ガンマ過程

時間 0 から時間 4 までの 2 つの異なるガンマ プロセス。赤いプロセスの形状パラメータが青いプロセスの形状パラメータよりも大きいため、赤いプロセスは青いプロセスと比較して時間枠内でより多くの発生回数があります。

ガンマ過程（ Moran-Gamma subordinator [ ^1]とも呼ばれる）は、2パラメータの確率過程であり、時間経過に伴う摩耗や劣化の蓄積をモデル化します。ガンマ過程は、ガンマ分布に従う独立した定常増分を持つため、この名称が付けられています。ガンマ過程は数学、統計学、確率論、確率論において研究されており、特に劣化モデル化^[2]や数理ファイナンス^[3]に応用されています。

表記

ガンマ過程は、しばしば と略され、 は0からの時間を表します。形状パラメータは（逆に）ジャンプのサイズを制御し、速度パラメータはガンマ分布と同様にジャンプの到着速度を制御します。^[4]とはどちらも0 より大きくなければなりません。この記事ではガンマ関数とガンマ分布を使用しているため、読者は（ガンマ関数）、（ガンマ分布）、（ガンマ過程）を区別する必要があります。 ${\displaystyle X(t)\equiv \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$ ${\displaystyle \Gamma (\gamma ,\lambda )}$ ${\displaystyle \Gamma (t;\gamma ,\lambda )}$

意味

この過程は、すべての正の に対して強度測度を持つ純粋ジャンプ増加 レヴィ過程である。この過程は意味において値 0 から始まると仮定する。したがって、区間 の大きさを持つジャンプは、強度 を持つポアソン過程として発生する。${\displaystyle \nu (x)=\gamma x^{-1}\exp(-\lambda x),}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle X(0)=0}$ ${\displaystyle [x,x+dx)}$ ${\displaystyle \nu (x)\,dx.}$

このプロセスは、独立な増分を持つ確率プロセスとして定義することもでき、その増分に対する確率変数の周辺分布は^[4]で与えられる。${\displaystyle X(t),t\leq 0}$ ${\displaystyle X(0)=0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X(t)-X(s)}$ ${\displaystyle l=t-s\geq 0}$ $${\displaystyle f(x;l,\gamma ,\lambda )=\Gamma (\gamma l,\lambda )={\frac {\lambda ^{\gamma l}}{\Gamma (\gamma l)}}x^{\gamma l-1}e^{-\lambda x}.}$$

不均一プロセス

形状パラメータを時間の関数として変化させることも可能である。^[4]${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

プロパティ

平均と分散

各時点における値は平均と分散を持つため^[5]、ガンマ過程は単位時間あたりの増加分の平均( )と分散( )でパラメータ化されることもあります。これらは、およびを満たします。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma t/\lambda }$ ${\displaystyle \gamma t/\lambda ^{2},}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \gamma =\mu ^{2}/v}$ ${\displaystyle \lambda =\mu /v}$

スケーリング

ガンマ過程にスカラー定数を乗算すると、これも平均増加率が異なるガンマ過程になります。 ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \alpha \Gamma (t;\gamma ,\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma ,\lambda /\alpha )}$$

独立したプロセスの追加

2 つの独立したガンマ過程の合計もまたガンマ過程です。 $${\displaystyle \Gamma (t;\gamma _{1},\lambda )+\Gamma (t;\gamma _{2},\lambda )\simeq \Gamma (t;\gamma _{1}+\gamma _{2},\lambda )}$$

瞬間

モーメント関数は、数学者が期待値、分散、歪度、尖度を求めるのに役立ちます。 はガンマ関数です。 $${\displaystyle \operatorname {E} (X_{t}^{n})=\lambda ^{-n}\cdot {\frac {\Gamma (\gamma t+n)}{\Gamma (\gamma t)}},\ \quad n\geq 0,}$$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$

モーメント生成関数

モーメント生成関数は、 X がランダム変数であるの期待値です。 ${\displaystyle \exp(tX)}$ $${\displaystyle \operatorname {E} {\Big (}\exp(\theta X_{t}){\Big )}=\left(1-{\frac {\theta }{\lambda }}\right)^{-\gamma t},\ \quad \theta <\lambda }$$

相関

相関は、任意の2つのガンマプロセス間の統計的関係を表示します。 任意のガンマプロセスに対して$${\displaystyle \operatorname {Corr} (X_{s},X_{t})={\sqrt {\frac {s}{t}}},\ s<t}$$ ${\displaystyle X(t).}$

関連プロセス

ガンマ過程は、分散ガンマ過程におけるランダムな時間変化の分布として用いられる。具体的には、ブラウン運動とガンマ過程を組み合わせることで分散ガンマ過程が得られる^[6]。分散ガンマ過程は、2つのガンマ過程の差として表される^{[3] 。}

参照

• モラン過程

注記

1. クレンケ 2008、536ページ。
2. Sánchez-Silva & Klutke 2016, p. 93.
3. Fu & Madan 2007、38ページ。
4. Sánchez-Silva & Klutke 2016, p. 133.
5. Sánchez-Silva & Klutke 2016, p. 94.
6. アップルバウム 2004年、58～59頁。

参考文献

• Applebaum, David (2004). Lévy processes and stochastic calculus . Cambridge, UK; New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83263-2。
• フー、マイケル; マダン、ディリップ・B. (2007). 『数理ファイナンスの進歩』 ボストン: バークハウザー. ISBN 978-0-8176-4545-8。
• クレンケ、アヒム (2008).確率論：総合講座. ロンドン: シュプリンガー. doi :10.1007/978-1-84800-048-3_24. ISBN 978-1-84800-048-3。
• サンチェス＝シルバ、マウリシオ；クルトケ、ジョージア＝アン（2016）『劣化システムの信頼性とライフサイクル分析』 Cham: Springer. ISBN 978-3-319-20946-3。