ガスマンの方程式

ガスマンの方程式は、圧力平衡状態で圧縮性流体によって飽和された、完全に接続された細孔空間を持つ等方性均質多孔質媒体で構成される集合体の等方性弾性定数を記述する 2 つの方程式のセットです。

フリッツ・ガスマンによってドイツ語で最初に出版された^{[ 1 ]}が、その原著は、その方程式が標準的な地球物理学の実践に採用されてからずっと後に、英語に翻訳された^{[ 2 ]}。

ガスマン方程式は、流体置換を実行する最も一般的な方法であり、測定されたものとは異なる飽和状態における多孔質媒体の弾性挙動を予測します。

手順

これらの定式化はAvseth et al. (2006)によるものである。^{[ 3 ]}

初期の流体群を持つ岩石に対応する、、、および速度と密度の初期セットが与えられれば、別の流体群を持つ岩石の速度と密度を計算できます。これらの速度は、多くの場合、坑井検層から測定されますが、理論モデルから得られる場合もあります。 ${\displaystyle V_{P}^{(1)}}$ ${\displaystyle V_{S}^{(1)}}$ ${\displaystyle \rho^{(1)}}$

ステップ1:、、およびから動的体積弾性率とせん断弾性率を抽出します。 ${\displaystyle V_{\mathrm {P} }^{(1)}}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {S} }^{(1)}}$ ${\displaystyle \rho^{(1)}}$

${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(1)}=\rho \left((V_{\mathrm {P} }^{(1)})^{2}-{\frac {4}{3}}(V_{\mathrm {S} }^{(1)})^{2}\right)}$

${\displaystyle \mu _{\mathrm {sat} }^{(1)}=\rho (V_{\mathrm {S} }^{(1)})^{2}}$

ステップ2:次の形式のガスマンの関係式を適用して、飽和体積弾性率を変換します。

${\displaystyle {\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}{K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}}-{\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(2)}}{\phi (K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {流体} }^{(2)})}}={\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}{K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}-{\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(1)}}{\phi (K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {流体} }^{(1)})}}}$

ここで、およびは流体 1 と流体 2 で飽和した岩石の体積弾性係数、およびは流体自体の体積弾性係数、およびは岩石の多孔度です。 ${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}$ ${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}$ ${\displaystyle K_{\mathrm {流体} }^{(1)}}$ ${\displaystyle K_{\mathrm {流体} }^{(2)}}$ ${\displaystyle \phi }$

ステップ3:せん断弾性率は変更しません（剛性は流体の種類に依存しません）。

${\displaystyle \mu _{\mathrm {sat} }^{(2)}=\mu _{\mathrm {sat} }^{(1)}}$

ステップ4:流体の変化に応じて 嵩密度を補正します。

${\displaystyle \rho ^{(2)}=\rho ^{(1)}+\phi (\rho _{\mathrm {流体} }^{(2)}-\rho _{\mathrm {流体} }^{(1)})}$

ステップ5:流体置換速度を再計算する

${\displaystyle V_{\mathrm {P} }^{(2)}={\sqrt {\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(2)}+{\frac {4}{3}}\mu _{\mathrm {sat} }^{(2)}}{\rho ^{(2)}}}}$

${\displaystyle V_{\mathrm {S} }^{(2)}={\sqrt {\frac {\mu _{\mathrm {sat} }^{(2)}}{\rho ^{(2)}}}}$

K _satの並べ替え

与えられた

${\displaystyle {\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}{K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {sat} }^{(2)}}}-{\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(2)}}{\phi (K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {流体} }^{(2)})}}={\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}{K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}-{\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(1)}}{\phi (K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {流体} }^{(1)})}}}$

させて

${\displaystyle S={\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}{K_{\mathrm {ミネラル} }-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}}$

そして

${\displaystyle F_{1}={\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(1)}}{\phi (K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {流体} }^{(1)})}}\ \ \ \ F_{2}={\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(2)}}{\phi (K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {流体} }^{(2)})}}}$

それから

${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(2)}={\frac {K_{\mathrm {ミネラル} }}{{\frac {1}{S-F_{1}+F_{2}}}+1}}}$

あるいは、拡張

${\displaystyle K_{\mathrm {sat} }^{(2)}={\frac {K_{\mathrm {mineral} }}{\left[{{\frac {K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}{K_{\mathrm {mineral} }-K_{\mathrm {sat} }^{(1)}}}-{\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(1)}}{\phi (K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {流体} }^{(1)})}}+{\frac {K_{\mathrm {流体} }^{(2)}}{\phi (K_{\mathrm {鉱物} }-K_{\mathrm {流体} }^{(2)})}}}\right]^{-1}+1}}}$

仮定

荷重誘起間隙水圧はすべての間隙において均一かつ同一である

この仮定は、飽和岩石のせん断弾性係数が乾燥岩石のせん断弾性係数と同じであることを意味している^{[ 4 ]} 。 ${\displaystyle \mu _{\mathrm {sat} }=\mu _{\mathrm {dry} }}$

多孔度は飽和流体が異なっても変化しない

ガスマン流体置換では、空隙率が一定であることが前提となります。これは、他の条件が同じであれば、飽和流体が異なっても岩石の空隙率は影響を受けないという仮定に基づいています。ただし、この仮定では、セメント化や溶解といった、空隙内の地球化学的条件の変化によって変化する続成作用は考慮されていません。例えば、石英セメントは、炭化水素で満たされた空隙よりも、水で満たされた空隙で沈殿する可能性が高くなります（Worden and Morad, 2000）。そのため、同じ岩石であっても、場所によって水飽和度が異なるため、空隙率は異なる可能性があります。

測定における周波数の影響は無視できるほど小さい

ガスマン方程式は、本質的には、多孔質弾性材料に対するビオのより一般的な運動方程式の下限周波数に相当します。地震周波数（10～100 Hz）では、ガスマン方程式を用いた場合の誤差は無視できる可能性があります。しかし、検層周波数（約20 kHz）での音響測定によって必要なパラメータを制約する場合、この仮定は破られる可能性があります。より良い選択肢として、より計算負荷は高くなりますが、ビオの周波数依存方程式を用いて流体置換効果を計算することが挙げられます。このプロセスの出力を地震データと統合する場合、得られた弾性パラメータは分散効果についても補正する必要があります。

岩石構造は飽和流体によって変化しない

ガスマンの方程式では、流体と固体の間に化学的な相互作用がないものと想定されています。

参考文献

1. ガスマン、フリッツ。 「Uber die elastizitat poroser median」 Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft、チューリッヒ 96 (1951): 1-23。
2. F. Gassmann, 2007. 「多孔質媒体の弾性について」、弾性波理論の古典、Michael A. Pelissier、Henning Hoeber、Norbert van de Coevering、Ian F. Jones
3. Avseth, P, T Mukerji & G Mavko (2006)、「定量的地震解釈」、ケンブリッジ大学出版局、2006年。
4. Berryman, J (2009)、ガスマン方程式の起源、2009年、地球物理学。