ゴーストレッグ
プレイヤーは線の中央を覆い、開始点（A）を選択します。その後、線が開かれ、選択した開始点から終点（3）まで線を描きます。

ゴーストレッグとは、任意の数の物からなる2つのセットをランダムに組み合わせるくじ引きの手法です。ただし、各セットの要素数は同じである必要があります。これは、分配される物の数が人数と同じであるような場合に、人々に物を分配する際によく用いられます。例えば、雑用や賞品をこの方法で公平かつランダムに割り当てることができます。

日本語では阿弥陀籤（あみだくじ）、[注 1 ] 、韓国語ではサダリタギ（사다리타기、文字通り「はしご登り」） 、中国語では鬼腳圖（中国語：鬼足図）として知られています。

この図は、縦線と、その長さに沿ってランダムに散らばる隣接する2本の縦線を結ぶ横線で構成されています。横線は「脚」と呼ばれます。縦線の数はプレイする人数と同じで、各線の一番下にアイテム（プレイヤーとペアになるもの）が配置されています。このゲームの基本的なルールは、一番上の線を選び、その線を下にたどっていくことです。横線に出会ったら、それをたどって別の縦線に進み、さらに下にたどります。縦線の端に到達するまでこの手順を繰り返します。すると、プレイヤーは線の下に書かれたアイテムを受け取ります。

ゴーストレッグの上に書かれた要素をシーケンスとして扱い、ゴーストレッグが使用された後に同じ要素が下に書かれた場合、開始シーケンスは別の順列に変換されます。したがって、ゴーストレッグは一種の順列演算子と見なすことができます。

プロセス

例として、演劇で俳優に役割を割り当てることを考えてみましょう。

  1. まず、2つのセットをボード上に横一列に並べます。俳優の名前を上に、役柄を下に書きます。そして、各俳優とその下の役柄を結ぶ縦線を引きます。
  2. どの俳優がどの列にあるのか、どの役がどの列にあるのかが分からないように、俳優や役の名前は隠されます。
  3. 次に、各俳優はボードに脚を追加します。各脚は隣接する2本の縦線を繋ぎ、他の横線に触れてはいけません。
  4. これが完了すると、各縦線の最上部から最下部までパスが描かれます。線を辿っていく中で、左または右の脚に出会った場合、その脚を隣接する縦線まで辿り、そこから下への軌跡を再開し、縦線の下部に到達するまで続けます。パスの始点である最上部のアイテムと、終点である最下部のアイテムがペアになります。

もう一つの方法は、あらかじめ梯子を作り、それを隠しておくというものです。そして、参加者は順番に、上から始める道を選びます。もしあみだくじのどの部分も隠されていなければ、特定の組み合わせが保証されるようにシステムを修正することができ、偶然の偶然性という概念を覆すことができます。

数学

このゲームの魅力の一つは、じゃんけんのようなランダムなゲームとは異なり、あみだくじは常に1:1の対応関係を生成し、任意の数のペアを処理できることです。上部の2つのアイテムが下部のアイテムに対応することは決してなく、下部のアイテムが上部のアイテムに対応しないこともありません。

水平線を何本追加しても、この方法は有効です。各人が1本、2本、3本、あるいは任意の本数の線を追加しても、1:1の対応関係は維持されます。

これがどのように機能するかを理解する一つの方法は、カップに入ったコインの例えを考えることです。n個のカップにはn枚のコインが入っており、これらはあみだくじの底にあるアイテムを表しています。そして、足が一つ増えるごとに、隣接する2つのカップの位置が入れ替わることを表します。したがって、最終的にはn個のカップが存在し、入れ替えを何回行っても、各カップには1枚のコインが入っています。

プロパティ

順列

ゴーストレッグは、入力シーケンスを、同じ要素数を持ち、順序が（場合によっては）異なる出力シーケンスに変換します。したがって、これはn個のシンボルの順列と見なすことができます。ここで、nはゴーストレッグの垂直線の数です。[ 2 ]したがって、対応する順列行列で表すことができます。

周期性

ゴースト レッグ を入力シーケンスに有限回数適用すると、最終的に元の入力シーケンスと同一の出力シーケンスが生成されます。

つまり、M が特定のゴースト レッグを表す行列である場合、有限のnに対してM n = I となります。

可逆性

行列表現Mを持つ任意のゴーストレッグに対して、表現M −1を持つゴーストレッグが存在し、M M −1 = Iとなる。

順列の奇偶性

各レッグは両端の隣接する2つの要素を交換するため、レッグの数はゴーストレッグの奇数/偶数順列の性質を示します。レッグの数が奇数の場合は奇順列、レッグの数が偶数の場合は偶数順列となります。

同じ順列を持つ無限のゴーストレッグ

あらゆる順列をゴーストレッグとして表現することは可能ですが、その表現は一対一ではありません。つまり、特定の順列が唯一のゴーストレッグに対応するわけではありません。無限の数のゴーストレッグが同じ順列を表します。

プライム

特定の順列を表すゴーストレッグは無限に存在するため、それらのゴーストレッグは一種の同値性を持ちます。これらの同値なゴーストレッグの中で、レッグの数が最も少ないものを「素数」と呼びます。

バブルソートと最高のシンプルさ

ゴーストレッグは任意に構成できますが、必ずしも素数であるとは限りません。バブルソートによって構成されるゴーストレッグのみがレッグ数が最も少なく、したがって素数であることが証明されています。これは、バブルソートがシーケンスをソートするために最小数の隣接交換を実行するということを意味します。

素数の脚の最大数

n個の要素を持つ順列の場合、隣接する要素の交換の最大数は =n（n−1）2{\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}

同様に、n本のトラックを持つ素数の最大脚数 =n（n−1）2{\displaystyle {\frac {n(n-1)}{2}}}

バブル化

任意のゴーストレッグは、「バブリゼーション」と呼ばれる手続きによって素数に変換することができます。バブリゼーションが作用すると、以下の2つの恒等式が繰り返し適用され、「役に立たない」レッグが移動・除去されます。

  1. ⇒
  2. ⇒

2 つの恒等式がこれ以上適用できない場合、ゴースト レッグはバブル ソートによって構築されたゴースト レッグとまったく同じであることが証明されるため、バブル化によってゴースト レッグを素数に減らすことができます。

ランダム性

前述のように、レッグ数が奇数の場合は奇数の順列が生成され、レッグ数が偶数の場合は偶数の順列が生成されるため、特定のレッグ数では、最大で合計可能な順列の半分が生成されます (トラック数に比べてレッグ数が少ない場合は半分未満ですが、レッグ数が特定の臨界数を超えると半分になります)。

レグがランダムに抽選される場合（「ランダムに抽選される」という合理的な定義のもとで）、レグの数が増えるにつれて、組み合わせの分布の均一性は高まります。レグの数がトラックの数に比べて少ない場合、異なる組み合わせが達成される確率は大きく異なる可能性があります。レグの数が多い場合、異なる組み合わせが達成される確率はほぼ等しくなります。

注記

  1. ^室町時代には、この図案は放射状に描かれ（始点が外側、終点が内側）、阿弥陀如来の光背を表す際によく使われた「円放射状」のデザインに似ていることからこの名がついた[ 1 ]。

参考文献

  1. ^フレデリック, ルイ (2002).日本大百科事典. ISBN 9780674017535。
  2. ^ Ho 2012、31ページ
ウィキメディア・コモンズには、ゴーストレッグに関連するメディアがあります。
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ghost_leg&oldid=1311634566」から取得