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幾何学という数学の分野において、幾何学学は幾何学的構成の研究です。[ 1 ]幾何学学の概念と方法は、1888年にオランで 開催されたフランス科学振興協会の会議において、フランスの土木技師であり数学者であるエミール・ルモワーヌ（1840–1912）によって初めて解説されました。 [ 1 ]ルモワーヌは後に、1892年に開催された同協会のポー会議で発表された別の回顧録で、自身の考えを拡張しました。 [ 2 ]
初等幾何学では、ある種の幾何学的構成が他のものよりも単純であることはよく知られている。しかし多くの場合、構成の見かけ上の単純さは、構成の実際の遂行ではなく、なすべきことの述べ方の簡潔さに起因することが判明している。では、同じ目的を達成するためのいくつかの異なる構成の相対的な単純さを評価する客観的な基準を設けることは可能だろうか。ルモワーヌはこの疑問に答えるために、幾何学測量学の考えを展開した。[ 1 ]構成の普遍性の問題も提起される。単純さにかかわらず、構成がすべての条件またはほとんどの条件に適用できるかどうか、あるいは特殊な場合にのみ適用できるかどうかは、重要な考慮事項である。
基本的な考え方
ルモワーヌは、幾何学の考え方を発展させるにあたり、定規とコンパスのみを用いたユークリッド作図に限定しました。ルモワーヌの分析によれば、そのような作図はすべて、5つの基本演算の固定された集合から選択された一連の演算として実行できます。ルモワーヌが特定した5つの基本演算は次のとおりです
幾何学的構成における基本演算
| シリアル番号 | 操作 | 操作の 表記 |
|---|---|---|
| 1 | 定規の端を点に合わせる | R 1 |
| 2 | 直線を引く | R 2 |
| 3 | 方位磁針を特定の点に合わせる | C 1 |
| 4 | コンパスの点を直線上の不定点に合わせる | C 2 |
| 5 | 円を描く | C 3 |
幾何学的作図において、操作Xをn回行うという事実は、n Xという式で表されます。定規を2点に合わせる操作は2R 1で表されます。コンパスの一方の点をある特定の点に置き、コンパスのもう一方の点を別の特定の点に合わせる操作は2C 1で表されます。
あらゆる幾何学的構成は次の形式の式で表すことができる。
- l 1 R 1 + l 2 R 2 + m 1 C 1 + m 2 C 2 + m 3 C 3。
ここで、係数l 1などは、特定の操作が実行される回数を示します。
単純係数
l 1 + l 2 + m 1 + m 2 + m 3という数は単純係数、または構成の単純さ と呼ばれます。これは、演算の総数を表します
正確さの係数
l 1 + m 1 + m 2という数は正確さの係数、または構築の正確さと呼ばれます。これは、構築の正確さを左右する準備操作の数を表します
例
ルモワーヌは彼の手法を応用して、初等幾何学における60以上の問題を解析した。[ 1 ]
- 3 つの頂点を持つ三角形の構築は、 4R 1 + 3R 2という式で表すことができます。
- カーライル円を含む正17角形のある構成は、 8R 1 + 4R 2 + 22C 1 + 11C 3という式で表すことができ、単純度は45である。[ 3 ]
参考文献
- ^ a b c d J. S. Mackay (1893). 「ユークリッドの問題の幾何学」 .エディンバラ数学協会紀要. 12 : 2–16 . doi : 10.1017/S0013091500001565 . 2011年11月5日閲覧
- ^ルモワーヌ、エミール。「幾何学的な建築技術」。ガリカ図書館ヌメリック。2011 年11 月 5 日に取得。
- ^ Weisstein, Eric W. 「Heptadecagon」 MathWorld（Wolfram Webリソース）よりhttp://mathworld.wolfram.com/Heptadecagon.html
さらに詳しい情報
- ヘス、アドリアン・L（1956年3～4月）「定規とコンパスを使った作図に関するいくつかの話題」数学マガジン、29 (4): 217–221 . doi : 10.2307/3029638 . JSTOR 3029638
- ニュートン、ガイ・ソーンウェル（1926年）『製図用機器への応用を含む幾何学図法』テキサス大学出版局、190頁。
- DeTemple, Duane W. (1991年2月). 「カーライル円と多角形構築のルモワーヌ単純性」(PDF) . The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97– 208. doi : 10.2307/2323939 . JSTOR 2323939.オリジナル(PDF)から2015年12月21日アーカイブ. 2011年11月6日閲覧.