リーマン幾何学の基本定理

Unique existence of the Levi-Civita connection

リーマン幾何学の基本定理は、任意のリーマン多様体（または擬リーマン多様体）上に、与えられた計量に対するレヴィ・チヴィタ接続または（擬）リーマン接続と呼ばれる、捩れがなく計量適合なアフィン接続が唯一存在することを述べています。この接続はこのような性質によって標準的に定義されるため、計量 が与えられた場合、この接続はしばしば自動的に使用されます。

声明

この定理は次のように述べられます。

リーマン幾何学の基本定理。[1] ( M , g )をリーマン多様体（または擬リーマン多様体）とする。このとき、以下の条件を満たす 唯一の接続∇ が存在する。

  • 任意のベクトル場 X、Y、Zに対して、X ( g ( Y、Z ))はベクトル場Xに沿った関数g ( Y、Z )の微分を表します。 X ( g ( Y , Z ) ) = g ( ∇ X Y , Z ) + g ( Y , ∇ X Z ) , {\displaystyle X{\big (}g(Y,Z){\big )}=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),}
  • 任意のベクトル場X、Yに対して、ここで[ X、Y ]はXとYのリー括弧を表します。 ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] , {\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],}

最初の条件は、∇の計量適合性と呼ばれます。[2]これは、M内の任意の曲線が与えられたとき、曲線に沿った任意の2つの∇平行ベクトル場の内積は定数である、と表現することもできます。 [3]これは、計量​​テンソルが平行移動によって保存される、つまり、∇を自然に拡張して(0,2)-テンソル場に作用させると考えた際に計量が平行になる、と表現することもできます: ∇ g = 0。[4]さらに、接続が直交フレームバンドル上の主バンドル接続によって誘導されることを要求することも同等です。[5]

2番目の条件は、∇の対称性と呼ばれることもあります。[6]これは、 ∇のねじれがゼロであるという条件を表し、ねじれのない状態とも呼ばれます。[7]これには別の特徴付けもあります。[8]

基本定理の拡張は、擬リーマン多様体が与えられたとき、計量テンソル を保存する唯一の接続が存在し、その捩れは任意のベクトル値2次元形式であると述べている。任意の接続（捩れを含む）と対応するレヴィ・チヴィタ接続の違いは、捩れテンソルである。

基本定理は、レヴィ・チヴィタ接続または（擬）リーマン接続と呼ばれるある接続の存在と一意性の両方を主張する。しかし、その存在結果は極めて直接的である。なぜなら、問題の接続は、以下の証明で得られる第二クリストッフェル恒等式またはコシュル公式のいずれかによって明示的に定義できるからである。この明示的な定義は、レヴィ・チヴィタ接続を計量とその1次導関数で表現する。したがって、計量がk回連続微分可能であれば、レヴィ・チヴィタ接続は( k − 1)回連続微分可能である。[9]

レヴィ-チヴィタ接続は、例えばアインシュタイン-ヒルベルト作用のパラティーニ変分など、他の方法でも特徴付けることができます。

証拠

定理の証明は様々な方法で提示できる。[10]ここでは、まず座標とクリストッフェル記号の言語で証明し、次に共変微分の座標フリー言語で証明する。提示方法に関わらず、計量適合性とねじれフリー性の条件を用いて、計量適合性とねじれフリー性の両方を満たす任意の接続を直接示す式を得るという考え方である。これにより、基本定理における一意性の主張が確立される。存在の主張を確立するには、得られた式が目的の接続を定義していることを直接確認する必要がある。

ローカル座標

ここではアインシュタインの総和規則が使われます。つまり、添え字が下付き文字と上付き文字の両方として繰り返され、すべての値にわたって合計されます。m をMの次元とします。ローカル チャートを基準として、 任意のベクトル場XとYに対して、 m 3 の滑らかな関数 によって 接続が与えられることを思い出してください。[11]接続のねじれがないことは、任意のXとYに対して∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ]となる条件を指します。ローカル座標で書くと、これは と等価であり、 XとY の任意性により、Γ i jk = Γ i kjとなる条件と等価です。[12]同様に、計量適合性の条件は条件[13]と同等である 。このように、ねじれがなく計量適合性の条件は、接続についての方程式の線型システムとして見ることができ、システムの係数と「右側」が計量とその最初の導関数で与えられることがわかる。リーマン幾何学の基本定理は、この線型システムには一意の解がある、と述べているものと見ることができる。これは、次の計算によってわかる。[14] ここで、計量適合性条件は最初の等式に3回使用され、ねじれがない条件は2番目の等式に3回使用されている。結果として得られる式は、最初のクリストッフェル恒等式と呼ばれることもある。[15]これを計量の逆数g klと縮約して、 2番目のクリストッフェル恒等式を求めることができる。[16] これは、ねじれがなく計量適合性の条件が一意であることを証明している。つまり、そのような接続は必ず上記の式で与えられる。その存在を証明するには、上記の式がねじれがなく計量法に適合する接続を定義していることを確認する必要がある。これは直接行うことができる。 { Γ l i j } , {\displaystyle \left\{\Gamma ^{l}{}_{ij}\right\},} ( ∇ X Y ) i = X j ∂ j Y i + X j Y k Γ i j k {\displaystyle (\nabla _{X}Y)^{i}=X^{j}\partial _{j}Y^{i}+X^{j}Y^{k}\Gamma ^{i}{}_{jk}} 0 = X j Y k ( Γ i j k − Γ i k j ) , {\displaystyle 0=X^{j}Y^{k}(\Gamma ^{i}{}_{jk}-\Gamma ^{i}{}_{kj}),} ∂ k g i j = Γ l k i g l j + Γ l k j g i l . {\displaystyle \partial _{k}g_{ij}=\Gamma ^{l}{}_{ki}g_{lj}+\Gamma ^{l}{}_{kj}g_{il}.} ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g i j = ( Γ p i j g p l + Γ p i l g j p ) + ( Γ p j i g p l + Γ p j l g i p ) − ( Γ p l i g p j + Γ p l j g i p ) = 2 Γ p i j g p l {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}&=\left(\Gamma ^{p}{}_{ij}g_{pl}+\Gamma ^{p}{}_{il}g_{jp}\right)+\left(\Gamma ^{p}{}_{ji}g_{pl}+\Gamma ^{p}{}_{jl}g_{ip}\right)-\left(\Gamma ^{p}{}_{li}g_{pj}+\Gamma ^{p}{}_{lj}g_{ip}\right)\\&=2\Gamma ^{p}{}_{ij}g_{pl}\end{aligned}}} Γ k i j = 1 2 g k l ( ∂ i g j l + ∂ j g i l − ∂ l g i j ) . {\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{kl}\left(\partial _{i}g_{jl}+\partial _{j}g_{il}-\partial _{l}g_{ij}\right).}

不変定式化

上記の証明は、ベクトル場を使って表現することもできます。[17]ねじれフリーとは、 という条件を指し 、計量適合性とは、 という条件を指します 。 ここで、 X、Y、Zは任意のベクトル場です。以前にローカル座標で行われた計算は、次のように書くことができます。 X、Y、Zが座標ベクトル場 である場合、これは、最初のクリストッフェル恒等式に直ちに帰着します。 上記の式は、Koszul の公式または恒等式を作成するために並べ替えることができます。 これは、任意のZについてg ( W、Z )がg ( U、Z )に等しい場合、W はUに等しくなければならない ため、ねじれフリーかつ計量適合条件の一意性を証明しています。 これは、計量​​の非退化の結果です。 上記のローカル定式化では、計量のこの重要な特性が、同じように、g klの存在を介して暗黙的に使用されていました。さらに、同様の推論により、コシュルの公式は、 XとYが与えられたときにベクトル場∇XYを定義するために使用することができ、これがねじれがなく計量に適合する接続を定義することを確認することは日常的である。[18] ∇ X Y − ∇ Y X = [ X , Y ] , {\displaystyle \nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y],} X ( g ( Y , Z ) ) = g ( ∇ X Y , Z ) + g ( Y , ∇ X Z ) , {\displaystyle X\left(g(Y,Z)\right)=g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z),} X ( g ( Y , Z ) ) + Y ( g ( X , Z ) ) − Z ( g ( X , Y ) ) = ( g ( ∇ X Y , Z ) + g ( Y , ∇ X Z ) ) + ( g ( ∇ Y X , Z ) + g ( X , ∇ Y Z ) ) − ( g ( ∇ Z X , Y ) + g ( X , ∇ Z Y ) ) = g ( ∇ X Y + ∇ Y X , Z ) + g ( ∇ X Z − ∇ Z X , Y ) + g ( ∇ Y Z − ∇ Z Y , X ) = g ( 2 ∇ X Y + [ Y , X ] , Z ) + g ( [ X , Z ] , Y ) + g ( [ Y , Z ] , X ) . {\displaystyle {\begin{aligned}X\left(g(Y,Z)\right)&+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)\\&={\Big (}g(\nabla _{X}Y,Z)+g(Y,\nabla _{X}Z){\Big )}+{\Big (}g(\nabla _{Y}X,Z)+g(X,\nabla _{Y}Z){\Big )}-{\Big (}g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y){\Big )}\\&=g(\nabla _{X}Y+\nabla _{Y}X,Z)+g(\nabla _{X}Z-\nabla _{Z}X,Y)+g(\nabla _{Y}Z-\nabla _{Z}Y,X)\\&=g(2\nabla _{X}Y+[Y,X],Z)+g([X,Z],Y)+g([Y,Z],X).\end{aligned}}} 2 g ( ∇ X Y , Z ) = X ( g ( Y , Z ) ) + Y ( g ( X , Z ) ) − Z ( g ( X , Y ) ) + g ( [ X , Y ] , Z ) − g ( [ X , Z ] , Y ) − g ( [ Y , Z ] , X ) . {\displaystyle 2g(\nabla _{X}Y,Z)=X\left(g(Y,Z)\right)+Y\left(g(X,Z)\right)-Z\left(g(X,Y)\right)+g([X,Y],Z)-g([X,Z],Y)-g([Y,Z],X).}

注記

  1. ^ do Carmo 1992、定理 2.3.6; Helgason 2001、定理 I.9.1; Jost 2017、定理 4.3.1; Kobayashi & Nomizu 1963、定理 IV.2.2; Milnor 1963、補題 8.6; O'Neill 1983、定理 3.11; Petersen 2016、定理 2.2.2; Wald 1984、定理 3.1.1。
  2. ^ Jost 2017、定義4.2.1。
  3. ^ ド・カルモ、1992年、53–54ページ。ミルナー、1963 年、47 ～ 48 ページ。
  4. ^ Petersen 2016、提案 2.2.5; Wald 1984、p. 35.
  5. ^ 小林と野水、1963 年、命題 IV.2.1。
  6. ^ ド・カルモ、1992年、p. 54;ミルナー 1963、定義 8.5。
  7. ^ Hawking & Ellis 1973, p. 34; Helgason 2001, p. 43; Jost 2017, 定義4.1.7。
  8. ^ Wald 1984、セクション3.1。
  9. ^ ホーキング＆エリス 1973年、41ページ。
  10. ^ ここで示されているものとは異なる説明については、例えばPetersen (2016)の54-55ページやKobayashi & Nomizu (1963)の158-159ページを参照してください。
  11. ^ ピーターセン 2016、66ページ。
  12. ^ Jost 2017、補題 4.1.1;小林と野水、1963 年、命題 III.7.6。ミルナー、1963 年、p. 48.
  13. ^ ミルナー 1963、48ページ。
  14. ^ Wald 1984、35ページ。
  15. ^ ミルナー 1963、49ページ。
  16. ^ ミルナー1963、49ページ；ウォルド1984、36ページ。
  17. ^ ド・カルモ、1992年、p. 55;ホーキング博士とエリス、1973 年、p. 40;ヘルガソン 2001、p. 48; Jost 2017、p. 194;小林・野水 1963、p. 160;オニール、1983、p. 61.
  18. ^ Jost 2017、p.194; O'Neill 1983、p.61。

参考文献

  • ド・カルモ、マンフレド・ペルディゴン(1992).リーマン幾何学. 数学：理論と応用. フランシス・フラハティによるポルトガル語版第2版からの翻訳. ボストン、マサチューセッツ州: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3490-8. MR  1138207. Zbl  0752.53001.
  • ホーキング, SW ;エリス, GFR (1973).時空の大規模構造. ケンブリッジ数理物理学モノグラフ. 第1巻. ロンドン−ニューヨーク:ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/CBO9780511524646 . ISBN 9780521099066. MR  0424186. Zbl  0265.53054.
  • ヘルガソン、シグルドゥル(2001).微分幾何学、リー群、対称空間.大学院数学研究科. 第34巻（1978年初版の訂正再版）. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. doi :10.1090/gsm/034. ISBN 0-8218-2848-7. MR  1834454. Zbl  0993.53002.
  • ヨスト、ユルゲン(2017).リーマン幾何学と幾何学解析. Universitext (1995年初版第7版). Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-61860-9. ISBN 978-3-319-61859-3MR  3726907。Zbl 1380.53001  。​
  • 小林昭七・野水克己(1963).微分幾何学の基礎. 第1巻. ニューヨーク・ロンドン: John Wiley & Sons, Inc. MR  0152974. Zbl  0119.37502.
  • ミルナー, J. (1963).モース理論. Annals of Mathematics Studies. 第51巻. プリンストン, ニュージャージー州:プリンストン大学出版局. MR  0163331. Zbl  0108.10401.
  • オニール、バレット(1983).半リーマン幾何学と相対論への応用. 純粋・応用数学. 第103巻. ニューヨーク:アカデミック・プレス. doi :10.1016/s0079-8169(08)x6002-7. ISBN 0-12-526740-1. MR  0719023. Zbl  0531.53051.
  • ピーターセン、ピーター (2016).リーマン幾何学.大学院数学テキスト. 第171巻（1998年初版第3版）. Springer, Cham . doi :10.1007/978-3-319-26654-1. ISBN 978-3-319-26652-7. MR  3469435. Zbl  1417.53001.
  • ウォルド、ロバート・M. (1984).一般相対性理論.シカゴ大学出版局. ISBN 0-226-87032-4. MR  0757180. Zbl  0549.53001.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Fundamental_theorem_of_Riemannian_geometry&oldid=1321322500"