変分法の基本補題

数学、特に変分法において、関数fの変分δf は任意の小さな区間に集中することはできますが、単一の点に集中することはできません。したがって、極値（関数微分がゼロであること）の必要条件は、任意の関数δfと積分された弱い定式化（変分形式）に現れます。変分法の基本補題は、通常、この弱い定式化を、任意の関数との積分を必要としない強い定式化（微分方程式）に変換するために使用されます。証明では通常、f が符号（正または負）を保持する区間に集中するδf を選択できる可能性を利用します。この補題にはいくつかのバージョンが使用されています。基本バージョンは定式化と証明が容易です。より強力なバージョンは、必要に応じて使用されます

基本バージョン

開区間上の連続関数が次の等式を満たす 場合${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

上のすべてのコンパクトにサポートされた 滑らかな関数 に対して、は必ずゼロになる。^{[1] [2]}${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f}$

ここで「滑らか」とは「無限に微分可能」と解釈されることもあるが^[1]、「2回連続的に微分可能」や「連続的に微分可能」、あるいは単に「連続」と解釈されることも多い。 ^[2]なぜなら、これらのより弱い主張でも、特定のタスクには十分に強い主張となる場合があるからである。「コンパクトにサポートされている」とは、「ある に対して の外側で が消え、となる」ことを意味する。 ^[1]しかし、多くの場合、 （またはおよびその導関数のいくつか）が端点、で消えると仮定するだけで、より弱い主張で十分である。^[2]この場合は閉区間が使用される。 ${\displaystyle [c,d]}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a<c<d<b}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle [a,b]}$

証明

ある について と仮定する。 は連続なので、 となるあるについて、 は同じ符号で非ゼロである。一般性を失うことなく、 と仮定する。次に、 では正で、それ以外の場所ではゼロとなる を取る。例えば ${\displaystyle f({\bar {x}})\neq 0}$ ${\displaystyle {\bar {x}}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle c,d}$ ${\displaystyle a<c<{\bar {x}}<d<b}$ ${\displaystyle f({\bar {x}})>0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle (c,d)}$

${\displaystyle h(x)={\begin{cases}\exp \left(-{\frac {1}{(x-c)(d-x)}}\right),&c<x<d\\0,&\mathrm {otherwise} \end{cases}}}$ {\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&=u'_{0},\\f_{1}&=u_{0}+u'_{1},\\f_{2}&=u_{1}+u'_{2}\\\vdots \\f_{n-1}&=u_{n-2}+u'_{n-1},\\f_{n}&=u_{n-1}\end{aligned}}}

このバンプ関数は、ステートメント内の特性（を含む）を満たしていること に注意してください${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)h(x)dx>0,}$

矛盾に陥ってしまいます。^[3]

与えられた2つの関数のバージョン

区間（a、b ）上の連続関数f、gのペアが次の等式を満たす 場合

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f(x)\,h(x)+g(x)\,h'(x))\,\mathrm {d} x=0}$

( a , b )上のすべてのコンパクトに支えられた滑らかな関数hに対して、gは微分可能であり、g' = fが  どこでも成り立つ。^{[4] [5]}

g = 0の特殊なケースは、単なる基本バージョンです。

ここではf = 0 の特殊なケースを示します(多くの場合これで十分です)。

区間（a、b） 上の連続関数gが次の式を満たす場合

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)\,h'(x)\,\mathrm {d} x=0}$

となるような( a , b )上のすべての滑らかな関数hに対して、gは定数である。^{[6] [7]}${\displaystyle h(a)=h(b)=0}$

さらに、gの連続微分可能性を仮定すると、部分積分によって両方のステートメントが基本バージョンに簡約されます。このケースはジョゼフ＝ルイ・ラグランジュによるもので、 gの微分可能性の証明はポール・デュ・ボア＝レーモンによるものです。

不連続関数のバージョン

与えられた関数（f , g ）は、局所的に積分可能（与えられた区間上）であれば、不連続であってもよい。この場合、ルベーグ積分が意味され、結論はほぼすべての場所で（したがって、すべての連続点において）成り立ち、gの微分可能性は（連続微分可能性ではなく）局所絶対連続性として解釈される。 ^{[8] [9]}時には、与えられた関数が区分的に連続であると仮定され、その場合、リーマン積分で十分であり、結論は不連続点の有限集合を除くすべての場所で述べられる。^[5]

高次導関数

区間 ( a , b ) 上の連続関数の組が次の等式を満たす 場合${\displaystyle f_{0},f_{1},\dots ,f_{n}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f_{0}(x)\,h(x)+f_{1}(x)\,h'(x)+\dots +f_{n}(x)\,h^{(n)}(x))\,\mathrm {d} x=0}$

( a , b )上のすべてのコンパクトに支えられた滑らかな関数hに対して、 ( a , b ) 上の連続的に微分可能な関数が存在し、${\displaystyle u_{0},u_{1},\dots ,u_{n-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{0}&=u'_{0},\\f_{1}&=u_{0}+u'_{1},\\f_{2}&=u_{1}+u'_{2}\\\vdots \\f_{n-1}&=u_{n-2}+u'_{n-1},\\f_{n}&=u_{n-1}\end{aligned}}}$

どこでも。^[10]

この必要条件は十分条件でもある。なぜなら、積分関数は${\displaystyle (u_{0}h)'+(u_{1}h')'+\dots +(u_{n-1}h^{(n-1)})'.}$

n = 1の場合は、与えられた2つの関数のバージョンに等しい。${\displaystyle f=f_{0}=u'_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}=u_{0},}$ ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}=0.}$

対照的に、 n = 2の場合、関数は2回微分可能である必要はないため、関係式は成立しません。必要十分条件は必ずしも必要ではありません。むしろ、必要十分条件はn = 2 の場合、n = 3の場合、などと書くことができます。一般に、微分不可能であるため、括弧を開くことはできません。 ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0,}$ ${\displaystyle f_{2}=u_{1}}$ ${\displaystyle f_{0}-f'_{1}+f''_{2}=0}$ ${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-f'_{2})'=0}$ ${\displaystyle f_{0}-(f_{1}-(f_{2}-f'_{3})')'=0}$

ベクトル値関数

ベクトル値関数 への一般化は簡単です。スカラー関数の結果を各座標に個別に適用するか^[11]、最初からベクトル値の場合を扱います^[12]${\displaystyle (a,b)\to \mathbb {R} ^{d}}$

多変数関数

開集合上の連続多変数関数 fが次の等式を満たす 場合${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

Ω 上のすべてのコンパクトにサポートされた滑らかな関数hに対して、 fは常にゼロになります。

基本版と同様に、Ωの閉包上の連続関数fを考え、 hがΩの境界上で消滅する（コンパクトにサポートされているのではなく）と仮定する。^[13]

以下は不連続多変数関数のバージョンです。

を開集合とし、等式を満たすものとする。 ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f(x)\,h(x)\,\mathrm {d} x=0}$

Ω上のすべてのコンパクトに支えられた滑らかな関数hに対して。するとf =0と^なる（ L2において、つまりほぼどこでも）。^[14]

応用

この補題は、関数の極値を証明するために使用されます

${\displaystyle J[y]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}L(t,y(t),{\dot {y}}(t))\,\mathrm {d} t}$

は、オイラー・ラグランジュ方程式の（適切なベクトル空間に対する）弱解 である 。${\displaystyle y:[x_{0},x_{1}]\to V}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial y}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial L(t,y(t),{\dot {y}}(t)) \over \partial {\dot {y}}}.}$

オイラー・ラグランジュ方程式は古典力学と微分幾何学において重要な役割を果たします。

注釈

1. Jost & Li-Jost 1998, p.6 補題1.1.1
2. Gelfand & Fomin 1963, p.9 補題1（および注釈）
3. Liberzon 2012、p.30のLemma 2.1 Web版: "Lemma 2.1 The Lemma of DuBois-Reymond".
4. Gelfand & Fomin 1963、p.11の補題4
5. Hestenes 1966、補題 15.1、p.50
6. Gelfand & Fomin 1963、p.10の補題2
7. Liberzon 2012、p.33のLemma 2.2 Web版: "Lemma 2.2 (Lemma 2.1の修正)".
8. Jost & Li-Jost 1998、p.13の補題1.2.1
9. Giaquinta & Hildebrandt 1996、セクション2.3：軟化剤
10. Hestenes 1966、補題 13.1、p.105
11. ゲルファンド＆フォミン 1963、35ページ
12. ジョスト＆リージョスト 1998
13. Gelfand & Fomin 1963、p.22のLemma; 証明はどちらの状況にも当てはまります。
14. Jost & Li-Jost 1998、p.170の補題3.2.3

参考文献

• ヨスト、ユルゲン；リー＝ヨスト、シアンチン（1998）『変分法』ケンブリッジ大学
• ゲルファンド、IM; フォミン、SV (1963)、『変分法』、プレンティス・ホール（ロシア語からの翻訳）。
• ヘステネス、マグナス・R.（1966年）、変分法と最適制御理論、ジョン・ワイリー
• ジャキンタ、マリアーノ; ヒルデブラント、ステファン (1996)、『変分法 I』、シュプリンガー
• リベルゾン、ダニエル（2012年）、変分法と最適制御理論、プリンストン大学出版局