ガボール原子

応用数学において、ガボール原子またはガボール関数は、 1946 年にデニス ガボールが提案した解析で使用される関数であり、生成関数の変換と変調から関数の族が構築されます。

概要

1946年、^[1] デニス・ガボールは音を生成するために粒状システムを使用するアイデアを提案した。ガボールは、その研究でフーリエ解析の問題点について論じた。彼は数学的には正しいと考えたが、サイレンの音などの音は時間とともに変化する周波数を持つため、世界における音の挙動を反映していなかった。もう1つの問題は、正弦波解析を使用するため、実際の音は持続時間が限られているにもかかわらず、対象の信号は無限の持続時間を持つという根本的な仮定であった（時間周波数解析を参照）。ガボールは量子物理学の考えを音に適用し、音と量子との類推を可能にした。彼は、フーリエ解析を細胞に還元する数学的手法を提案した。彼の研究は、通信チャネルを介した情報伝送を目的としていた。ガボールは、原子の中に、より少ないデータで同じ情報を送信できる可能性を見出しました。信号自体を送信する代わりに、彼の原子を使用して同じ信号を表す係数のみを送信できることになります。

数学的な定義

ガボール関数族は次のように定義される。

${\displaystyle g_{\ell,n}(x)=g(xa\ell)e^{2\pi ibnx},\quad \ell,n\in \mathbb{Z} }$

ここで、aとbは定数、gはL ² ( R )における固定関数であり、|| g || = 1となる。 、、およびに依存して、ガボールシステムはL ² ( R )の基底となる可能性があり、これは離散的な並進と変調によって定義される。これは、マザーウェーブレットの拡大と並進によって基底を形成できるウェーブレットシステムに類似している。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle g}$

摂取すると

${\displaystyle g(t)=Ae^{-\pi t^{2}}}$

ガボール変換のカーネルが得られます。

参照

• ガボールフィルタ
• ガボールウェーブレット
• フーリエ解析
• ウェーブレット
• モルレウェーブレット

参考文献

1. Gabor, D. (1946). 「通信理論 第1部：情報分析」.電気学会誌 - 第3部：無線通信工学. 93 (26): 429– 441. doi :10.1049/ji-3-2.1946.0074.

さらに読む

• Hans G. Feichtinger、Thomas Strohmer: 「ガボール分析とアルゴリズム」、ビルクホイザー、1998 年。 ISBN 0-8176-3959-4
• Hans G. Feichtinger、Thomas Strohmer: 「ガボール分析の進歩」、ビルクホイザー、2003 年。ISBN 0-8176-4239-0
• Karlheinz Gröchenig: 「時間周波数解析の基礎」、ビルクホイザー、2001 年。ISBN 0-8176-4022-3

外部リンク

• NuHAGホームページ [数値調和解析グループ]