トポス理論の基本定理

数学において、トポス理論の基本定理は、トポスをその任意の1つのオブジェクト上で切断したもの は、それ自体がトポスであることを述べています。さらに、に射が存在する場合、指数関数と部分オブジェクト分類子を保存する関数が存在します。 ${\displaystyle \mathbf {E} /X}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle f^{*}:\mathbf {E} /B\rightarrow \mathbf {E} /A}$

プルバック関数

における任意の射fには、定理の証明において鍵となる「引き戻し関数」が関連付けられます。 fと同じ余域を共有する他の任意の射gについては、それらの積は引き戻し平方の対角線となり、 の領域からfの領域へ向かう射は引き戻し平方においてgの反対となるため、これはfに沿ったgの引き戻しであり、 と表記されます。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle f^{*}:=-\mapsto f\times -\rightarrow f}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle f\times g}$ ${\displaystyle f\times g}$ ${\displaystyle f^{*}g}$

トポスはそれ自身の終端オブジェクト上のスライスと同型であることに注意してください。つまり、内の任意のオブジェクトAに対して射が存在し、それによってプルバック関数が存在し、これが任意のスライスもトポスである理由です。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cong \mathbf {E} /1}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle f:A\rightarrow 1}$ ${\displaystyle f^{*}:\mathbf {E} \rightarrow \mathbf {E} /A}$ ${\displaystyle \mathbf {E} /A}$

与えられたスライスに対して、Xが基底圏の対象であるとして、スライスのオブジェクトを で表すとします。すると、 は を写す関手です。これを に適用すると、が得られます。 ${\displaystyle \mathbf {E} /B}$ ${\displaystyle X \over B}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle -\mapsto {B\times - \over B}}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle B^{*}}$

${\displaystyle f^{*}B^{*}:-\mapsto {B\times - \over B}\mapsto {{A \over B}\times {B\times - \over B} \over {A \over B}}\cong {{\Big (}{A\times _{B}\,B\times - \over B}{\Big )} \over {A \over B}}\cong {A\times _{B}B\times - \over A}\cong {A\times - \over A}=A^{*}}$

このように、プルバック関数はのオブジェクトを に写像します。さらに、基本トポスの任意の要素Cは と同型であるため、 であればとなり、 は確かに基本トポスからそのスライス への関数となります。 ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} /B}$ ${\displaystyle \mathbf {E} /A}$ ${\displaystyle {1\times C \over 1}=1^{*}C}$ ${\displaystyle f:A\rightarrow 1}$ ${\displaystyle f^{*}:1^{*}\rightarrow A^{*}}$ ${\displaystyle f^{*}:C\mapsto A^{*}C}$ ${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} /A}$

論理的解釈

基底論理式とのペアを考えます。これらの拡張と（ここで下線はヌル文脈を表します）は基底トポスのオブジェクトです。すると は、から へのモニックが存在する場合のみ成り立ちます。これらの場合、定理により、スライス において論理式は真となります。なぜなら、スライス の終端オブジェクトはその拡張 を介して因数分解されるからです。論理的に言えば、これは次のように表現できます 。${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle [\_|\phi ]}$ ${\displaystyle [\_|\psi ]}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle [\_|\phi ]}$ ${\displaystyle [\_|\psi ]}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbf {E} /[\_|\phi ]}$ ${\displaystyle [\_|\phi ] \over [\_|\phi ]}$ ${\displaystyle [\_|\psi ]}$

${\displaystyle \vdash \phi \rightarrow \psi \over \phi \vdash \psi }$

したがって、の延長によるスライスは、 を仮説として仮定することに対応する。すると、定理は、論理的仮定を立ててもトポス論理の規則は変わらないと述べることになる。 ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

参照

• 圏論と関連数学の年表
• 演繹定理

参考文献

• マクラティ、コリン (1992). 「§17.3 基本定理」.初等圏、初等トポーズ. オックスフォード論理学ガイド. 第21巻. オックスフォード大学出版局. p. 158. ISBN 978-0-19-158949-2。