ベクトル場

ベクトル場（ sin  y、 sin  x）の一部

ベクトル計算と物理学において、ベクトル場とは、空間（最も一般的にはユークリッド空間）内の各点にベクトルを割り当てることである。^{[ 1 ]}平面 上のベクトル場は、平面上の各点にそれぞれ接続された、与えられた大きさと方向を持つ矢印の集合として視覚化することができる。ベクトル場は、例えば、風のように三次元空間を移動する流体の速度と方向、あるいは磁力や重力など、ある点から別の点へと変化する力の強さと方向をモデル化するためによく用いられる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微分積分学の要素は、ベクトル場にも自然に拡張されます。ベクトル場が力を表す場合、ベクトル場の線積分は、経路に沿って移動する力によって行われる仕事を表します。この解釈によれば、エネルギー保存則は微積分学の基本定理の特殊なケースとして示されます。ベクトル場は、空間を移動する流れの速度を表すものと考えると便利であり、この物理的な直感は、発散（流れの体積変化率を表す）や回転（流れの回転を表す）といった概念につながります。

ベクトル場はベクトル値関数の特殊なケースであり、その定義域の次元はその値域の次元とは無関係です。例えば、空間曲線の位置ベクトルは、周囲空間のより小さなサブセットに対してのみ定義されます。同様に、n座標では、 n次元ユークリッド空間内の定義域上のベクトル場は、定義域の各点にn組の実数を関連付けるベクトル値関数として表すことができます。ベクトル場のこの表現は座標系に依存し、ある座標系から別の座標系への変換には明確に定義された変換則（ベクトルの共変性と反変性）があります。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ベクトル場はユークリッド空間の開集合について議論されることが多いが、曲面などの他の部分集合でも意味を持ち、各点において曲面に接する矢印（接ベクトル）を関連付ける。より一般的には、ベクトル場は微分可能多様体上で定義される。微分可能多様体は、小さなスケールではユークリッド空間に似ているが、より大きなスケールではより複雑な構造を持つ空間である。このような設定では、ベクトル場は多様体の各点（つまり、多様体への接束の切断面）における接ベクトルを与える。ベクトル場はテンソル場の一種である。

意味

ユークリッド空間の部分集合上のベクトル場

同じベクトル場の2つの表現：v ( x , y ) = − r。矢印は離散点における場を表していますが、実際には場はどこにでも存在します。

R ⁿの部分集合Sが与えられたとき、ベクトル場は標準直交座標( x ₁ , …, x _n )におけるベクトル値関数V : S → R ⁿで表される。Vの各成分が連続であれば、Vは連続ベクトル場である。一般的には滑らかなベクトル場、すなわち各成分が滑らかな関数（任意の回数微分可能）であることに注目する。ベクトル場は、 n次元空間内の個々の点にベクトルを割り当てることで視覚化できる。^{[ 1 ]}

標準的な表記法の一つは、座標方向の単位ベクトルについて と書くことである。この用語を用いると、の開部分集合上の任意の滑らかなベクトル場は、上の 何らかの滑らかな関数についてと書くことができる 。^{[ 2 ]}この表記法を用いる理由は、ベクトル場が、滑らかな関数の空間からそれ自身への線型写像を決定するからである。これはベクトル場の方向に微分することによって与えられる。 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$$ ${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)}$

例：ベクトル場は、原点を中心とした反時計回りの回転を記述します。関数が回転不変であることを示すには、次を計算します。 ${\displaystyle -x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$ $${\displaystyle \left(-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.}$$

S上で定義されたベクトル場V、WとS上で定義された滑らかな関数fが与えられれば、スカラー乗算とベクトル加算の演算により、 滑らかなベクトル場が滑らかな関数の環上のモジュール になり、関数の乗算は点ごとに定義されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}(fV)(p)&:=f(p)V(p)\\(V+W)(p)&:=V(p)+W(p),\end{aligned}}}$$

座標変換法則

物理学において、ベクトルは、異なる背景座標系で同じベクトルを測定したときに、その座標がどのように変化するかによっても区別されます。ベクトルの変換特性は、ベクトルを単なるスカラーのリストや共ベクトルとは幾何学的に異なる実体として区別します。

したがって、( x ₁ , ..., x _n )はベクトルVの成分を表す 直交座標の選択肢であり、 ( y ₁ , ..., y _n )は異なる座標系を定義するx _iのn個の関数であるとする。この場合、新しい座標系におけるベクトルVの成分は、変換則を満たす必要がある 。$${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$$

$${\displaystyle V_{i,y}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y_{i}}{\partial x_{j}}}V_{j,x}.}$$

1

このような変換法則は反変法則と呼ばれます。物理学におけるベクトル場も同様の変換法則を特徴づけます。具体的には、ベクトル場は、異なる座標系を関連付ける変換法則( 1 )に従う各座標系におけるn個の関数の指定です。

したがって、ベクトル場は、空間内のすべての点に数値またはスカラーを関連付けるスカラー場とは対照的であり、また、座標の変更によって変換されないスカラー場の単純なリストとも対照的です。

多様体上のベクトル場

球面上のベクトル場

微分可能多様体 が与えられたとき、上のベクトル場は内の各点への接ベクトルの割り当てである。^{[ 2 ]}より正確には、ベクトル場はからへの接束への写像であり、 は恒等写像となる。ここでは からへの射影を表す。言い換えれば、ベクトル場は接束の切断である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle p\circ F}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle M}$

別の定義：多様体上の滑らかなベクトル場とは、すべてのに対してが微分となるような線型写像である。^{[ 3 ]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$ ${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$

多様体 が滑らかまたは解析的である場合、つまり座標変換が滑らか（解析的）である場合、滑らかな（解析的）ベクトル場の概念を理解することができます。滑らかな多様体上のすべての滑らかなベクトル場の集合は、しばしばまたはで表されます（特にベクトル場を の切断として考える場合）。また、すべての滑らかなベクトル場の集合は（フラクトゥール"X"）で表されます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$ ${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$

例

飛行機の周りの流れ場はR ^{3のベクトル場であり、ここでは}翼端渦を示す流線に沿った泡によって視覚化されています。

ベクトル場は、コンピュータグラフィックスにおけるパターン作成によく用いられます。ここでは、 OpenSimplexノイズで生成されたベクトル場に沿った曲線の抽象的な構成を示しています。

• 地球上の空気の動きを表すベクトル場は、地球上のあらゆる地点について、その地点における風速と風向を示すベクトルを関連付けます。これは風を表す矢印を使って描くことができ、矢印の長さ（大きさ）が風速を示します。通常の気圧図では、「高気圧」は気圧の源（矢印は外向き）として、「低気圧」は気圧の吸い込み（矢印は内向き）として機能します。これは、空気が高気圧から低気圧へと移動する傾向があるためです。
• 移動する流体の速度場。この場合、流体内の各点に速度ベクトルが関連付けられます。
• 流線、流脈線、流跡線は、（時間依存の）ベクトル場から作成できる3種類の線です。これらは以下のとおりです。
  • 流脈線：粒子が特定の固定点を様々な時間にわたって通過することによって生じる線
  • パスライン: 特定の粒子 (質量ゼロ) がたどる経路を表示します。
  • 流線（または磁力線）：瞬間的な場の影響を受ける粒子の経路（つまり、場が固定されている場合の粒子の経路）。
• 磁場。小さな鉄粉を使って磁力線を明らかにすることができます。
• マクスウェル方程式により、与えられた初期条件と境界条件のセットを使用して、ユークリッド空間のあらゆる点について、その点で荷電テスト粒子が受ける力の大きさと方向を推測することができます。結果として得られるベクトル場は電場です。
• 質量を持つ物体によって生成される重力場もまたベクトル場です。例えば、球対称の物体の重力場ベクトルはすべて球の中心に向かい、物体からの半径距離が大きくなるにつれてベクトルの大きさは減少します。

ユークリッド空間における勾配場

点の周りを循環するベクトル場は、関数の勾配として表すことはできません。

ベクトル場は勾配演算子（del :∇で表される）を使ってスカラー場から構築することができる。^{[ 4 ]}

開集合S上に定義されたベクトル場Vは、S上に実数値関数（スカラー場） fが存在し、 $${\displaystyle V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$$

関連する流れは勾配フローは、勾配降下法で使用されます。

保存場における 任意の閉曲線γ（γ（0）＝γ （1））に沿った経路積分はゼロである。$${\displaystyle \oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0))。}$$

ユークリッド空間の中心体

R ⁿ \ {0}上のC ^∞ベクトル場は、 O( n , R )が直交群で あるとき、 中心体と呼ばれます。中心体は0 の周りの直交変換に対して不変であるといいます。 $${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))}$$

点 0 は場の 中心と呼ばれます。

直交変換は実際には回転と鏡映変換であるため、不変性条件は中心場のベクトルが常に0に向かうか、0から離れる方向を向いていることを意味します。これは別の（より単純な）定義です。中心場は常に勾配場です。なぜなら、中心場を1つの半軸上で定義し、積分すると反勾配が得られるからです。

ベクトル場の演算

線積分

物理学でよく使われる手法は、ベクトル場を曲線に沿って積分することであり、線積分とも呼ばれます。直感的に言えば、これは曲線の接線に沿ったすべてのベクトル成分を、それらのスカラー積として表される合計です。例えば、力場（例えば重力）内の粒子を考えてみましょう。空間のある点における各ベクトルは、その粒子に作用する力を表します。ある経路に沿った線積分は、粒子がその経路に沿って移動するときに行われる仕事です。直感的に言えば、これは曲線に沿った各点における力のベクトルと微小接線ベクトルのスカラー積の合計です。

線積分はリーマン積分と同様に構築され、曲線が修正可能（有限の長さを持つ）かつベクトル場が連続である場合に存在します。

ベクトル場Vと曲線γが与えられ、tによって[ a , b ]にパラメータ化される（ただしaとbは実数）とすると、線積分は次のように定義される。 $${\displaystyle \int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}$$

ベクトル場トポロジーを表示するには、線積分畳み込みを使用できます。

発散

ユークリッド空間上のベクトル場の発散は関数（またはスカラー場）である。3次元では、発散は次のように定義される。 $${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$$

任意の次元への明らかな一般化を伴う。ある点における発散は、その点の周囲の小さな体積がベクトルの流れのソースまたはシンクとなる度合いを表し、この結果は発散定理によって明確に示される。

発散は、リーマン多様体、つまりベクトルの長さを測定する リーマン計量を持つ多様体上でも定義できます。

3次元のカール

回転は、ベクトル場から別のベクトル場を生成する演算です。回転は3次元でのみ定義されますが、回転のいくつかの性質は外微分によって高次元でも捉えることができます。3次元では、回転は次のように定義されます。 $${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$$

回転は、ある点におけるベクトル流の角運動量密度、すなわち流れが固定軸の周りを回転する量を表します。この直感的な記述は、ストークスの定理によって明確化されます。

ベクトル場のインデックス

ベクトル場の添字は、孤立した零点（つまり、場の孤立した特異点）の周りでの挙動を記述するのに役立つ整数です。平面上では、添字は鞍点特異点では値 -1 をとりますが、ソース特異点またはシンク特異点では値 +1 をとります。

ベクトル場が定義される多様体の次元をn とする。 零点の周りに（(n-1)-球面に同相な）閉曲面 S をとり、S の内部に他の零点が存在しないものとする。この球面からn  − 1 次元の単位球面への写像は、この球面上の各ベクトルをその長さで割って単位長ベクトルを形成することで構築でき、この単位長ベクトルは単位球面 S ^{n −1上の点となる。これにより、 S から S n −1}への連続写像が定義される。この点におけるベクトル場の添え字は、この写像の次数である。この整数は S の選択に依存せず、したがってベクトル場自体にのみ依存することが示される。

指数は、特異点（つまり、ベクトルがゼロでない点）では定義されません。これは、ソースの周りでは+1に等しく、より一般的には、k個の収縮次元とn − k 個の膨張次元 を持つ鞍点の周りでは(-1) ^{kに等しくなります。}

ベクトル場全体 の添字は、ベクトル場が有限個の零点を持つ場合に定義されます。この場合、すべての零点は孤立しており、ベクトル場の添字はすべての零点における添字の和として定義されます。

3次元空間における通常の（2次元）球面の場合、球面上の任意のベクトル場の指数は必ず2であることが示されます。これは、そのようなベクトル場はすべて必ず零点を持つことを示しています。これは、ヘアリーボール定理を示唆しています。

有限個の零点を持つコンパクト多様体上のベクトル場の場合、ポアンカレ-ホップの定理によれば、ベクトル場の指数は多様体のオイラー特性となります。

物理的な直感

鉄棒の磁力線（磁気双極子）

マイケル・ファラデーは、力線の概念において、場そのものが研究対象となるべきであると強調し、それは場の理論の形で物理学全体に浸透しました。

ファラデーがモデル化した現象には、磁場のほかに、電場や光場などがあります。

近年、複雑な流体や固体の力学から化学反応速度論や量子熱力学に至るまで、物理学における不可逆的な力学や発展方程式の多くの現象論的定式化は、熱力学第二法則との整合性を保証し、オンサガーの相互性などのよく知られた近平衡結果を遠非平衡領域に拡張する一貫した普遍的なモデリングフレームワークとして、「エントロピーの最急上昇」または「勾配流」という幾何学的な概念に収束しつつある。^{[ 5 ]}

フロー曲線

流体が空間領域を流れる様子を考えてみましょう。ある時点において、流体のどの点にも特定の速度が関連付けられます。したがって、あらゆる流れにはベクトル場が関連付けられます。逆もまた真です。つまり、ある流れを、そのベクトル場を速度とするベクトル場と関連付けることが可能です。

上で定義されたベクトル場が与えられたとき、区間 の各値に対して となる曲線が定義される。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle \gamma '(t)=V(\gamma (t))\,.}$$

ピカール・リンデレフの定理によれば、がリプシッツ連続であれば、 の各点に対して一意の-曲線が存在するので、ある に対して、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \gamma_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{x}(0)&=x\\\gamma '_{x}(t)&=V(\gamma _{x}(t))\qquad \forall t\in (-\varepsilon ,+\varepsilon )\subset \mathbb {R} .\end{aligned}}}$$

曲線はベクトル場 の積分曲線または軌跡（または、あまり一般的ではないが、フローライン）と呼ばれ、同値類に分割されます。区間を実数直線全体に拡張することが常に可能であるとは限りません。フローは、たとえば有限時間で の端に到達する場合があります。2次元または3次元では、ベクトル場が上に流れを生み出すものとして視覚化できます。この流れの任意の点に粒子を落とすと、粒子は初期点 に応じて流れ内の曲線に沿って動きます。が の静止点である場合（つまり、ベクトル場 が点でゼロベクトルに等しい場合）、粒子は に留まります。 ${\displaystyle \gamma _{x}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (-\varepsilon ,+\varepsilon )}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \gamma _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

代表的な応用としては、流体のパスライン、測地線フロー、1 パラメータ サブグループ、リー群の指数マップなどがあります。

完全ベクトル場

定義により、 上のベクトル場は、そのフロー曲線のそれぞれが常に存在するとき、完全と呼ばれます。 ^{[ 6 ]}特に、多様体上でコンパクト にサポートされているベクトル場は完全です。が 上の完全ベクトル場である場合、に沿ったフローによって生成される微分同相写像の1 パラメータ群は常に存在し、これは滑らかな写像で記述されます 。境界のないコンパクト多様体上では、すべての滑らかなベクトル場は完全です。実数直線上の不完全ベクトル場 の例は、で与えられます。 について、初期条件 を持つ微分方程式 は、の場合に唯一の解として を持ちます( の場合 はすべて に対して)。したがって について、は で定義されていないため、 のすべての値に対して を定義することはできません。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \mathbf {R} \times M\to M.}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V(x)=x^{2}}$ ${\textstyle x'(t)=x^{2}}$ ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle x(t)=0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}=0}$ ${\displaystyle x_{0}\neq 0}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$ ${\displaystyle t}$

リーブラケット

2つのベクトル場に付随するフローは、互いに可換である必要はありません。可換でないことは、2つのベクトル場のリー括弧によって記述されます。リー括弧もまたベクトル場です。リー括弧は、滑らかな関数に対するベクトル場の作用に基づいて、以下のように簡単に定義されます。 ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle [X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).}$$

f関連性

多様体間の滑らかな関数が与えられると、その導関数は接束, 上の誘導写像となる。ベクトル場 と が与えられると、方程式が成り立つ場合、は と-関係にあると言える。 ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f_{*}:TM\to TN}$ ${\displaystyle V:M\to TM}$ ${\displaystyle W:N\to TN}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W\circ f=f_{*}\circ V}$

が、と -関連している場合、リー括弧はと -関連しています。 ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W_{i}}$ ${\displaystyle i=1,2}$ ${\displaystyle [V_{1},V_{2}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [W_{1},W_{2}]}$

一般化

ベクトルをpベクトル（ベクトルのp番目の外冪）に置き換えると、 pベクトル場が生成されます。双対空間と外冪を取ると微分k形式が生成され、これらを組み合わせると一般テンソル場が生成されます。

代数的には、ベクトル場は多様体上の滑らかな関数の代数の微分として特徴付けることができ、これは可換代数上のベクトル場を代数上の微分として定義することにつながり、これは可換代数上の微分積分理論で展開されます。

参照

• 循環（物理学）
• アイゼンバッド・レヴィン・キムシアシビリ署名式
• フィールドライン
• 電界強度
• 大気力学における勾配流と平衡流
• リー微分
• スカラー場
• 時間依存ベクトル場
• 円筒座標と球座標におけるベクトル場
• テンソル場
• 傾斜フィールド

参考文献

1. ガルビス、アントニオ;マエストル、マヌエル (2012)。ベクトル解析とベクトル微積分。スプリンガー。 p. 12.ISBN​ 978-1-4614-2199-3。
2. Tu, Loring W. (2010). 「ベクトル場」 .多様体入門. Springer. p. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3。
3. Lerman, Eugene (2011年8月19日). 「微分幾何学入門」(PDF) . 定義3.23. 2023年6月8日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2020年7月20日閲覧。
4. Dawber, PG (1987).ベクトルとベクトル演算子. CRC Press. p. 29. ISBN 978-0-85274-585-4。
5. Beretta, Gian Paolo (2020-05-01). 「熱力学の第4法則：エントロピーの最も急激な上昇」. Philosophical Transactions of the Royal Society A . 378 (2170) 20190168. arXiv : 1908.05768 . Bibcode : 2020RSPTA.37890168B . doi : 10.1098 / rsta.2019.0168 . ISSN 1471-2962 . PMID 32223406. S2CID 201058607 .   
6. シャープ, R. (1997).微分幾何学. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-94732-9。

参考文献

• ハバード, JH ;ハバード, BB (1999).ベクトル計算、線型代数、微分形式。統一的アプローチ。アッパーサドルリバー、ニュージャージー州: プレンティス・ホール。ISBN 0-13-657446-7。
• ワーナー、フランク (1983) [1971].微分可能多様体とリー群の基礎. ニューヨーク-ベルリン: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90894-3。
• ブースビー、ウィリアム(1986).微分可能多様体とリーマン幾何学入門. 純粋・応用数学, 第120巻（第2版）. オーランド, フロリダ州: アカデミック・プレス. ISBN 0-12-116053-X。

外部リンク

• オンラインベクトル場エディター
• 「ベクトル場」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ベクトル場— Mathworld
• PlanetMathのベクトル場。
• 3D磁場ビューア
• ベクトル場と磁力線
• ベクトル場シミュレーションベクトル場の効果を示すインタラクティブなアプリケーション