ファーリーの定理
Theorem in quantum physics
この三角形の図は、量子電気力学におけるファーリーの定理によって消えます。

量子電磁力学において、ファーリーの定理は、ファインマン図が奇数個の頂点を持つフェルミオン線の閉ループで構成される場合、その振幅への寄与はゼロになることを述べています。系として、単一光子は真空から発生することも、真空に吸収されることもありません。この定理は、エネルギー保存則と電荷共役対称性の直接的な帰結として、 1937年にウェンデル・H・ファーリーによって初めて導出されました[1]。

理論

量子電磁力学には多くの対称性があり、その一つが電荷共役の離散対称性である。これは、光子場と反交換するユニタリー電荷共役演算子を介して場に作用するが、真空状態は不変である。単一光子演算子の 相関関数の最も単純なケースを考えると、 C {\displaystyle C} A μ ( x ) {\displaystyle A_{\mu }(x)} C A μ ( x ) C † = − A μ ( x ) {\displaystyle CA^{\mu }(x)C^{\dagger }=-A^{\mu }(x)} C | Ω ⟩ = | Ω ⟩ {\displaystyle C|\Omega \rangle =|\Omega \rangle }

⟨ Ω | A μ ( x ) | Ω ⟩ = ⟨ Ω | C † C A μ ( x ) C † C | Ω ⟩ = − ⟨ Ω | A μ ( x ) | Ω ⟩ , {\displaystyle \langle \Omega |A^{\mu }(x)|\Omega \rangle =\langle \Omega |C^{\dagger }CA^{\mu }(x)C^{\dagger }C|\Omega \rangle =-\langle \Omega |A^{\mu }(x)|\Omega \rangle ,}

したがって、この相関関数は必ずゼロになる。[2]光子演算子の場合、この議論は、電荷共役の下ではこれが の係数を取り、したがって が奇数のときにゼロになることを示す。より一般的には、電荷共役演算子はベクトル電流 とも反交換するため、ファーリーの定理によれば、量子電磁力学においては、任意の奇数のオンシェルまたはオフシェル光子場および／または電流の相関関数は必ずゼロになる。 n {\displaystyle n} ( − 1 ) n {\displaystyle (-1)^{n}} n {\displaystyle n} j μ ( x ) {\displaystyle j^{\mu }(x)}

この定理は非摂動論的レベルで成立するため、摂動論の各次数でも成立する。[3]主次数において、これは奇数個の頂点を持つフェルミオンループの振幅への寄与がゼロになることを意味する。これらの図を明示的に計算すると、ループの周りをフェルミオンが時計回りに回る図が、フェルミオンが反時計回りに回る2番目の図と打ち消し合うためであることがわかる。3頂点ループの消失は、量子電磁力学の繰り込み可能性の帰結とも考えられる。なぜなら、裸のラグランジアンには3つの光子を含む反項がないからである。[4]

アプリケーションと制限

ファーリーの定理は、量子電磁力学における多くの振幅計算を簡素化する。[5]特に、この結果は光子がオフシェル状態にある場合にも成立するため、奇数頂点を持つ内部フェルミオンループを少なくとも1つ持つすべてのファインマン図は、振幅への寄与がゼロとなり、無視することができる。歴史的に、この定理は、デルブリュック散乱として知られる外部場による光子の散乱が、三角図ではなくボックス図を経由することを示す上で重要であった。[1]

背景電荷密度または非ゼロの化学ポテンシャルがある場合、ファーリーの定理は破綻するが、これらが両方ともゼロの場合は非ゼロ温度でもゼロ温度でも成立する。 [6]また、この定理は、光子分裂相互作用が許される強い背景磁場がある場合にも適用されない。このプロセスは、中性子星の周りなどの天体物理学的設定で検出されることがある。[7]この定理は、ループにディラック粒子ではなくワイル粒子が関与している場合にも成立せず、結果として奇数頂点数ダイアグラムがゼロにならない。特に、ワイル粒子を含む三角形ダイアグラムがゼロにならないことでカイラル異常が生じ、量子理論が整合するためには、これらの合計が打ち消される必要がある。 γ → γ γ {\displaystyle \gamma \rightarrow \gamma \gamma }

この定理は量子電気力学において定式化されているが、そのバージョンはより一般的に成り立つ。例えば、標準模型は弱い相互作用のために電荷共役不変ではないが、奇数個の光子が付加されたフェルミオンループダイアグラムは、純粋に量子電気力学的なダイアグラムと等価であるため、依然として消滅する。同様に、そのようなループを部分ダイアグラムとして含むダイアグラムも消滅する。しかし、すべての奇数光子ダイアグラムが消滅する必要があるというのはもはや真実ではない。例えば、弱い相互作用が含まれる場合のように、量子電気力学における電荷共役とパリティ不変性の要件を緩和すると、3光子頂点項が許容される。[8]この項は相互作用を生じさせるが、それは2つの光子が仮想である場合にのみ発生する。そのような相互作用の探索は、電子-陽電子衝突による制動放射線実験などを通じて間接的に行う必要がある。[9] γ → γ γ {\displaystyle \gamma \rightarrow \gamma \gamma }

非アーベルヤン＝ミルズ理論では、非可換なカラー電荷が含まれるため、ファーリーの定理は成立しない。例えば、3つの外部グルーオンを持つクォークの三角形図は、2つの異なる生成 トレース に比例するため、打ち消し合わない。[10] [11]しかし、電荷共役の議論は、カラー中性スピンボソンの三角形図が消滅することを導くなど、限られたケースでは依然として適用可能である。[12] tr [ T a T b T c ] ≠ tr [ T a T c T b ] {\displaystyle {\text{tr}}[T^{a}T^{b}T^{c}]\neq {\text{tr}}[T^{a}T^{c}T^{b}]} g g → X {\displaystyle gg\rightarrow X} 1 − {\displaystyle 1^{-}}

参照

参考文献

  1. ^ ab Furry, WH (1937-01-15). 「陽電子理論における対称性定理」 . Physical Review . 51 (2): 125– 129. Bibcode :1937PhRv...51..125F. doi :10.1103/PhysRev.51.125. ISSN  0031-899X.
  2. ^ Peskin, ME ; Schroeder, DV (1995). "10".量子場の理論入門. Westview Press. p. 318. ISBN 978-0-201-50397-5。
  3. ^ Weinberg, S. (1995). "10". 『場の量子論：基礎』第1巻. ケンブリッジ大学出版局. p. 428. ISBN 978-0-521-67053-1。
  4. ^ スターマン, G. (1993). "11".場の量子論入門. ケンブリッジ大学出版局. pp.  326– 327. ISBN 978-0-521-31132-8。
  5. ^ Berestetskii, VB (1982). "8".量子電気力学：第4巻（理論物理学講座） . Butterworth-Heinemann. pp.  315– 316. ISBN 978-0-7506-3371-0。
  6. ^ Majumder, A.; Bourque, A.; Gale, C. (2004). 「クォークグルーオンプラズマにおけるグルーオン融合による対称性の破れとダイレプトン生成」. Phys. Rev. C. 69 ( 6) 064901. arXiv : hep-ph/0311178 . Bibcode :2004PhRvC..69f4901M. doi :10.1103/PhysRevC.69.064901. S2CID  118879778.
  7. ^ Adler, SL (1971). 「強磁場中における光子分裂と光子分散」Annals of Physics 67 ( 2): 599– 647. Bibcode :1971AnPhy..67..599A. doi :10.1016/0003-4916(71)90154-0.
  8. ^ Delbourgo, R. (1976). 「3光子頂点」. J. Phys. G. 2 ( 11): 787. Bibcode :1976JPhG....2..787D. doi :10.1088/0305-4616/2/11/003. S2CID  250863523.
  9. ^ Basham, CL; Kabir, PK (1977). 「可能な3光子結合」. Phys. Rev. D. 15 ( 11): 3388– 3393. Bibcode :1977PhRvD..15.3388B. doi :10.1103/PhysRevD.15.3388.
  10. ^ Dissertori, G. (2009). "3".量子色力学 高エネルギー実験と理論オックスフォード大学出版局. pp.  85– 86. ISBN 978-0-19-956641-9。
  11. ^ Smolyakov, NV (1982). 「非アーベルゲージラグランジアンに対するファーリー定理」 .理論数理物理学. 50 (3): 225– 228. Bibcode :1982TMP....50..225S. doi :10.1007/BF01016449. ISSN  0040-5779. S2CID  119765674.
  12. ^ Englert, C.; Hackstein, C.; Spannowsky, M. (2010). 「ジェットサブストラクチャーを用いたセミハドロンZZ崩壊からのスピンおよびCP測定」. Phys. Rev. D. 82 ( 11) 114024. arXiv : 1010.0676 . Bibcode :2010PhRvD..82k4024E. doi :10.1103/PhysRevD.82.114024. S2CID  48357670.
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