グーマグティグ予想

数学において、グールマグティーグ予想（グールマグティーグじょう）は、ベルギーの数学者ルネ・グールマグティーグにちなんで名付けられた数論の予想である。この予想は、指数ディオファントス方程式の唯一の非自明な整数解は

${\displaystyle {\frac {x^{m}-1}{x-1}}={\frac {y^{n}-1}{y-1}}}$

満足感があり 、${\displaystyle x>y>1}$ ${\displaystyle n,m>2}$

${\displaystyle {\frac {5^{3}-1}{5-1}}={\frac {2^{5}-1}{2-1}}=31}$

そして

${\displaystyle {\frac {90^{3}-1}{90-1}}={\frac {2^{13}-1}{2-1}}=8191.}$

部分的な結果

Davenport, Lewis & Schinzel (1961)は、固定指数との各ペアに対して、この方程式は有限個の解しか持たないことを示した。しかし、この証明はシーゲルの有限性定理に依存しているが、これは有効ではない。Nesterenko & Shorey (1998)は、、、およびの場合、が、およびのみに依存する実質的に計算可能な定数によって制限されることを示した。Yuan (2005)は、およびが奇数の場合、この方程式には上記の2つの解以外に 解がないことを示した。${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m-1=dr}$ ${\displaystyle n-1=ds}$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle r\geq 1}$ ${\displaystyle s\geq 1}$ ${\displaystyle \max(x,y,m,n)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle m=3}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (x,y,n)}$

Balasubramanianと Shorey は 1980 年に、 との素因数が与えられた有限集合内に存在する方程式の可能な解は有限個しか存在せず、それらの解は効果的に計算できることを証明しました。 He と Togbé (2008) は、 と が固定されているそれぞれに対して、この方程式の解は最大で 1 つしかないことを示しました。x (またはy ) が固定されている場合、方程式の解は最大で 15 個あり、x が奇数の素数乗と2 の累乗、または有限集合 {15, 21, 30, 33, 35, 39, 45, 51, 65, 85, 143, 154, 713} 内にある場合を除き、最大で 2 個です。これらの場合は、解は最大で 3 個です。さらに、 xの奇数部分が平方数である場合、 x が最大で 2 つの異なる奇数の素因数を持つか、x が有限集合 {315、495、525、585、630、693、735、765、855、945、1035、1050、1170、1260、1386、1530、1890、1925、1950、1953、2115、2175、2223、2325、2535、2565、2898、2907、3105、3150、3325、3465、3663、3675、4235、5525、 5661, 6273, 8109, 17575, 39151}。xが2のべき乗の場合、x = 2の場合を除き、解は最大で1つしか存在しません。x = 2の場合は、2つの解が知られています。実際、そして。 ${\displaystyle (x,y,m,n)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \max(m,n)<4^{x}}$ ${\displaystyle y<2^{2^{x}}}$

repunitsへの申請

グーマグティーグ予想は、31 (基数5 では 111、基数 2 では 11111) と 8191 (基数 90 では 111、基数 2 では 1111111111111) が、2 つの異なる基数で少なくとも 3 桁の数字を 持つレピュテーション単位である唯一の 2 つの数であると言うことで表現できます。

参照

• フェイト・トンプソン予想

参考文献

• ゴーマグタイト、レネ。 L'Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917)、88
• Bugeaud, Y.; Shorey, TN (2002). 「ディオファントス方程式 x m − 1 x − 1 = y n − 1 y − 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{m}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n}-1}{y-1}}} について」(PDF) . Pacific Journal of Mathematics . 207 (1): 61– 75. doi : 10.2140/pjm.2002.207.61 .
• Balasubramanian, R. ; Shorey, TN (1980). 「方程式 a ( x m − 1 ) / ( x − 1 ) = b ( y n − 1 ) / ( y − 1 ) {\displaystyle a(x^{m}-1)/(x-1)=b(y^{n}-1)/(y-1)} について」. Mathematica Scandinavica . 46 : 177–182 . doi : 10.7146/math.scand.a-11861 . MR  0591599. Zbl  0434.10013.
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• ガイ、リチャード・K. (2004).数論における未解決問題（第3版）.シュプリンガー・フェアラーク. p. 242. ISBN 0-387-20860-7. Zbl  1058.11001。
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• ネステレンコ、ユウ。 V. ;テネシー州ショーリー (1998)。 「Goormaghtigh の方程式について」(PDF)。アクタ算術。LXXXIII (4): 381–389 . doi : 10.4064/aa-83-4-381-389。MR  1610565。Zbl 0896.11010  。
• Shorey, TN; Tijdeman, R. (1986).指数ディオファントス方程式. Cambridge Tracts in Mathematics. 第87巻. Cambridge University Press . pp.  203– 204. ISBN 0-521-26826-5. Zbl  0606.10011。
• 袁平志（2005）。 「ディオファントス方程式では、 x 3 − 1 x − 1 = y n − 1 y − 1 {\displaystyle {\tfrac {x^{3}-1}{x-1}}={\tfrac {y^{n}-1}{y-1}}} となります。J. 数論。112 : 20–25 .土井: 10.1016/j.jnt.2004.12.002。MR  2131139。