リグドヒルベルト空間

数学と物理学において、リグド・ヒルベルト空間（ゲルファント・トリプル、ネスト・ヒルベルト空間、装備ヒルベルト空間）とは、ヒルベルト空間を、ヒルベルト空間には存在しないが、ヒルベルト空間と並べて考えたい追加のオブジェクトを含むより大きな空間に拡張できる構成である。例えば、実数直線上の二乗可積分関数のヒルベルト空間を用いた非相対論的粒子の量子力学的記述において、位置演算子と運動量演算子の固有状態はヒルベルト空間には存在しないが、適切に定義されたリグド・ヒルベルト空間に存在する。非公式には、「リグド」という用語は、ボートのリグドに例え、ヒルベルト空間が本来の能力以上のことができるように装備されていることを意味する。^{[ 1 ]}

この構成は、関数解析における超関数と平方可積分な側面を結びつけるように設計されています。このような空間はスペクトル理論を研究するために導入されました。それらは「束縛状態」（固有ベクトル）と「連続スペクトル」を一つの場所に まとめます。

この概念を用いると、ヒルベルト空間上の非有界作用素に対するスペクトル定理の一種を定式化することができる。^{[ 2 ]} 「リグド・ヒルベルト空間は、量子力学のディラック定式化に適切な数学的意味を与える構造としてよく知られている。」^{[ 3 ]}

モチベーション

のような関数は、 実数直線R 上の微分作用素の固有関数 であるが、 R上の通常の（ルベーグ）測度に対しては二乗可積分ではない。この関数を固有関数として適切に考えるには、ヒルベルト空間論の厳密な制約の外へ踏み出す何らかの方法が必要である。これは超関数の装置によって提供され、1950年以降に一般化された固有関数理論が発展した。 ^{[ 4 ]}$${\displaystyle x\mapsto e^{ix},}$$ $${\displaystyle -i{\frac {d}{dx}}}$$

意味

リグドヒルベルト空間とは、 Hがヒルベルト空間、Φ が稠密部分空間である( H , Φ )の組であり、 Φには包含写像が連続となる位相ベクトル空間構造が与えられる 。^{[ 5 ] [ 6 ]} H をその双対空間H ^*と同一視すると、 iへの随伴写像は次のようになる 。$${\displaystyle i:\Phi \to H,}$$ $${\displaystyle i^{*}:H=H^{*}\to \Phi^{*}.}$$

ΦとΦ ^*の双対性ペアリングは、 Hの内積と、およびのときは いつでも、という意味で 両立します。複素ヒルベルト空間の場合は、エルミート内積を使用します。これは、u（数学の慣例）またはv（物理学の慣例）に関して複素線形であり、他の変数に関しては共役線形（複素反線形）になります。 $${\displaystyle \langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}}$$ ${\displaystyle u\in \Phi \subset H}$ ${\displaystyle v\in H=H^{*}\subset \Phi^{*}}$

この三つ組は、しばしばゲルファンド三つ組(イスラエル・ゲルファンドにちなんで) と呼ばれます。はピボット空間と呼ばれます。 ${\displaystyle (\ファイ,\,\,H,\,\,\ファイ^{*})}$ ${\displaystyle H}$

ΦはΦ ^*と同型である（リース表現を介して）が、Φがそれ自体でヒルベルト空間である場合、この同型は包含iとその随伴i *の合成と同じではないことに注意する。$${\displaystyle i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.}$$

機能分析アプローチ

リグドヒルベルト空間の概念は、この考え方を抽象的な関数解析的枠組みに位置付けるものである。正式には、リグドヒルベルト空間は、ヒルベルト空間Hと、より細かい位相、すなわち自然包含が 連続となるような位相を持つ部分空間Φから構成される。ヒルベルトノルムに対してΦ がHに稠密であると仮定しても無駄ではない。双対空間H ^{* が}Φ ^*に包含されることを考える。後者は、その「テスト関数」位相においてΦと双対であり、超関数の空間、あるいは何らかの一般化関数として実現され、Hにおけるv に対するΦ型の 部分空間上の線型関数は、超関数として忠実に表現される（ Φ が稠密であると仮定するため）。 $${\displaystyle \Phi \subseteq H}$$ $${\displaystyle \phi \mapsto \langle v,\phi \rangle }$$

ここでリースの表現定理を適用することで、H ^*とHを同一視することができます。したがって、リグド・ヒルベルト空間の定義はサンドイッチを用いて次のように表されます。 $${\displaystyle \Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.}$$

最も重要な例は、Φが核空間である例です。このコメントは、 Φ がテスト関数と対応する超関数のΦ*で構成されるという考えの抽象的な表現です。

核可算ヒルベルト空間とその双対の例としては、それぞれシュワルツ空間と緩和超関数の空間が挙げられ、これらは平方可積分関数のヒルベルト空間をリギングしたものである。このように、リギングされたヒルベルト空間は^{[ 7 ]}で与えられる。もう一つの例としては、ソボレフ空間 が挙げられる。ここで（ 上のソボレフ空間の最も単純な場合） 、 である。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ).}$$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),}$$ ${\displaystyle s>0}$

参照

• フーリエ反転定理
• フーリエ変換 § 緩和分布
• 自己随伴作用素 § スペクトル定理

注記

1. Ballentine, Leslie E. (2010).量子力学：現代的発展（復刻版）. シンガポール: World Scientific. ISBN 978-981-02-4105-6。
2. Minlos, RA (2001) [1994], 「リグド・ヒルベルト空間」 ,数学百科事典, EMS Press
3. クラスノホロヴェッツ、ヴォロディミル、コロンバス、フランク・H. (2004).量子物理学における新たな研究. ノヴァサイエンス出版社. p. 79. ISBN 978-1-59454-001-1。
4. Gel'fand & Vilenkin 1964、103–105 ページ。
5. デ・ラ・マドリッド・モディーノ、2001 年、66–67 ページ。
6. ファン デル ラーン 2019、21–22 ページ。
7. デ・ラ・マドリッド・モディーノ、2001、p. 72.

参考文献

• J.-P. Antoine, Quantum Mechanics Beyond Hilbert Space (1996), Irreversibility and Causality, Semigroups and Rigged Hilbert Spaces , Arno Bohm, Heinz-Dietrich Doebner, Piotr Kielanowski 編, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64305-2（調査の概要を説明します。）
• J. Dieudonné、Éléments d'analyse VII (1978)。(23.8 項および 23.32 項を参照)
• Gel'fand, IM ; Vilenkin, N. Ya (1964).一般化関数：調和解析の応用. バーリントン: Elsevier Science. doi : 10.1016/c2013-0-12221-0 . ISBN 978-1-4832-2974-4。
• K. Maurin、「一般化固有関数展開と位相群のユニタリ表現」、Polish Scientific Publishers、ワルシャワ、1968 年。
• デ・ラ・マドリッド・モディノ、R. (2001).リグド・ヒルベルト空間言語における量子力学（博士論文）. バリャドリッド大学.
• de la Madrid Modino, R. 「量子力学におけるリグドヒルベルト空間の役割」、Eur. J. Phys. 26, 287 (2005); quant-ph/0502053。
• ファン・デル・ラーン、L.（2019年7月）。エルミート観測値および準エルミート観測値のためのリグド ヒルベルト空間理論(BSc 論文)。フローニンゲン: フローニンゲン国立大学。2025 年1 月 11 日に取得。