を評価すると、その点における関数の特定の軸に平行な方向の変化率（実数）が得られます。

実変数の実数値関数y = f ( x )の場合、その常微分dy / dxは、定義域内のすべての点における曲線y = f ( x )の接線の勾配として幾何学的に定義されます。偏微分は、この考え方を曲線の接超平面に拡張します。

2次偏微分は変数のペアごとに計算できます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}x_{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})\,,\ldots ,{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

幾何学的には、これらは定義域内のすべての点における関数の像の局所曲率と関連しています。関数が明確に定義されている任意の点において、関数はいくつかの軸に沿って増加したり、他の軸に沿って減少したり、あるいは他の軸に沿って全く増加しないか減少したりする可能性があります。

これにより、様々な停留点、すなわち大域的または局所的最大値、大域的または局所的最小値、そして鞍点（実変数1つの関数における変曲点の多次元的類似点）が考えられます。ヘッセ行列は、関数の停留点を調べるために使用されるすべての2階偏微分からなる行列であり、数理最適化において重要です。

一般に、高次のpの偏微分は次の形式を持ちます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\equiv {\frac {\partial ^{p_{1}}}{\partial x_{1}^{p_{1}}}}{\frac {\partial ^{p_{2}}}{\partial x_{2}^{p_{2}}}}\cdots {\frac {\partial ^{p_{n}}}{\partial x_{n}^{p_{n}}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

ここで、p ₁、p ₂、…、p _{n は}それぞれ0からpまでの整数で、 p ₁ + p ₂ + ⋯ + p _n = pとなります。0次偏微分の定義を恒等演算子として使用します。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{1}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad \ldots ,\,{\frac {\partial ^{0}}{\partial x_{n}^{0}}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,.}$

pの増加に伴い、可能な偏微分の数が増加しますが、 2階偏微分は対称性を持つため、混合偏微分（複数の変数に関するもの）は不要になります。これにより、あるpに対して計算する偏微分の数が減少します。

多変数微分可能性

関数f ( x )が点aの近傍で微分可能であるとは、一般にaに依存するn組の数A ( a )=( A1 ( a ), A2 ( a ),…, An ( a ))が存在するときである_。したがって、_{次の式が成り立つ。} ^{[ 3 ]}

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {a}})+{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha ({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|}$

ここで となる。これは、f が点aで微分可能ならば、fはx = aで連続であることを意味する。ただし、逆は成り立たない。つまり、定義域における連続性は、定義域における微分可能性を意味しない。f がaで微分可能ならば、 aにおいて1階偏微分が存在し、以下のようになる。 ${\displaystyle \alpha ({\boldsymbol {x}})\to 0}$ ${\displaystyle |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|\to 0}$

${\displaystyle \left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{i}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}=A_{i}({\boldsymbol {a}})}$

i = 1, 2, …, nの場合、これは個々の偏微分の定義からわかるため、fの偏微分は存在します。

直交デカルト座標系のn次元類似体を想定すると、これらの偏導関数を使用して、この座標系で勾配(「ナブラ」または「デル」とも呼ばれる) と呼ばれるベクトル線形微分演算子を形成できます。

${\displaystyle \nabla f({\boldsymbol {x}})=\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right)f({\boldsymbol {x}})}$

ベクトル計算では、他の微分演算子を構築したり、ベクトル計算の定理を簡潔に定式化したりするために役立つため、 広く使用されています。

次に、勾配∇ f ( x = aで評価)を少し並べ替えて代入すると、次のようになります。

${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})-f({\boldsymbol {a}})=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot ({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}})+\alpha |{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {a}}|}$

ここで、·はドット積を表す。この式は、aの近傍内のすべての点xにおける関数fの最良の線形近似を表す。x → aにおけるfとxの微小変化に対して：

${\displaystyle df=\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{1}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{1}+\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{2}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{2}+\dots +\left.{\frac {\partial f({\boldsymbol {x}})}{\partial x_{n}}}\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}dx_{n}=\nabla f({\boldsymbol {a}})\cdot d{\boldsymbol {x}}}$

これは、 aにおけるfの全微分、または単に微分として定義されます。この式は、 f のすべての x i 方向における微小変化をすべて加算することにより、 f の全微小変化に対応します。また_、 dfは、各方向の微小変化dx _iを基底ベクトルとし、 f​​ の偏微分を成分とする 共ベクトルとして解釈できます。

幾何学的には、 ∇ fはf ( x ) = cで与えられるfの準位集合に垂直であり、これはある定数cに対して( n − 1)次元超曲面を記述する。定数の微分はゼロである。

${\displaystyle df=(\nabla f)\cdot d{\boldsymbol {x}}=0}$

ここで、d x は超曲面f ( x ) = cにおけるxの微小変化であり、∇ fとd xのドット積はゼロなので、∇ fはd xに垂直であることを意味します。

n次元の任意の曲線座標系では、勾配の明示的な表現はそれほど単純ではありません。その座標系の計量テンソルに関するスケール係数が存在するからです。この記事で用いている上記のケースでは、計量はクロネッカーのデルタのみであり、スケール係数はすべて1です。

微分可能性クラス

領域内の 点aで評価されるすべての1階偏微分は、

${\displaystyle \left.{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\quad \left.{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}\,,\ldots ,\left.{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}}$

が存在し、定義域内のすべてのaに対して連続である場合、 f は微分可能性類C ¹を持つ。一般に、すべてのp階偏微分を点aで評価した場合：

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{p}}{\partial x_{1}^{p_{1}}\partial x_{2}^{p_{2}}\cdots \partial x_{n}^{p_{n}}}}f({\boldsymbol {x}})\right|_{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {a}}}}$

存在し、連続であり、p ₁、p ₂、…、p _n、pが上記のとおりで、領域内のすべてのaに対して、 f は領域全体でp の位数まで微分可能であり、微分可能性クラスC ^pを持ちます。

f が微分可能性クラスC ^∞に属する場合、fはあらゆる階数の連続偏微分を持ち、滑らかな関数と呼ばれる。fが解析関数であり、定義域内の任意の点に関するテイラー級数に等しい場合、 C ^ωという表記はこの微分可能性クラスを表す。

複数の統合

定積分は、次の表記法を使用して、複数の実変数にわたる 多重積分に拡張できます。

${\displaystyle \int _{R_{n}}\cdots \int _{R_{2}}\int _{R_{1}}f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{n}\equiv \int _{R}f({\boldsymbol {x}})\,d^{n}{\boldsymbol {x}}}$

ここで、各領域R ₁、R ₂、…、R _nは実数直線のサブセットまたは全体です。

${\displaystyle R_{1}\subseteq \mathbb {R} \,,\quad R_{2}\subseteq \mathbb {R} \,,\ldots ,R_{n}\subseteq \mathbb {R} ,}$

そしてそれらの直積は、単一の集合として積分する領域を与える。

${\displaystyle R=R_{1}\times R_{2}\times \dots \times R_{n}\,,\quad R\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,,}$

n次元超体積。定積分を評価すると、積分が積分領域Rで収束する場合、その積分は実数となる（定積分の結果は、与えられた領域において無限大に発散する可能性があり、そのような場合、積分は不確定なままとなる）。変数は、積分の過程で数値に代入される 「ダミー」または「束縛」変数として扱われる。

実変数y = f ( x )の実数値関数のxに関する積分は、曲線y = f ( x )とx軸で囲まれた領域として幾何学的に解釈されます。多重積分はこの概念の次元性を拡張します。直交座標系のn次元アナログを想定すると、上記の定積分は、 f ( x )とx ₁、x ₂、 …、x _n軸で囲まれたn次元超体積として幾何学的に解釈されます。これらの軸は、積分される関数（積分が収束する場合）に応じて、正、負、またはゼロになることがあります。

有界超体積は有用な洞察ですが、定積分のより重要な概念は、それらが空間内の総量を表すという点です。これは応用数学と物理学において重要な意味を持ちます。例えば、fが何らかのスカラー密度場であり、x が位置ベクトル座標、つまりn次元超体積単位あたりのスカラー量であるとすると、領域R上で積分するとR内の総量が得られます。超体積のより正式な概念は測度論の主題です。上記ではルベーグ測度を使用しましたが、このトピックの詳細については ルベーグ積分を参照してください。

定理

多重積分と偏微分の定義により、多変数微積分の基本定理（特にストークスの定理）、多変数部分積分、高次偏微分の対称性、多変数関数のテイラー定理など、重要な定理を定式化することができます。積分と 偏微分が混在する関数の評価は、積分記号 のもとでの定理微分を用いて行うことができます。

ベクトル計算

複数の実変数それぞれに対応する関数を複数集めることができる。

${\displaystyle y_{1}=f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\quad y_{2}=f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,,\ldots ,y_{m}=f_{m}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})}$

mタプルに、または列ベクトルまたは行ベクトルとしてそれぞれ変換されます。

${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}\leftrightarrow {\begin{bmatrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&f_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&\cdots &f_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\end{bmatrix}}}$

これらすべてはm成分ベクトル場と同様に扱われ、都合の良い形式を使用することができます。上記の表記はすべて、y = f ( x )という共通の簡潔な表記法で表されます。このようなベクトル場の微積分はベクトル微積分です。多変数関数の行ベクトルと列ベクトルの扱いについては、行列微積分を参照してください。

暗黙的な関数

複数の実変数からなる実数値暗黙関数は、「 y = f (…) 」という形では書かれません。その代わりに、空間R ^{n + 1から}Rの零元（通常の零点 0 ） への写像が用いられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{n+1}\to \{0\}\\&\phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=0\end{aligned}}}$

はすべての変数を含む方程式です。暗黙関数は、関数を表現するより一般的な方法です。なぜなら、

${\displaystyle y=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$

すると、常に次のように定義できます。

${\displaystyle \phi (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y)=y-f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0}$

しかし、その逆は常に可能であるとは限らず、つまり、すべての暗黙的関数が明示的な形式を持つわけではありません。

例えば、区間表記法を使うと、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\phi :X\to \{0\}\\&\phi (x,y,z)=\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}+\left({\frac {z}{c}}\right)^{2}-1=0\\&X=[-a,a]\times [-b,b]\times [-c,c]=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\,:\,-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b,-c\leq z\leq c\right\}.\end{aligned}}}$

3 次元 (3D) 直交座標系を選択すると、この関数は、原点( x , y , z ) = (0, 0, 0)を中心とし、それぞれ正のx、y、z軸に沿った一定の半径a、b、cを持つ 3D楕円体の表面を記述します。 a = b = c = rの場合、原点を中心とする半径rの球面になります。同様に記述できる他の円錐断面の例には、双曲面や放物面があり、より一般的には 3D ユークリッド空間の任意の 2D 表面も同様に記述できます。上記の例は、 x、y 、またはzについて解くことができますが、暗黙の形式で記述する方がはるかに簡潔です。

より洗練された例:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\phi :\mathbb {R} ^{4}\to \{0\}\\&\phi (t,x,y,z)=Ctze^{tx-yz}+A\sin(3\omega t)\left(x^{2}z-By^{6}\right)=0\end{aligned}}}$

非ゼロの実定数A、B、C、ωの場合、この関数はすべての( t、x、y、z )に対して明確に定義されますが、これらの変数に対して明示的に解くことはできず、「 t =」、「x =」 などと表記されます。

2つ以上の実変数の暗黙関数定理は、関数の連続性と微分可能性を次のように扱う。[ ^{4 ] ϕ} ( x 1 _, x 2 _, …, x _n )を連続的な1次偏微分を持つ連続関数とし、点( a , b ) = ( a ₁ , a ₂ , …, a _n , b )で評価したϕ を0とする。

${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {a}},b)=0;}$

そして、 ϕのyに関する最初の偏微分を( a , b )で評価すると、ゼロではないとします。

${\displaystyle \left.{\frac {\partial \phi ({\boldsymbol {x}},y)}{\partial y}}\right|_{({\boldsymbol {x}},y)=({\boldsymbol {a}},b)}\neq 0.}$

このとき、区間[ y ₁ , y ₂ ]にはbが含まれ、領域Rには( a , b )が含まれます。Rのすべてのxに対して、ϕ ( x , y ) = 0を満たす[ y ₁ , y ₂ ]の値が1つだけ存在し、y はxの連続関数であるため、ϕ ( x , y ( x )) = 0となります。これらの関数の 全微分は次のようになります。

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n};}$

${\displaystyle d\phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x_{1}}}dx_{1}+{\frac {\partial \phi }{\partial x_{2}}}dx_{2}+\dots +{\frac {\partial \phi }{\partial x_{n}}}dx_{n}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}dy.}$

後者の微分にdyを代入し、微分係数を等しくすると、元の関数の微分に関して yのx _iに関する1階偏微分が得られ、それぞれ線形方程式の解として得られる。

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=0}$

i = 1, 2, …, nの場合。

複数の実変数の複素数値関数

実数値関数の定義において、実数へのコドメインの制限を緩和し、複素数値を許可することによって、複数の実変数の複素数値関数を定義できます。

f ( x ₁ , …, x _n )がそのような複素数値関数である場合、それは次のように分解される。

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(x_{1},\ldots ,x_{n})+ih(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

ここで、gとhは実数値関数です。言い換えれば、複素数値関数の研究は、実数値関数のペアの研究に容易に帰着します。

この還元は一般的な性質には適用できます。しかし、例えば次のように明示的に与えられた関数の場合は、

${\displaystyle z(x,y,\alpha ,a,q)={\frac {q}{2\pi }}\left[\ln \left(x+iy-ae^{i\alpha }\right)-\ln \left(x+iy+ae^{-i\alpha }\right)\right]}$

実数部と虚数部の計算は難しいかもしれません。

アプリケーション

実変数の多変数関数は工学や物理学において必然的に生じます。観測可能な物理量は実数（関連する単位と次元を持つ）であり、一般に 1 つの物理量は他の多数の量に依存するからです。

複数の実変数を持つ実数値関数の例

連続体力学の例には、質量分布の局所質量密度ρ 、空間位置座標（ここでは例として直交座標）、 r = ( x、y、z )、および時間tに依存するスカラー場が含まれます。

${\displaystyle \rho =\rho (\mathbf {r} ,t)=\rho (x,y,z,t)}$

電荷を帯びた物体の電荷密度や、その他多数のスカラー電位場についても同様です。

もう 1 つの例は、ベクトル場である速度場です。速度場には、同様に空間座標と時間の多変数関数である速度v = ( v _x、v _y、v _z )の成分があります。

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (x,y,z,t)=[v_{x}(x,y,z,t),v_{y}(x,y,z,t),v_{z}(x,y,z,t)]}$

電場や磁場、ベクトルポテンシャル場などの他の物理的なベクトル場についても同様です。

もう一つの重要な例は、熱力学における状態方程式です。これは、流体の 圧力P、温度T、および体積Vを関連付ける方程式で、一般に暗黙的な形式を持ちます。

${\displaystyle f(P,V,T)=0}$

最も単純な例は理想気体の法則です。

${\displaystyle f(P,V,T)=PV-nRT=0}$

ここで、nはモル数（物質の量が一定であれば定数）、Rは気体定数です。より複雑な状態方程式が経験的に導かれていますが、それらはすべて上記の暗黙的な形に従います。

複数の実変数の実数値関数は、経済学に広く登場します。消費者理論の基礎では、効用は消費される各種財の量の関数として表現され、各量は効用関数の引数となります。効用を最大化すると、一連の需要関数が得られます。各需要関数は、特定財の需要量を、各種財の価格と所得または富の関数として表現します。生産者理論では、企業は通常、生産される各種財の量と使用される各種生産要素の量の関数として利益を最大化するものと想定されます。最適化の結果は、各種生産要素の需要関数と各種製品の供給関数です。これらの関数はそれぞれ、財の価格と生産要素の価格を引数として持ちます。

複数の実変数を持つ複素数値関数の例

一部の「物理量」は、実際には複素数値である場合があります。例えば、複素インピーダンス、複素誘電率、複素透磁率、複素屈折率などです。これらは、周波数や時間、温度といった実変数の関数でもあります。

2次元流体力学、特に2次元の流体運動を記述するポテンシャル流の理論では、複素ポテンシャルは

${\displaystyle F(x,y,\ldots )=\varphi (x,y,\ldots )+i\psi (x,y,\ldots )}$

は、2つの空間座標xとy、およびシステムに関連するその他の実変数の複素関数です。実部は速度ポテンシャルであり、虚部は流れ関数です。

球面調和関数は、物理学や工学において、ラプラス方程式の解として、また実数値の球面極角の複素数値関数であるz成分角運動量演算子の固有関数として使用されます。

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}=Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$

量子力学では、波動関数は必然的に複素数値であるが、実空間座標（または運動量成分）と時間tの関数である。

${\displaystyle \Psi =\Psi (\mathbf {r} ,t)=\Psi (x,y,z,t)\,,\quad \Phi =\Phi (\mathbf {p} ,t)=\Phi (p_{x},p_{y},p_{z},t)}$

ここで、それぞれはフーリエ変換によって関連付けられます。

参照

• 実座標空間
• 実分析
• 複素解析
• 複数の複素変数の関数
• 多変量補間
• スカラー場

参考文献

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