一般化二面体群
数学における群族

数学において、一般化二面体群は、二面体群に類似した代数構造を持つ群の族である。これには、有限二面体群、無限二面体群、直交群O (2)が含まれる。二面体群は群論、幾何学、化学において重要な役割を果たしている。

意味

任意のアーベル群 Hに対して、Hの一般化二面体群（Dih( H )）は、Hと Z 2の半直積であり、 Z 2はHに元の反転作用を及ぼす。すなわち、φ(0) は恒等関数、 φ(1) は反転関数である。 D 私 h （ H ） ＝ H ⋊ ϕ Z 2 {\displaystyle \mathrm {Dih} (H)=H\rtimes _{\phi }Z_{2}}

したがって次のようになります:

( h 1 , 0) * ( h 2 , t 2 ) = ( h 1 + h 2 , t 2 )
( h 1 , 1) * ( h 2 , t 2 ) = ( h 1 − h 2 , 1 + t 2 )

Hのすべてのh 1、h 2、およびZ 2のすべてのt 2について。

（Z 2を乗法的に書くと、（ h 1、t 1） * （h 2、t 2） = （h 1 + t 1 h 2、t 1 t 2 ）となります。）

( h , 0) * (0,1) = ( h ,1) であることに注意する。つまり、まず反転を行い、次にHにおける演算を行う。また、(0, 1) * ( h , t ) = (− h , 1 + t ) である。実際、(0,1) はhを反転し、t を「通常」(0) と「反転」(1) の間で切り替える（この複合演算はそれ自体が逆演算である）。

Dih( H ) の元 ( h , 0)の部分群は、 Hと同型のインデックス2の正規部分群ですが、元 ( h , 1) はすべてそれ自身の逆群です。

共役クラスは次のとおりです。

  • 集合{( h ,0 ), (− h ,0 )}
  • 集合 {( h + k + k , 1) | H内のk }

したがって、 Hの任意の部分群Mに対して、対応する元の集合( m ,0)も正規部分群となる。すなわち、

Dih( H ) / M = Dih( H/M )

例

  • Dih n = Dih( Z n ) (二面体群)
    • nが偶数の場合、 2つの集合 {( h + k + k , 1) | k in H }が存在し、それぞれが Dih n / 2型の正規部分群を生成する。正n角形の頂点集合の等長変換群の部分群としては、これらは異なる。一方の部分群の鏡映写はすべて2つの不動点を持つが、もう一方の部分群の鏡映写はいずれも2つの不動点を持たない（両者の回転は同じである）。しかし、抽象群としては同型である。
    • nが奇数の場合、集合は1つだけ存在する{( h + k + k , 1) | k in H }
  • Dih ∞ = Dih( Z ) （無限二面体群）； Hには2 つの集合 {( h + k + k , 1) | k } が存在し、それぞれが Dih ∞型の正規部分群を生成する。Zの等長変換群の部分群としては、これらは異なる。一方の部分群の鏡映はすべて不動点を持ち、鏡像は整数点にあるが、もう一方の部分群には不動点がなく、鏡像は中間点にある（両者の平行移動は同じ、つまり偶数倍である）。しかし、抽象群としては同型である。
  • Dih(S 1 )、または直交群O(2, R )、または O(2):円の等長変換群、またはそれと同義で、原点を固定した 2D の等長変換群。回転により円群S 1、またはそれと同義で SO(2, R ) (SO(2) とも表記)、およびR / Zが形成されます。これは絶対値1の複素数 の乗法群でもあります。後者の場合、反射の 1 つ (他の反射を生成する) は複素共役です。反射を伴う適切な正規部分群はありません。離散正規部分群は、すべての正の整数nに対して位数nの巡回群です。商群は同じ群 Dih(S 1 ) と同型です。
  • Dih( R n ): R nの すべての点でのすべての並進と反転からなる等長変換の群。n = 1 の場合、これはユークリッド群 E(1)です。n > 1の場合、群 Dih( R n ) は E( n )の適切な部分群です。つまり、すべての等長変換が含まれません。
  • H はR nの任意の部分群、例えば離散部分群にすることができます。その場合、それがn方向に拡張されるならそれは格子です。
    • 一方向の並進を含むDih( R2 )の離散サブグループはフリーズ群型であり、 22である。 ∞ ∞ {\displaystyle \infty \infty } ∞ {\displaystyle \infty}
    • 2方向の並進を含むDih( R2 )の離散サブグループは壁紙群タイプp1とp2です。
    • 3方向の並進を含むDih( R3 )の離散サブグループは三斜晶系の空間群である。

プロパティ

Dih( H )はアーベル群であり、半直積は直積であるためには、Hのすべての元がそれ自身の逆元、つまり基本アーベル 2群である必要があります。

  • Dih( Z 1 ) = Dih 1 = Z 2
  • Dih( Z 2 ) = Dih 2 = Z 2 × Z 2 (クライン四群)
  • Dih(Dih 2 ) = Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2

等

トポロジー

Dih( R n )とその二面体部分群は非連結位相群である。Dih( R n )は2つの連結成分、すなわちR nと同型の恒等成分と鏡映成分から構成される。同様に、O(2)は2つの連結成分、すなわち円群と同型の恒等成分と鏡映成分から構成される。

Dih∞群では2つのケースを区別することができます。

  • Zの等長群としてのDih∞
  • Dih∞は無理数回転の回転と鏡映によって生成される2次元等長群である。

どちらの位相群も完全に非連結であるが、前者の場合（単独の）成分は開であるのに対し、後者の場合（単独の）成分は開ではない。また、前者の位相群はDih( R )の閉部分群であるが、後者はO(2)の閉部分群ではない。

参考文献

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