種数-次数式

古典的な代数幾何学では、種数-次数公式は、次の式によって 既約平面曲線の次数とその数論的種数を関連付けます。${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2).}$

ここで「平面曲線」とは、射影平面における閉曲線であることを意味する。曲線が非特異であれば、幾何種数と算術種数は等しいが、曲線が特異で、通常の特異点のみを有する場合、幾何種数は小さくなる。より正確には、重複性の通常の特異点は、種数を だけ減少させる。^{[ 1 ]}${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}r(r-1)}$

モチベーション

楕円曲線は、ワイエルシュトラスの楕円関数によって媒介変数表示されます。これらの媒介変数表示関数は二重周期的であるため、楕円曲線は、辺が貼り合わされた周期平行四辺形、つまりトーラスと同一視できます。したがって、楕円曲線の種数は 1 です。種数-次数公式は、この事実をより高種数の曲線に一般化したものです。基本的な考え方は、より高次の方程式を使用することです。4 次方程式 を考えてみましょう。が小さい非ゼロの場合には、これは非特異曲線になります。しかし、 の場合には、これは既約曲線 (非特異 3 次曲線と直線の和) です。無限遠点を加算すると、3 点で 3 次曲線と交わる直線が得られます。この既約曲線の複雑な図は、3 点で接するトーラスと球面のように見えます。ゼロ以外の値に変更すると、接触点がトーラスと球を接続するチューブに開き、トーラスに 2 つのハンドルが追加され、結果として属数 3 の曲線が生成されます。 $${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)+\epsilon x=0.}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ $${\displaystyle \left(y^{2}-x(x-1)(x-2)\right)\,(5y-x)=0,}$$ ${\displaystyle \varphi }$

一般に、 が次数 の曲線の種数で特異でない曲線である場合、上記と同様に、次数 の曲線と直線の和を - 平滑化することで次数 の特異でない曲線が得られます。直線は 次数 の曲線と点で交わるため、これは 再帰 につながります。この再帰の解は です。 ${\displaystyle g(d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d+1}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle g(d+1)=g(d)+d-1,\quad g(1)=0.}$$ ${\displaystyle g(d)={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2)}$

証拠

種数-次数公式は随伴公式から証明できる。詳細は随伴公式§曲線への応用を参照のこと。^{[ 2 ]}

一般化

数論的種数の射影空間における次の非特異超曲面 の場合、式は次のようになります。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g={\binom {d-1}{n}},\,}$

ここでは二項係数です。 ${\displaystyle {\tbinom {d-1}{n}}}$

注記

1. センプル、ジョン・グリーンリーズ、ロス、レナード.代数幾何学入門（1985年版）.オックスフォード大学出版局. pp.  53– 54. ISBN 0-19-853363-2. MR  0814690 .
2. 代数幾何学、ロビン・ハーツホーン、Springer GTM 52、 ISBN 0-387-90244-9第5章、例1.5.1

参照

• トム予想

参考文献

• この記事には、Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Licenseに基づいてライセンスされているものの、 GFDLに基づいてライセンスされていないCitizendium の記事「Genus degree formula 」の資料が組み込まれています。
• エンリコ・アルバレロ、マウリツィオ・コルナルバ、フィリップ・グリフィス、ジョー・ハリス著『代数曲線の幾何学』第1巻、Springer、ISBN 0-387-90997-4、付録A。
• フィリップ・グリフィスとジョー・ハリス著『代数幾何学の原理』Wiley、ISBN 0-471-05059-8、第2章第1節。
• ロビン・ハーツホーン（1977）：代数幾何学、シュプリンガー、ISBN 0-387-90244-9。
• Kulikov, Viktor S. (2001) [1994], 「曲線の種数」 ,数学百科事典, EMS Press