ふるい理論の基本補題

数論において、篩理論の基本補題とは、篩法を特定の問題に適用する過程を体系化する複数の結果のいずれかを指す。ハルバースタムとリヒャルト ^{[1] :92–93は} 次のように記している。

ふるいに関する文献の興味深い特徴は、ブルンの方法が頻繁に使用されている一方で、一般的なブルンの定理(定理 2.1 など)を定式化しようとする試みがほとんどないことです。その結果、ブルンの議論の手順をかなり詳細に繰り返す論文が驚くほど多くあります。

ダイアモンドとハルバースタム^{[2] :42は}「基本補題」という 用語をジョナス・クビリウスに帰属させている。

共通表記

以下の表記法を使用します:

• ${\displaystyle A}$ は正の整数の集合であり、その整数のサブセットは${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{d}}$ ${\displaystyle d}$
• ${\displaystyle w(d)}$ および はおよび の関数であり、の要素の個数をの式に従って推定します。${\displaystyle R_{d}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}X+R_{d}.}$

したがって、は で割り切れる要素のおおよその密度を表し、 は誤差または剰余項を表します。${\displaystyle w(d)/d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{d}}$

• ${\displaystyle P}$ は素数の集合であり、それらの素数の積である。${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle \leq z}$
• ${\displaystyle S(A,P,z)}$ は、任意の素数で割り切れない要素の数である。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \leq z}$
• ${\displaystyle \kappa }$ は、以下の仮定に現れるふるい分け密度^[3]と呼ばれる定数である。これは、各素数によってふるい分けられる剰余クラスの数の加重平均である。

組合せふるいの基本補題

この定式化はTenenbaumによるものです。^{[4] ：60}他の定式化はHalberstam＆Richert、^{[1] ：82、} Greaves、^{[3] ：92} 、 Friedlander＆Iwaniec ^{[5] ：732–733} にあります。 私たちは次のような仮定を立てます。

• ${\displaystyle w(d)}$ は乗法関数です。
• ふるい分け密度は、ある定数と任意の実数、およびに対して、次式を満たします。${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi }$

${\displaystyle \prod _{\eta \leq p\leq \xi }\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)^{-1}<\left({\frac {\ln \xi }{\ln \eta }}\right)^{\kappa }\left(1+{\frac {C}{\ln \eta }}\right).}$

我々が 利用できるパラメータがある。我々は、、、、において一様に、そして${\displaystyle u\geq 1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(u^{-u/2})\}+O\left(\sum _{d\leq z^{u},d|P(z)}|R_{d}|\right).}$

応用分野では、最良の誤差項を得るために選択を行います。ふるいにおいては、これは包含・排除原理の階層数と関連しています。 ${\displaystyle u}$

セルバーグふるいの基本補題

この定式化はハルバースタムとリヒャルトによるものです。^{[1] :208–209。}別の定式化はダイアモンドとハルバースタムによるものです。^{[2] :29}

私たちは次のような仮定を立てます。

• ${\displaystyle w(d)}$ は乗法関数です。
• ふるい分け密度は、ある定数と任意の実数、およびに対して、次式を満たします。${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle 2\leq \eta \leq \xi }$

${\displaystyle \qquad \sum _{\eta \leq p\leq \xi }{\frac {w(p)\ln p}{p}}<\kappa \ln {\frac {\xi }{\eta }}+C.}$

• ${\displaystyle {\frac {w(p)}{p}}<1-c}$ いくつかの小さな固定とすべて。${\displaystyle c}$ ${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle |R(d)|\leq w(d)}$ 素因数が であるすべての squarefree に対して。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle P}$

基本補題は、組合せふるいの場合とほぼ同じ形をとる。 と書きなさい。結論は以下の通りである。 ${\displaystyle u=\ln {X}/\ln {z}}$

${\displaystyle S(a,P,z)=X\prod _{p\leq z,\ p\in P}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right)\{1+O(e^{-u/2})\}.}$

はもはや自由に使える独立したパラメータではなく、 の選択によって制御されることに注意してください。 ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle z}$

ここでの誤差項は、組合せふるいの基本補題よりも弱いことに注意してください。ハルバースタムとリヒャルトは次のように述べています。^{[1] : 221}「したがって、文献で時折主張されてきたように、セルバーグのふるいが常にブルンのふるいよりも優れていると言うのは正しくありません。」

注記

1. Halberstam, Heini ; Richert, Hans-Egon (1974).ふるい法. ロンドン数学会モノグラフ. 第4巻. ロンドン: Academic Press. ISBN  0-12-318250-6. MR  0424730。
2. ダイヤモンド、ハロルド・G.、ハルバースタム、ヘイニ(2008). 「高次元ふるい法：ふるい関数の計算手順付き」ケンブリッジ数学論集 第177巻. ウィリアム・F・ゴールウェイ共著. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN  978-0-521-89487-6。
3. グリーブス、ジョージ (2001). 『数論におけるふるい』ベルリン: シュプリンガー. ISBN  3-540-41647-1。
4. テネンバウム、ジェラルド (1995). 『解析的・確率的数論入門』ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN  0-521-41261-7。
5. ジョン・フリードランダー;ヘンリク・イワニエツ(1978)。 「ボンビエリの漸近ふるいについて」。ピサの高等師範学校。科学教室。 4eシリーズ。5 (4) : 719–756。2009 年 2 月 14 日に取得。