グーマグタイ予想

数学における未解決問題

グーマグタイ問題には2つの解しかないのでしょうか？

数学におけるさらなる未解決問題

数学において、グールマグティーグ予想は、指数ディオファントス方程式の解に関するベルギーの数学者ルネ・グールマグティーグにちなんで名付けられた数論の予想である。

${\displaystyle {\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}$

1より大きい整数 と2より大きい指数を持つ。慣例の一つは、 と である。 ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle x>y>1}$ ${\displaystyle n>m>2}$

この予想によれば、そのような解は

${\displaystyle {\frac {5^{3}-1}{5-1}}={\frac {2^{5}-1}{2-1}}=31}$

そして

${\displaystyle {\frac {90^{3}-1}{90-1}}={\frac {2^{13}-1}{2-1}}=8191.}$

表現

予想のどちらの辺の分数も、有限等比級数を正確に表します。実際、例えば です。このように、指数ディオファントス方程式は、左辺に項と最高次数、右辺に 項を持つ2つの一変数多項式を等しくします${\displaystyle \textstyle {\frac {x^{m}-1}{x-1}}=\sum _{k=1}^{m}x^{k-1}}$ ${\displaystyle 31=1+5+25=5^{0}+5^{1}+5^{2}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x^{m-1}}$ ${\displaystyle n>m}$

あるいは、分数の分母を掛け合わせると、この式は次のように表現される。

${\displaystyle x^{m}+x\cdot y^{n}+y=y^{n}+y\cdot x^{m}+x,}$

または類似の形式。

対数をとると、

${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\frac {\ln y}{\ln x}}+O({\tfrac {1}{n}})}$

ここで剰余項は多項式比の です。 が与えられている場合、 剰余は の範囲にあります${\displaystyle \log_{x}}$ ${\displaystyle x,y,n}$ ${\displaystyle m=n\cdot \log_{x}y+O(1)}$ ${\displaystyle (-1,1)}$

レプユニットに関して

グーマグタイ予想は、という形式の2つの式を等しくすることで、異なる2つの基数において少なくとも3桁のレピュテーション単位となる数は2つしかないとも表現できる。31は基数5では111 、基数2では11111と表されるが、8191は基数90では111 、基数2では 111111111111と表される。${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{m}{\textit {1}}\cdot x^{k-1}}$

部分的な結果

この予想は、特に小さなケース（数千桁以内、あるいは12桁程度以下の桁数）や分数が素数（数百桁）の場合に、コンピュータを用いた広範な解探索が行われてきました。後者は「グーマグタイ素数」と呼ばれます。このような探索は、方程式から示唆される様々な必要な合同関係や解析的な境界値の結果によって支援されており、そのいくつかを以下に示します ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{m}}$

このリストには、さらなる条件下での解集合の有限性に関する既知の結果も含まれています。非対称変数の使用に関する結果については、文献では別の慣例も使用されていることに注意してください。 ${\displaystyle y>x}$

• およびを固定した場合、 の緩い上限は から計算でき、前述のように、は に近い整数に等しくなります。He & Togbé (2008) は、 およびを固定した場合のそれぞれについて、この方程式の解は最大で 1 つであることを示しました。 を固定した場合(または)、この方程式の解は最大で 15 個、 が奇数素数乗の 2 の累乗であるか有限集合^{[ 1 ]}内にある場合を除き、最大で 2 個です。その場合、解は最大で 3 つあります。さらに、 の奇数部分が平方である場合、が最大で 2 つの異なる奇数素因数を持つか別の有限集合^{[ 2 ]}内にある場合を除き、解は最大で 1 つあります。その場合、解は 2 つが知られています。実際、ここでおよび です。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n\cdot \log_{x}y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y=2}$ ${\displaystyle \max(m,n)<4^{y}}$ ${\displaystyle x<2^{2^{y}}}$
• 与えられた有限集合内に存在するとの素因数については、可能な解は有限個しか存在せず、原理的にはこれらを効果的に計算できることをバラスブラマニアンとショアリーは 1980 年に証明しました。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$
• Davenport、Lewis、Schinzel (1961)は、とを固定した場合、方程式には有限個の解しか存在しないことを示した。しかし、この証明はSiegel の有限性定理に依存しているが、これは有効ではない。${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$
• Nesterenko & Shorey (1998)は、およびのように指数が正の整数から構成される簡略化された状況では、およびのみに依存する実質的に計算可能な定数によって値が制限されることを示しました。${\displaystyle m-1=d\,r}$ ${\displaystyle n-1=d\,s}$ ${\displaystyle d>1}$ ${\displaystyle \max(x,y,m,n)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$
• Yuan (2005)は、および が奇数の場合、この方程式には 2 つの既知の解以外に解がまったく存在しないことを示しました。${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle n}$

参照

• フェイト＝トンプソン予想
• メルセンヌ素数
• 反復数字
• 反復単位

参考文献

1. 集合{15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713 }
2. セット{315, 495, 525, 585, 630, 693, 735, 765, 855, 945, 1035, 1050, 1170, 1260, 1386, 1530, 1890, 1925, 1950, 1953, 2115, 2175, 2223, 2325, 2535, 2565, 2898, 2907, 3105, 3150, 3325, 3465, 3663, 3675, 4235, 5525, 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}。

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