制限されたべき級数

代数学において、制限級数環（きょうりょくきかんすうかん）とは、次数が無限大に近づくにつれて係数が0に近づくような級数からなる形式級数環の部分環である。 ^[1]非アルキメデス完備体上では、この環はテイト代数とも呼ばれる。環の商環は、形式代数空間の研究だけでなく、非アルキメデス完備体上の 剛体解析の研究にも用いられる。

離散 位相環上では、制限された冪級数の環は多項式環と一致する。したがって、この意味で、「制限された冪級数」の概念は多項式環の一般化である。

意味

A を線型位相環、分離完備環、開イデアルの基本系とする。すると、制限冪級数の環は上の多項式環の射影極限として定義される。 ${\displaystyle \{I_{\lambda }\}}$ ${\displaystyle A/I_{\lambda }}$

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle =\varprojlim _{\lambda }A/I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ . ^{[2] [3]}

言い換えれば、これは濾過 に関する多項式環の完備化です。この制限冪級数の環は、 と表記されることもあります。 ${\displaystyle A[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \{I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]\}}$ ${\displaystyle A\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

明らかに、環は係数 を持つ級数からなる形式冪級数環の部分環と同一視できる。つまり、各環は有限個以外の係数 を含む。また、環は普遍性を満たす（そして実際にその性質によって特徴付けられる）：^[4] (1)線型位相環 への各連続環準同型（分離され完全）および (2) の各元に対して、一意の連続環準同型が存在する。 ${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle }$ ${\displaystyle A[[x_{1},\dots ,x_{n}]]}$ ${\displaystyle \sum c_{\alpha }x^{\alpha }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }\to 0}$ ${\displaystyle I_{\lambda }}$ ${\displaystyle c_{\alpha }}$ ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \to B,\,x_{i}\mapsto b_{i}}$

延長します。 ${\displaystyle A\to B}$

テイト代数

剛体解析において、基底環Aが完全な非アルキメデス体 の付値環であるとき、 でテンソル化された制限冪級数の環は、 ${\displaystyle (K,|\cdot |)}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle T_{n}=K\langle \xi _{1},\dots \xi _{n}\rangle =A\langle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}\rangle \otimes _{A}K}$

はテイト代数と呼ばれ、ジョン・テイトにちなんで名付けられました。^[5]これは、に収束する級数からなる形式冪級数の部分環と同値です。ここで、 は代数的閉包における付値環です。 ${\displaystyle k[[\xi _{1},\dots ,\xi _{n}]]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}:=\{x\in {\overline {k}}:|x|\leq 1\}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

の最大スペクトルは、剛体幾何学におけるアフィン空間をモデル化する剛体解析空間です。 ${\displaystyle T_{n}}$

のガウスノルムを次のよう に定義する。${\displaystyle f=\sum a_{\alpha }\xi ^{\alpha }}$ ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle \|f\|=\max _{\alpha }|a_{\alpha }|.}$

これにより、 k上のバナッハ代数、すなわち距離空間として完備なノルム代数が作られる。このノルムのもとで、 の任意のイデアルは閉じた^[6]ため、I が根基であれば、その商も（縮約された）バナッハ代数となり、アフィノイド代数と呼ばれる。 ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle T_{n}}$ ${\displaystyle T_{n}/I}$

主な結果は次のとおりです。

• （ワイエルシュトラス除算） をsの -区別された級数とする。すなわち、、は単位元であり、に対してである。^[7]このとき、各 に対して、次数の一意の多項式と一意の多項式が存在し、 ${\displaystyle g\in T_{n}}$ ${\displaystyle \xi _{n}}$ ${\displaystyle g=\sum _{\nu =0}^{\infty }g_{\nu }\xi _{n}^{\nu }}$ ${\displaystyle g_{\nu }\in T_{n-1}}$ ${\displaystyle g_{s}}$ ${\displaystyle |g_{s}|=\|g\|>|g_{v}|}$ ${\displaystyle \nu >s}$ ${\displaystyle f\in T_{n}}$ ${\displaystyle q\in T_{n}}$ ${\displaystyle r\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$ ${\displaystyle <s}$

  ${\displaystyle f=qg+r.}$ ^[8]

• （ワイエルシュトラスの準備）上記のように、 をsの -区別された級数とする。すると、次と単位元を持つ一意の単項多項式が存在し、 となる。[ ^9]${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \xi _{n}}$ ${\displaystyle f\in T_{n-1}[\xi _{n}]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle u\in T_{n}}$ ${\displaystyle g=fu}$
• （ノイマン正規化）がイデアルならば、有限準同型 が存在する。^[10]${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset T_{n}}$ ${\displaystyle T_{d}\hookrightarrow T_{n}/{\mathfrak {a}}}$

除算、準備定理、およびノイマン正規化の結果として、クルル次元nのノイマン一意因数分解領域が成立する。^[11]ヒルベルトの零点定理の類似は有効である。すなわち、イデアルの根基はそのイデアルを含むすべての極大イデアルの共通部分である（環がヤコブソン環であると言う）。^[12]${\displaystyle T_{n}}$

結果

ヘンゼルの補題、除算アルゴリズム（あるいはグレブナー基底理論）といった多項式環に関する結果は、制限冪級数の環についても成り立つ。本節全体を通して、A は線型位相を持つ、分離した完備な環を表すものとする。

• （ヘンゼル）を最大イデアルとし、商写像をとする。におけるが与えられたとき、の単位イデアルを生成するような、ある単項多項式と制限冪級数に対して、にが存在し、にが存在し、 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\subset A}$ ${\displaystyle \varphi :A\to k:=A/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$ ${\displaystyle \varphi (F)=gh}$ ${\displaystyle g\in k[\xi ]}$ ${\displaystyle h\in k\langle \xi \rangle }$ ${\displaystyle g,h}$ ${\displaystyle k\langle \xi \rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A[\xi ]}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A\langle \xi \rangle }$

  ${\displaystyle F=GH,\,\varphi (G)=g,\varphi (H)=h}$ 。^[13]

注記

1. Stacks プロジェクト、タグ 0AKZ。
2. Grothendieck & Dieudonné 1960, Ch. 0, § 7.5.1.
3. Bourbaki 2006, Ch. III, § 4. 定義2と命題3。
4. Grothendieck & Dieudonné 1960, Ch. 0, § 7.5.3.
5. 藤原・加藤 2018、第0章、命題9.3の直後。
6. ボッシュ 2014, § 2.3. 系8
7. Bosch 2014, § 2.2. 定義6.
8. Bosch 2014, § 2.2. 定理8.
9. Bosch 2014, § 2.2. 系9.
10. Bosch 2014, § 2.2. 系11.
11. Bosch 2014, § 2.2. 命題14、命題15、命題17。
12. Bosch 2014, § 2.2. 命題16。
13. Bourbaki 2006、第III章、§4.定理1。

参考文献

• ブルバキ、N. (2006)。代数可換: Chapitres 1 à 4。シュプリンガー ベルリン ハイデルベルク。ISBN 9783540339373。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
• ボッシュ、ジークフリート。ギュンツァー、ウルリッヒ。 Remmert、Reinhold (1984)、「第 5 章」、非アルキメデス分析、Springer
• ボッシュ、ジークフリート（2014）、形式幾何学と剛体幾何学に関する講義、ISBN 9783319044170
• 藤原和弘；加藤 史晴 (2018)、剛体幾何学の基礎 I

参照

• ワイエルシュトラスの準備定理

外部リンク

• https://ncatlab.org/nlab/show/restricted+formal+power+series
• http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf
• https://web.archive.org/web/20060916051553/http://www-math.mit.edu/~kedlaya//18.727/tate-algebras.pdf