測地学
衛星を使った測地測定のための最新機器

測地学（ひょうてきがく、英: geodecy）[ 1 ]は、時間的に変化する3次元空間における地球の幾何学、重力、および空間的方向を測定し、表現する科学です。惑星や周惑星系などの他の天体を研究する場合は、惑星測地学と呼ばれます。[ 2 ]測地学の職種には、測地学者や測地測量士などがあります。[ 3 ]

測地学は、高精度の観測を通じて、地図作成、航海、測位の科学的基盤を提供し、インフラ開発（建設を含む）、天然資源管理、鉱物探査、地球物理学といった分野を支えています。測地学の測定結果は、交通、衛星システム、世界貿易、そして計時に使用される現代の地理空間基準フレームの基礎となっています。

地殻運動、潮汐、極運動などの地球力学的現象は、地球および国家の制御ネットワーク、宇宙測地学および地上測地学技術、データムおよび座標系の使用を通じて研究されます。

歴史

測地学は科学以前の古代に始まったため、「測地学」という単語自体が古代ギリシャ語のγεωδαισίαまたはgeodasia（文字通り「地球の分割」）に由来しています。[ 4 ]

地球の形に関する初期の考えでは、地球は平らで、天空は地球を覆う物理的なドームであると考えられていました。 [ 5 ]地球が球体であると主張する2つの初期の議論は、月食が観測者には円形の影のように見えることと、 南へ向かう旅行者には北極星が空でどんどん低く見えるというものでした。[ 6 ]

意味

測地学は地理空間情報を測定および表現する科学を指し、地理情報学は測量を含む、地方および地域規模での測地学の実際的な応用を網羅しています。

測地学は、地球の幾何学的形状、空間における方向、重力場を測定し理解する科学として始まり、現在では太陽系の他の天体にも適用されています。[ 2 ]

地球の形状は、主に自転（赤道隆起の原因）と、プレート衝突や火山活動といった地質学的プロセスの競合（地球の重力場の抵抗）の結果です。これは、固体表面、液体表面（動的海面地形）、そして地球の大気に当てはまります。このため、地球の重力場の研究は物理測地学と呼ばれています。

ジオイドと基準楕円体

ジオイドは、地球の形状の近似値です。ここでは垂直方向の誇張（垂直方向のスケール係数 10000）で表示されています。
楕円体-地球の数学的表現。測地座標系で地図を描く場合、緯度円は円錐台となる。
1984年世界測地系で定義された赤道（a）、極（b ）、平均地球半径

ジオイドとは、本質的には地球の地形的特徴を抽象化した図形です。ジオイドは、海水の理想的な平衡面、つまり海流や気圧の変化がない平均海面面であり、大陸塊の下に連続しています。基準楕円体とは異なり、ジオイドは不規則で複雑すぎるため、点の位置決めなどの幾何学的問題を解くための計算面として使用することはできません。ジオイドと基準楕円体との間の幾何学的な分離はジオイド起伏と呼ばれ、GRS 80楕円体に基づいて±110mの範囲で変化します。

基準楕円体は、通常ジオイドと同じ大きさ（体積）になるように選ばれ、その長半径（赤道半径）aと扁平率fで表されます。f = ⁠a − b/1つの⁠（ここでbは短半径（極半径））は、純粋に幾何学的なものです。地球の機械的楕円率（力学的扁平率、記号J 2 ）は、衛星軌道摂動の観測によって高精度に決定できます。力学的扁平率と幾何学的扁平率の関係は間接的であり、内部密度分布、つまり最も簡単に言えば、質量の中心集中度に依存します。

1980年測地基準系（GRS 80 ）は、国際測地学地球物理学連合（ IUGG ）第17回総会で採択され、長半径6,378,137メートル、扁平率1:298.257と定められました。GRS 80は、基本的に全地球測位システム（GPS）による測地測位の基礎となっており、測地学界以外でも広く使用されています。各国がGRS 80基準楕円体を用いた地球中心の地球儀基準系に移行するにつれ、地図作成や海図作成に使用されている多くのシステムが時代遅れになりつつあります。

ジオイドは「実現可能な」面であり、潮位計などの物理的な物体を用いた適切な単純な測定によって、地球上で一貫して位置を特定できることを意味します。したがって、ジオイドは物理的な（「現実の」）面と見なすことができます。しかし、基準楕円体は様々な形態があり、容易に実現できないため、抽象的な面です。測地学上の3つ目の主要な面である地球の地形面も実現可能です。

空間座標系

NAD27とNAD83間のデータムシフト（メートル）

3次元空間における点の位置は、 X、Y、Zの3つの直交座標系（デカルト座標または直交座標）によって最も簡単に記述できます。衛星測位の登場以来、このような座標系は一般的に地心座標系であり、Z軸は地球の（通常のまたは瞬間的な）自転軸と一致しています。

衛星測地学の時代以前は、測地基準系に関連付けられた座標系は地心座標系を指向していましたが、鉛直線（垂直線）方向の地域的な偏差により、原点と地心が数百メートルも異なっていました。ED 50（1950年ヨーロッパ測地基準系）やNAD 27 （1927年北米測地基準系）といった地域測地基準系には、有効範囲内のジオイドに地域的に「最適」な楕円体が関連付けられており、これらの地域における鉛直線の偏差を最小限に抑えています。

GPS衛星が地心を中心に周回しているからこそ、この点は自然に衛星測地手段によって定義される座標系の原点となり、宇宙空間における衛星の位置自体がそのようなシステム内で計算されるのです。

測地学で使用される地心座標系は、自然に次の 2 つのクラスに分けられます。

  1. 慣性基準系では、座標軸は恒星、あるいは理想的なジャイロスコープの回転軸に対する相対的な向きを維持します。X軸は春分点を指します。
  2. 地球中心地球固定（ ECEF ）とも呼ばれる共回転基準系。軸は地球という固体に「固定」されている。X軸はグリニッジ天文台の子午面内にある。

これら2つのシステム間の座標変換は、地球の自転軸の変動（昼の長さの変化）を考慮した（見かけの）恒星時によってほぼ正確に記述されます。より正確な記述は、測地学者が綿密に監視している現象である 極運動も考慮に入れています。

平面上の座標系

楕円座標の2Dグリッド
バイエルンの地図の石版が保管されているミュンヘンのアーカイブ

測量や地図作成などの測地学アプリケーションでは、平面上の 2 種類の一般的な座標系が使用されています。

  1. 平面極座標。平面上の点は、基準線または軸から方向αを持つ光線に沿った指定された点からの距離sによって定義されます。
  2. 直交する2つの軸xとyからの距離によって点が定義される長方形。数学的な慣習とは異なり、測地学ではx軸は北を指し、y軸は東を指します。

平面上の直交座標を直感的に現在位置を表すのに用いることができ、その場合、x軸は現地の北を指します。より正式には、このような座標は地図投影という手法を用いて3次元座標から取得できます。地球の曲面を変形させずに平面の地図に写像することは不可能です。最もよく選ばれる妥協案は正角投影と呼ばれ、角度と長さの比が維持されるため、小さな円は小さな円として、小さな正方形は正方形として写像され ます。

このような投影法の一例として、UTM（ユニバーサル横メルカトル図法）が挙げられます。地図平面上には、直交座標系xとyが存在します。この場合、参照される北方向は、地図上の北であり、実際の北ではありません。この2つの差は、子午線収束と呼ばれます。

平面上の極座標と直交座標間の「変換」は簡単です。上記のように、方向と距離をそれぞれαとsとすると、次のようになります。

×＝sコス⁡αy＝s罪⁡α{\displaystyle {\begin{aligned}x&=s\cos \alpha \\y&=s\sin \alpha \end{aligned}}}

逆変換は次のように表されます。

s＝×2+y2α＝アークタンジェント⁡y×。{\displaystyle {\begin{aligned}s&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\alpha &=\arctan {\frac {y}{x}}.\end{aligned}}}

ハイツ

衛星高度測定法による高さ測定

測地学では、点や地形の高さは「海面より上」、つまり不規則で物理的に定義された表面として扱われます。現在使用されている高度システムは以下のとおりです。

  1. 標高
  2. ダイナミックハイト
  3. ジオポテンシャル高度
  4. 通常の高さ

それぞれのシステムには長所と短所がある。正距高と通常高はどちらも海抜メートルで表すが、ジオポテンシャル数は位置エネルギー（単位：m 2 s −2）の尺度であり、メートル法ではない。基準面はジオイドであり、前述のように平均海面を近似する等ジオポテンシャル面である。通常高の場合、基準面はいわゆる準ジオイドであり、大陸塊の下での密度仮定により、ジオイドから数メートル離れている。[ 7 ]

これらの高さは、ジオイドの起伏の概念を通して、基準楕円体からの高さを表す楕円体高（測地高とも呼ばれる）と関連付けることができます。衛星測位受信機は、ジオイドモデルに基づく特別な変換ソフトウェアを搭載していない限り、通常は楕円体高を提供します。

測地基準点

測地点の座標と高さは常に、現実世界の観測に基づいて構築されたシステム内で得られるため、測地学者は「測地基準点」（複数形は測地基準点）という概念を導入しました。これは、点の位置を記述するために使用される座標系の物理的な（現実世界の）実現です。この実現は、 1つまたは複数の基準点に対して（したがって慣習的な）座標値を選択することによって得られます。高さデータの場合、1つの基準点、つまり基準となるベンチマーク（通常は海岸の潮位計）を選択すれば十分です。そのため、NAVD 88（North American Vertical Datum 1988）、NAP（Normaal Amsterdams Peil）、クロンシュタット測地基準点、トリエステ測地基準点など、数多くの鉛直測地基準点が存在します。

数学と測地学の両方において、座標系はISO用語では「座標系」と呼ばれますが、国際地球回転・基準系サービス（IERS）では「参照系」という用語が用いられています。基準点を選択し測地基準を固定することで座標が実現される場合、ISOでは「座標参照系」と呼ばれますが、IERSでは「参照フレーム」という用語が用いられます。また、ISOでは基準変換の用語も「座標変換」です。[ 8 ]

ポジショニング

GPSブロック IIA 衛星は地球上を周回します。
測地基準点
ナビゲーション装置、アポロ計画

一般的な地理測位、または単に測位とは、地球上の点の位置を無数の技術で決定することです。測地測位では、測地学的手法を用いて、陸上、海上、または宇宙空間における点の正確な測地座標を決定します。これは、座標系内で行うことも（点測位または絶対測位）、または別の点を基準として行うことも（相対測位）できます。空間内の点の位置は、位置が既知の地上または地球外の点（「既知点」）と位置が未知の地上の点（「未知点」）を結んだ測定値から計算します。計算には、天文座標系と地上座標系間の変換が含まれる場合があります。点測位で使用される既知点は、GNSS常時稼働基準局または高次ネットワークの 三角測量点です。

伝統的に、測地学者は国内の点の位置を特定するために階層的なネットワークを構築しました。この階層の最上位は三角測量網であり、トラバース（多角形）のネットワークに集約され、通常は巻尺、コーナープリズム、赤と白のポールを用いて収集される現地の地図作成と測量測定値が結び付けられました。

現在、特殊な測定（地下や高精度工学など）を除き、GPSが一般的に使用されています。高次ネットワークは静的GPSによって測定され、差分測定を用いて地上点間のベクトルを決定します。これらのベクトルは、従来のネットワーク方式で調整されます。IERSの支援下にある恒久的に稼働するGPSステーションからなる地球規模の多面体は、単一の地球中心基準系を定義するための基礎となり、これは国家の測定結果が付与される「ゼロ次」（地球全体）基準として機能します。

リアルタイム・キネマティック・ポジショニング（RTK GPS）は、測量マッピングにおいて頻繁に用いられます。この計測技術では、未知の点を近くの地上の既知の点に素早く結び付けることができます。

ポイントポジショニングの目的の一つは、測量のための既知の点を提供することです。これは、（水平・鉛直）コントロールとも呼ばれます。測地学的に決定されたこれらの点は、国内に数千個存在し、通常は国の地図作成機関によって記録されています。不動産や保険に携わる測量士は、これらの点を用いて地域ごとの測量を結び付けます。

測地学の問題

幾何学的測地学には、主に 2 つの問題があります。

  • 第一測地問題（直接測地問題または順測地問題とも呼ばれる）: ある点の座標と、2 番目の点までの方向（方位角）および距離が与えられた場合、その 2 番目の点の座標を決定します。
  • 2 番目の測地問題(逆測地問題とも呼ばれます): 2 点の座標が与えられた場合、それらの点を結ぶ線 (直線、曲線、測地線) の方位角と長さを決定します。

平面幾何学における両方の問題の解は、単純な三角法に帰着し、地球表面の小さな領域に対して有効です。球面上では、例えば逆問題では、接続する大円の弧に沿った 2 つの端点間を移動する際に方位角が異なるため、解は大幅に複雑になります。

一般解は、対象とする面の測地線と呼ばれ、測地線に関する微分方程式は数値的に解ける。回転楕円体上では、測地線は楕円積分で表すことができ、楕円積分は通常、級数展開によって評価される。例えば、ヴィンセンティの公式を参照のこと。

観察概念

軸の傾き（または黄道傾斜）、自転軸、軌道面、天の赤道、黄道。地球は太陽から見た状態で示されており、軌道方向は反時計回り（左）です。
NASA の GRACE (重力回復・気候実験) による海洋上の全球重力異常のアニメーション

測地学（および天文学）で定義されているように、角度や座標などの基本的な観測概念には次のものがあります（最も一般的には、現地の観測者の観点から）。

  • 鉛直線または垂直: 局所的な重力の方向に沿った線。
  • 天頂: ある点における上向きの重力ベクトルと天球との交点(の方向) 。
  • 天底: 下向きの重力ベクトルが（隠れた）天球と交差する対蹠点（の方向）。
  • 天の地平線: ある点における重力ベクトルに垂直な平面。
  • 方位角: 地平線面内の方向角。通常は北 (測地学および天文学) または南 (フランス) から時計回りに数えられます。
  • 仰角: 地平線上の物体の角度の高さ。あるいは、天頂距離は90 度から仰角を引いた値に等しい。
  • ローカル地心座標: 方位角 (地平線面内の方向角)、仰角 (または天頂角)、距離。
  • 北天の極: 地球の（歳差運動と章動運動の）瞬間自転軸を北に延長して天球と交差させたもの。（南天の極についても同様。）
  • 天の赤道: 地球の赤道面と天球の（瞬間的な）交点。
  • 子午面: 天の赤道に垂直で天の極を含む平面。
  • 地方子午線: 天頂と天の極への方向を含む平面。

測定

月の重力場の変化（ NASAより）
重力測定装置、振り子（左）と絶対重力計（右）
相対重力計

高度差や高度基準システムを決定するために使用される基準面（水準器）は、平均海面と呼ばれます。従来の水準器は、このような（実用上最も有用な）海面からの高度を直接算出します。GPS機器をより経済的に高度測定に使用するには、ジオイドの形状を正確に把握する必要があります。GPSはGRS80基準楕円体上の高度のみを提供するためです。ジオイドの測定精度が向上するにつれて、高度測定におけるGPSの利用も増加すると予想されます。

セオドライトは、目標点に対する水平角と鉛直角（現地鉛直角に対する相対角）を測定するための機器です。さらに、タキメーターは電子的または電気光学的に目標までの距離を測定し、高度に自動化され、場合によってはロボット操作も可能です。同様の目的で広く用いられているのが、自由測点法です。

局所的な詳細測量では、タキメーターが一般的に用いられますが、傾斜プリズムと鋼板テープを用いた旧式の直角測量法も依然として安価な代替手段です。また、前述のように、高速で比較的精度の高いリアルタイム・キネマティック（RTK）GPS技術も存在します。収集されたデータはデジタル形式でタグ付け・記録され、地理情報システム（GIS）データベースに入力されます。

測地GNSS（一般的にはGPS ）受信機は、地心座標系で3次元座標を直接生成します。そのような座標系の一つにWGS84があり、国際地球回転・基準系サービス（IERS）の座標系もあります。GNSS受信機は、大規模な基地ネットワーク調査において、地上機器をほぼ完全に置き換えています。

地球の自転の不規則性やプレートテクトニクスの動きを監視し、惑星全体の測地調査を行うために、クエーサーまでの距離を測定する超長基線電波干渉法（VLBI） 、月のプリズムまでの距離を測定する月レーザー測距（LLR）、人工衛星のプリズムまでの距離を測定する衛星レーザー測距（SLR）などの方法が採用されています。

重力は重力計を使用して測定されますが、重力計には 2 種類あります。1 つ目は絶対重力計で、自由落下の加速度(真空管内の反射プリズムなど) の測定に基づいています。これらは、垂直の地理空間制御を確立するため、または現場で使用されます。2 つ目は相対重力計で、ばねベースでより一般的です。これらは、広い領域での重力調査で使用され、これらの領域のジオイドの形状を確立します。最も正確な相対重力計は超伝導重力計と呼ばれ、地球表面の重力の 10 億分の 1 の 1000 分の 1 まで感知できます。世界中で 20 台ほどの超伝導重力計が、地球の潮汐、自転、内部、海洋、大気の荷重の研究や、ニュートンの万有引力定数の検証に使用されています。

将来的には、光時計で計測される特殊相対論的な時間の遅れの概念を使用して、重力と高度を測定できるようになるかもしれません。

楕円体上の単位と測定

回転楕円体（または回転楕円体）上の緯度（φ）と経度（λ）の定義。緯線間隔は10度です。緯度は、楕円体の法線と赤道面との間の角度として定義されます。

地理的な緯度と経度は、度、分、秒の単位で表されます。これらはメートル法ではなく角度であり、回転楕円体に対する法線の方向を表します。この方向は、鉛直線の方向、すなわち重力の方向とほぼ同じであり、鉛直線はジオイド面の法線でもあります。このため、天文学的な位置測定（天文学的な手段で鉛直線の方向を測定すること）は、地球の楕円体モデルも使用することで、かなりうまく機能します。

1地理マイルは赤道上の1分弧と定義され、1,855.32571922メートルに相当します。1海里は天文緯度の1分に相当します。楕円体の曲率半径は緯度によって変化し、海里と同様に極で最大、赤道で最小となります。

1メートルは元々、赤道から北極まで、パリを通る子午線に沿って伸びる長さの1000万分の1として定義されていました（現在の定義では200 ppmの誤差があり、実際の実装では目標は完全には達成されませんでした）。つまり、1キロメートルはおおよそ(1/40,000) * 360 * 60子午線分、つまり0.54海里に相当します。（2つの単位は異なる基準で定義されているため、厳密にはそうではありません。したがって、国際海里はちょうど1,852 mであり、これは1,000 / 0.54 mの商を4桁に丸めることに対応します。）

時間的な変化

GPSを使った地球規模のプレートテクトニクス運動
超長基線干渉法（VLBI）の仕組み

測地学では、時間的に変化する表面、質量体、物理場、力学系を研究するために、様々な手法が用いられます。地球表面上の点は、様々なメカニズムによって位置が変化します。

NASA のプロジェクト マネージャーが、宇宙測地学プロジェクトにおける取り組みについて、その 4 つの基本技術である GPS、 VLBI、LLR / SLR、DORISの概要を含めて語ります。

地球力学は、地球の地殻とその固体全体の変形と運動を研究する学問分野です。地球の不規則な自転の研究も、しばしば上記の定義に含まれます。地球力学研究には、全球測地観測システム（GGOS [ 15 ] ）に所属する観測所によって実現される地上基準座標系[ 14 ]が必要です。

地球規模での地球力学的現象を研究するための手法には以下のものがあります。

著名な測地学者

参照

基礎

政府機関

国際機関

他の

参考文献

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さらに読む

  • FR Helmert、高等測地学の数学的および物理的理論、パート 1、ACIC (セントルイス、1964 年)。これは、『 Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie』第 1 巻 (Teubner、ライプツィヒ、1880 年)の英語翻訳です。
  • FR Helmert、高等測地学の数学的および物理的理論、パート 2、ACIC (セントルイス、1964 年)。これは、『 Die mathematischen und physikalischen Theorieen der höheren Geodäsie』第 2 巻 (Teubner、ライプツィヒ、1884 年)の英語翻訳です。
  • B. Hofmann-Wellenhof および H. Moritz、「Physical Geodesy」、Springer-Verlag Wien、2005 年。(このテキストは、WA Heiskanen および H. Moritz による 1967 年の古典の改訂版です。)
  • W. Kaula、「衛星測地学の理論：衛星の測地学への応用」、Dover Publications、2000 年。（このテキストは 1966 年の古典の再版です）。
  • Vaníček P. および EJ Krakiwsky、『測地学: 概念』、714 ページ、エルゼビア、1986 年。
  • Torge, W (2001)、測地学（第3版）、de Gruyter出版、ISBN 3-11-017072-8。
  • トーマス・H・マイヤー、ダニエル・R・ローマン、デイビッド・B・ジルコスキ。「高さとは一体何を意味するのか？」（本稿は、Surveying and Land Information Science, SaLISに掲載された4部構成の論文です。）
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