幾何学的および材料的座屈

幾何学的座屈は中性子漏洩の尺度であり、材料座屈は中性子生成と中性子吸収の差の尺度である。^{[ 1 ]}原子炉内で核分裂が起こると、中性子が生成される。^[¹^]これらの中性子は、簡単に言えば、原子炉内の燃料と反応するか、原子炉から逃げ出す。^[¹^]これら 2 つのプロセスは、中性子吸収と中性子漏洩と呼ばれ、それらの合計が中性子損失である。^[¹^]中性子生成率が中性子損失率と等しい場合、原子炉は核分裂の連鎖反応を維持でき、臨界原子炉とみなされる。^[¹^]

裸の均質な定常原子炉（つまり、領域が1つしかなく、燃料と冷却材が均質に混合されており、ブランケットや反射板がなく、時間とともに変化しない原子炉）の場合、^{[ 1 ]}幾何学的座屈と材料座屈は互いに等しくなります。

導出

両方の座屈項は、中性子に有効な特定の拡散方程式から導かれる： ^{[ 2 ]}

$-D\nabla ^{2}\Phi +\Sigma _{a}\Phi ={\frac {1}{k}}\nu \Sigma _{f}\Phi$ 。

ここで、k は臨界固有値、は核分裂あたりの中性子数、は核分裂の巨視的断面積であり、拡散理論から、拡散係数は次のように定義されます。 $\nu$ $\Sigma _{f}$

$D={\frac {1}{3\Sigma _{\mathrm {tr} }}}$ 。

さらに、拡散長は次のように定義されます。

$L={\sqrt {\frac {D}{\Sigma _{a}}}}$ 。

項を並べ替えると、拡散方程式は次のようになります。

$-{\frac {\nabla ^{2}\Phi }{\Phi }}={\frac {{\frac {k_{\infty }}{k}}-1}{L^{2}}}={B_{g}}^{2}$ 。

方程式の左側は材料の座屈であり、右側は幾何学的な座屈です。

幾何学的座屈は、様々な幾何学的形状に対して簡単に解ける単純なヘルムホルツ固有値問題です。以下の表は、いくつかの一般的な幾何学的形状に対する幾何学的座屈の一覧です。

幾何学	幾何学的座屈 B _g²
半径Rの球	$\left({\frac {\pi }{R}}\right)^{2}$
高さH、半径Rの円柱	$\left({\frac {\pi}{H}}\right)^{2}+\left({\frac {2.405}{R}}\right)^{2}$
辺の長さがa、b、cの平行六面体	$\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{b}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{c}}\right)^{2}$

拡散理論の計算では臨界寸法が過大評価されるため、実際の寸法を推定するには外挿距離δ を差し引く必要があります。また、以下の表を用いて、実際の寸法と外挿距離を用いて座屈を計算することもできます。

実寸と外挿距離による幾何学的座屈の表現。^{[ 3 ]}

幾何学	幾何学的座屈 B _g²
半径Rの球	$\left({\frac {\pi }{R+\delta }}\right)^{2}$
高さH、半径Rの円柱	$\left({\frac {\pi}{H+2\delta}}\right)^{2}+\left({\frac {2.405}{R+\delta}}\right)^{2}$
辺の長さがa、b、cの平行六面体	$\left({\frac {\pi }{a+2\delta }}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{b+2\delta }}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{c+2\delta }}\right)^{2}$

材料座屈とは、均質な構成において材料特性のみを考慮した座屈のことである。これを純粋に材料特性のみに基づいて再定義すると（基本モードを仮定すると）、以下の式が得られる。 $k_{\infty}$

$k_{\infty }={\frac {\nu \Sigma _{f}}{\Sigma _{a}}}$ 。

前述のように、幾何学的座屈は次のように定義されます。

${B_{g}}^{2}={\frac {{\frac {k_{\infty }}{k}}-1}{L^{2}}}={\frac {{\frac {1}{k}}\nu \Sigma _{f}-\Sigma _{a}}{D}}$ 。

kを解く（基本モード）

$k=k_{\mathrm {eff} }={\frac {\nu \Sigma _{f}}{\Sigma _{a}+D{B_{g}}^{2}}}$ ;

したがって、

$k={\frac {\frac {\nu \Sigma _{f}}{\Sigma _{a}}}{1+L^{2}{B_{g}}^{2}}}$ 。

原子炉が臨界状態（k = 1）にあると仮定すると、

${B_{g}}^{2}={\frac {\nu \Sigma _{f}-\Sigma _{a}}{D}}$ 。

この式は純粋に材料特性に関するものであるため、これを材料の座屈と呼びます。

${B_{m}}^{2}={\frac {\nu \Sigma _{f}-\Sigma _{a}}{D}}$ 。

幾何学的座屈と材料座屈を等しくすることで、単一領域の原子炉の臨界寸法を決定することができます。

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^fラマーシュ, ジョン・R.; バラッタ, アンソニー・ジョン (2018). 『原子力工学入門（第4版）』ホーボーケン, ニュージャージー: ピアソン・エデュケーション社. pp. 120– 121, 244, 274– 279. ISBN 0134570057。
^ Adams, Marvin L. (2009).原子炉理論入門. テキサスA&M大学.
^クニーフ、ロナルド・A. (1985). 『核臨界安全：理論と実践』（ソフトカバー） .アメリカ原子力協会. p. 236. ISBN 0-89448-028-6. 2011年5月15日閲覧。