数学において、フロベニウス自己準同型は、素数pを特性pとする任意の可換環 Rにおいて定義される。すなわち、 Rのrをr pに写す写像 φ は、Rの環自己準同型である。
φ の像はR p、すなわちp乗からなるRの部分環となる。有限体など、いくつかの重要な場合ではφ は射影的である。それ以外の場合、 φ は自己準同型ではあるが、環自己同型ではない。
幾何学的フロベニウスの用語は、環構成のスペクトルをφに適用することによって生じる。これは写像を与える。
- φ*: スペック( R p ) → スペック( R )
アフィンスキームの。R p = Rの場合でも、 Rが素体でない限り、これは恒等式ではありません。
φ*とのファイバー積、すなわち基底変換によって生成される写像は、スキーム理論では幾何学的フロベニウス写像と呼ばれることが多い。用語法が慎重に用いられる理由は、ガロア群におけるフロベニウス自己同型写像、あるいは構造の移送によって定義される写像が、幾何学的フロベニウス写像の逆写像となることが多いためである。生成元が生成元の逆写像でもある巡回群の場合のように、フロベニウス写像には多くの場合2通りの定義が可能であり、一貫した規則がなければマイナス符号の問題が生じる可能性がある。
参考文献
- フライタグ、エバーハルト。Kiehl、Reinhardt (1988)、Étale コホモロジーと Weil 予想、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 13、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-12175-6、MR 0926276、5ページ
