粉粒体

粉粒体の例

粒状物質は、粒子が相互作用するたびにエネルギーが失われる（最も一般的な例は、粒子が衝突するときの摩擦である）という特徴を持つ、個別の固体のマクロ粒子の集合体である。 ^{[ 1 ]}粒状物質を構成する成分は、熱運動の変動の影響を受けないほど十分に大きい。したがって、粒状物質中の粒子の大きさの下限は約1 μmである。上限については、粒状物質の物理学は、個々の粒子が氷山である氷床や、個々の粒子が小惑星である太陽系の小惑星帯に適用できる。

粒状物質の例としては、雪、ナッツ、石炭、砂、米、コーヒー、コーンフレーク、塩、ベアリングボールなどが挙げられます。粒状物質の研究は直接応用可能であり、少なくともシャルル＝オーギュスタン・ド・クーロンにまで遡ります。クーロンは、粒状物質の摩擦の法則を最初に提唱しました。^{[ 2 ]}粒状物質は、製薬産業、農業、エネルギー生産など、多様な用途において商業的に重要です。

粉末は粒子サイズが小さいため、凝集性が高く、ガス中に容易に浮遊する特殊な種類の粒状物質です。

軍人であり物理学者でもあったラルフ・アルジャー・バグノルド准将は、粉粒体物理学の先駆者であり、著書『飛砂と砂漠の砂丘の物理学』^{[ 3 ]}は今日でも重要な参考文献となっています。材料科学者のパトリック・リチャードによれば、「粉粒体は自然界に遍在し、産業界において2番目に多く扱われている物質です（1番目は水です）」^{[ 4 ] 。}

ある意味では、粒状物質は単一の物質相を構成するのではなく、粒子あたりの平均エネルギーに応じて固体、液体、または気体を想起させる特性を示します。しかし、これらの各状態において、粒状物質は独自の特性も示します。^{[ 5 ]}

粒状物質は、励起（例えば、振動や流動）されると、多様なパターン形成挙動を示す。そのため、励起下の粒状物質は複雑系の一例と考えることができる。また、流体に基づく不安定性やマグヌス効果などの現象も示す。^{[ 6 ]}

定義

粒状物質は、多数のマクロな粒子からなる系です。ミクロな粒子（原子／分子）は（古典力学において）系のすべての自由度によって記述されます。マクロな粒子は、各粒子が剛体として運動する自由度によってのみ記述されます。各粒子には多くの内部自由度があります。2つの粒子間の非弾性衝突を考えてみましょう。剛体としての速度エネルギーがミクロな内部自由度に伝達されます。「散逸」、つまり不可逆的な熱が発生します。その結果、外部からの駆動がなければ、最終的にすべての粒子は動きを停止します。マクロな粒子では、熱ゆらぎは無関係です

物質が希薄かつ動的（駆動的）​​な場合、それは粒状ガスと呼ばれ、消散現象が支配的になります。

物質が高密度かつ静的である場合、それは粒状固体と呼ばれ、ジャミング現象が支配的になります。

密度が中間の場合、それは粒状液体と呼ばれます。

静的挙動

クーロン摩擦の法則

粒状媒体における応力力の伝達連鎖

クーロンは、粒状粒子間の内部力を摩擦過程とみなし、固体粒子の摩擦力はそれらの間の法線圧力に比例し、静摩擦係数は動摩擦係数よりも大きいという摩擦法則を提唱しました。 彼は砂山の崩壊を研究し、最大安定角と最小安息角という 2 つの臨界角を経験的に発見しました。 砂山の傾斜が最大安定角に達すると、砂山の表面にある砂粒子が落下し始めます。 このプロセスは、表面傾斜角が安息角に等しくなったときに停止します。 これら 2 つの角度の差 がバグノルド角であり、これは粒状物質のヒステリシスの尺度です。 この現象は力の連鎖によるものです。 粒状固体の応力は均一に分散されるのではなく、互いに重なり合う粒子のネットワークである、いわゆる力の連鎖に沿って伝導されます。これらの鎖の間には応力の低い領域があり、その粒子はアーチ状やアーチ状になることで、上の粒子の影響から保護されています。せん断応力が一定値に達すると、力の鎖は破断し、表面にある鎖の末端の粒子が滑り始めます。その後、せん断応力が臨界値を下回るまで新たな力の鎖が形成され、砂山は一定の安息角を維持します。^{[ 7 ]}${\displaystyle \theta_{m}}$ ${\displaystyle \theta_{r}}$ ${\displaystyle \Delta\theta =\theta_{m}-\theta_{r}}$

ヤンセン効果

1895年、H・A・ヤンセンは、粒子で満たされた垂直の円筒内において、円筒の底部で測定された圧力は、静水圧に関するステビンの法則に従う静止ニュートン流体とは異なり、充填物の高さに依存しないことを発見しました。ヤンセンは、以下の仮定に基づく簡略化されたモデルを提案しました

1. 垂直方向の圧力は水平面内では一定です。${\displaystyle \sigma _{zz}}$
2. 水平方向の圧力 は垂直方向の圧力 に比例します。ここで は空間内で一定です。${\displaystyle \sigma _{rr}}$ ${\displaystyle \sigma _{zz}}$ ${\displaystyle K={\frac {\sigma _{rr}}{\sigma _{zz}}}}$
3. 壁面摩擦静係数は、壁面との接触時に垂直荷重を支えます。${\displaystyle \mu ={\frac {\sigma _{rz}}{\sigma _{rr}}}}$
4. 物質の密度はすべての深さにわたって一定です。

粒状物質内の圧力は、飽和を考慮した別の法則で記述されます。

${\displaystyle p(z)=p_{\infty }[1-\exp(-z/\lambda )]}$ ,

ここで、は円筒の半径、はサイロの上部です ${\displaystyle \lambda ={\frac {R}{2\mu K}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z=0}$

与えられた圧力方程式は、粒子サイズとサイロの半径の比といった境界条件を考慮していない。材料の内部応力は測定できないため、ヤンセンの推測は直接的な実験によって検証されていない。

ロウ応力とダイラタンシーの関係

1960 年代初頭、エンジニアのピーター・ウォルター・ロウは、せん断試験におけるダイラタンシーがせん断強度に与える影響を研究し、それらの関係性を提唱しました。

2次元における単分散粒子集合体の機械的特性は、代表的基本体積と、それぞれ垂直方向および水平方向の典型的な長さ に基づいて解析できます。システムの幾何学的特性は、接触点が滑り始める角度を表す変数によって記述されます。主応力の方向である垂直方向を で、副主応力の方向である水平方向を で表します。 ${\displaystyle \ell_{1},\ell_{2}}$ ${\displaystyle \alpha =\arctan({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}})}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \sigma_{11}}$ ${\displaystyle \sigma_{22}}$

すると、境界面の応力は、個々の粒子が受ける集中力として表すことができます。均一な応力がかかる二軸荷重下では、したがって…となります。 ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}=0}$ ${\displaystyle F_{12}=F_{21}=0}$

平衡状態において：

${\displaystyle {\frac {F_{11}}{F_{22}}}={\frac {\sigma _{11}\ell _{2}}{\sigma _{22}\ell _{1}}}=\tan(\theta +\beta )}$ ,

ここで、摩擦角は、接触力と接触法線方向との間の角度です ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta _{\mu }}$ は、接線力が摩擦円錐内に収まる場合、粒子が静止したままでいられる角度を表します。これは摩擦係数によって決定されるため、 となります。系に応力が加わると、は変化せずに が徐々に増加します。 すると、粒子は滑り始め、その結果、系の構造が変化し、新たな力の連鎖が形成されます。 は、水平方向と垂直方向の変位がそれぞれ を満たすことを意味します。 ${\displaystyle \mu =tg\phi _{u}}$ ${\displaystyle \theta \leq \theta _{\mu }}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \theta \geq \theta _{\mu }}$ ${\displaystyle \Delta _{1},\Delta _{2}}$

${\displaystyle {\frac {\dot {\Delta _{2}}}{\dot {\Delta _{1}}}}={\frac {{\dot {\varepsilon _{22}}}\ell _{2}}{{\dot {\varepsilon _{11}}}\ell _{1}}}=-\tan \beta }$ 。

粒状気体

粒状物質が強く押し付けられ、粒子間の接触が非常にまれになると、物質は気体状態になります。これに対応して、熱力学温度に類似した、粒子速度変動の二乗平均平方根に等しい粒状温度を定義できます。従来の気体とは異なり、粒状物質は粒子間の衝突の散逸特性により、クラスター化して凝集する傾向があります。このクラスター化には興味深い結果がいくつか生じます。例えば、部分的に仕切られた粒状物質の箱を激しく振ると、粒子は従来の気体のように両方の区画に均等に広がるのではなく、時間の経過とともに一方の区画に集まる傾向があります。粒状マクスウェルの悪魔として知られるこの効果は、プロセス中にシステムからエネルギーが絶えず失われているため、熱力学の原理に違反しません

ウラムモデル

エネルギー を持つ粒子を考えます。単位時間あたり一定の速度で、エネルギー を持つ2つの粒子をランダムに選び、その和を計算します。次に、全エネルギーを2つの粒子にランダムに分配します。衝突後、最初の粒子のエネルギーが 、2番目の粒子のエネルギーが になるように、ランダムに を選びます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i},\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}}$ ${\displaystyle z\in \left[0,1\right]}$ ${\displaystyle z\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$ ${\displaystyle \left(1-z\right)\left(\varepsilon _{i}+\varepsilon _{j}\right)}$

確率的進化方程式：

${\displaystyle \varepsilon _{i}(t+dt)={\begin{cases}\varepsilon _{i}(t)&probability:\,1-\Gamma dt\\z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)&probability:\,\Gamma dt\end{cases}}}$ ,

は衝突率、は（一様分布）からランダムに選ばれ、jは同じく一様分布からランダムに選ばれたインデックスです。粒子あたりの平均エネルギーは： ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left[0,1\right]}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon (t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z\right\rangle \left(\left\langle \varepsilon _{i}\right\rangle +\left\langle \varepsilon _{j}\right\rangle \right)\\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{2}}\left(\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle +\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \right)\\&=\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle \end{aligned}}}$

第二モーメント：

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle &=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot \left\langle z^{2}\right\rangle \left\langle \varepsilon _{i}^{2}+2\varepsilon _{i}\varepsilon _{j}+\varepsilon _{j}^{2}\right\rangle \\&=\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +\Gamma dt\cdot {\dfrac {1}{3}}\left(2\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle +2\left\langle \varepsilon (t)\right\rangle ^{2}\right)\end{aligned}}}$ 。

第二モーメントの時間微分：

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=lim_{dt\rightarrow 0}{\dfrac {\left\langle \varepsilon ^{2}(t+dt)\right\rangle -\left\langle \varepsilon ^{2}(t)\right\rangle }{dt}}=-{\dfrac {\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle +{\dfrac {2\Gamma }{3}}\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$ 。

定常状態において：

${\displaystyle {\dfrac {d\left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle }{dt}}=0\Rightarrow \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}}$ 。

2次モーメントの微分方程式を解く：

${\displaystyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle -2\left\langle \varepsilon \right\rangle ^{2}=\left(\left\langle \varepsilon ^{2}(0)\right\rangle -2\left\langle \varepsilon (0)\right\rangle ^{2}\right)e^{-{\frac {\Gamma }{3}}t}}$ 。

しかし、モーメントを特徴付ける代わりに、モーメント母関数からエネルギー分布を解析的に解くことができます。ラプラス変換を考えてみましょう ：${\displaystyle g(\lambda )=\left\langle e^{-\lambda \varepsilon }\right\rangle =\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon }$

ここで、、および。 ${\displaystyle g(0)=1}$ ${\displaystyle {\dfrac {dg}{d\lambda }}=-\int _{0}^{\infty }\varepsilon e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =-\left\langle \varepsilon \right\rangle }$

n 階微分：

${\displaystyle {\dfrac {d^{n}g}{d\lambda ^{n}}}=\left(-1\right)^{n}\int _{0}^{\infty }\varepsilon ^{n}e^{-\lambda \varepsilon }\rho (\varepsilon )d\varepsilon =\left\langle \varepsilon ^{n}\right\rangle }$ ,

今：

${\displaystyle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t+dt)}={\begin{cases}e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}&1-\Gamma t\\e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}&\Gamma t\end{cases}}}$

${\displaystyle \left\langle e^{-\lambda \varepsilon \left(t+dt\right)}\right\rangle =\left(1-\Gamma dt\right)\left\langle e^{-\lambda \varepsilon _{i}(t)}\right\rangle +\Gamma dt\left\langle e^{-\lambda z\left(\varepsilon _{i}(t)+\varepsilon _{j}(t)\right)}\right\rangle }$

${\displaystyle g\left(\lambda ,t+dt\right)=\left(1-\Gamma dt\right)g\left(\lambda ,t\right)+\Gamma dt\int _{0}^{1}{\underset {=g^{2}(\lambda z,t)}{\underbrace {\left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{i}(t)}\right\rangle \left\langle e^{-\lambda z\varepsilon _{j}(t)}\right\rangle } }}dz}$ 。

変数変換を用いて解く： ${\displaystyle g(\lambda )}$ ${\displaystyle \delta =\lambda z}$

${\displaystyle \lambda g(\lambda )=\int _{0}^{\lambda }g^{2}(\delta )d\delta \Rightarrow \lambda g'(\lambda )+g(\lambda )=g^{2}(\lambda )\Rightarrow g(\lambda )={\dfrac {1}{\lambda T+1}}}$ 。

ラプラス変換を行って（ボルツマン分布）を示し、生成関数を計算します。 ${\displaystyle \rho (\varepsilon )={\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\dfrac {1}{T}}e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}\cdot e^{-\lambda \varepsilon }d\varepsilon ={\dfrac {1}{T}}\int _{0}^{\infty }e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }d\varepsilon =-{\dfrac {1}{T\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)}}e^{-\left(\lambda +{\frac {1}{T}}\right)\varepsilon }|_{0}^{\infty }={\dfrac {1}{\lambda T+1}}=g(\lambda )}$ 。

ジャミング遷移

粒状物質の排出中のジャミングは、アーチ形成（赤い球）によるものです

粒状システムはジャミングを示し、ジャミング転移を起こすことが知られています。ジャミング転移は、ジャム状態への熱力学的相転移と考えられています。^{[ 8 ]}転移は流体のような相から固体のような相へのもので、温度、体積分率、、およびせん断応力によって制御されます。ガラス転移の通常の状態図は 平面にあり、転移線によってジャム状態の領域とジャムされていない液体状態に分割されます。粒状物質の状態図は 平面にあり、臨界応力曲線によって状態相がジャム\非ジャム領域に分割され、それぞれ粒状固体\液体に対応します。等方的にジャムされた粒状システムでは、がある点の周りで減少すると、体積弾性率とせん断弾性率は 0 に近づきます。点は臨界体積分率 に対応します。点 までの距離、臨界体積分率を定義します。点付近の粒状システムの挙動は、経験的に2次遷移に似ていることがわかった。体積弾性率は、とともにスケーリングされたべき乗法則を示し、がゼロに近づくと、いくつかの発散特性長さが存在する。^{[ 7 ]}は無限システムでは一定であるが、有限システムでは境界効果により、ある範囲にわたって の分布が生じる。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \phi ^{-1}-T}$ ${\displaystyle \phi ^{-1}-\Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma (\phi )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Delta \phi \equiv \phi -\phi _{c}}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \Delta \phi }$ ${\displaystyle \Delta \phi }$ ${\displaystyle \phi _{c}}$ ${\displaystyle \phi _{c}}$

ルバチェフスキー・スティリンガーの妨害アルゴリズムは、妨害された粒状構造をシミュレートすることを可能にする。^{[ 9 ]}

パターン形成

励起された粒状物質は、パターン形成に富んだシステムです。粒状物質に見られるパターン形成挙動のいくつかは次のとおりです

• 振動と流動によって、異なる粒子が分離、あるいは分離すること。この例として、ミックスナッツの袋を振るとブラジルナッツが上部に浮かび上がる、いわゆる「ブラジルナッツ効果」^{[ 10 ]}が挙げられます。この効果は、振ると粒状物質（およびその他の物質）が円を描くように移動することから生じます。より大きな物質（ブラジルナッツなど）は円を下りる途中で引っ掛かり、上部に留まります。
• 振動する粒状層における構造化された表面またはバルクパターンの形成。^{[ 11 ]}これらのパターンには、縞模様、正方形、六角形などが含まれますが、これらに限定されません。これらのパターンは、オシロンと呼ばれる表面の基本励起によって形成されると考えられています。粒状材料における秩序立った体積構造の形成は粒状結晶化と呼ばれ、粒子のランダムな充填から六方最密充填や体心立方などの秩序立った充填への転移を伴います。これは、粒度分布が狭く、粒子形態が均一な粒状材料で最も一般的に観察されます。^{[ 11 ]}
• 砂紋、砂丘、砂層の形成

パターン形成挙動のいくつかは、コンピュータシミュレーションで再現することが可能である。^{[ 12 ] [ 13 ]}このようなシミュレーションには、時間ステップ法とイベント駆動法という2つの主な計算手法があり、前者は材料の密度が高く動きの強度が低い場合に最も効率的であり、後者は材料の密度が低く動きの強度が高い場合に最も効率的である。

音響効果

砂丘

「スクイーキービーチ」という名の砂浜のような砂浜の砂は、歩くとキーキーという音を立てます。砂漠の砂丘の中には、雪崩や表面が乱された際に轟音を発するものがあることが知られています。 サイロから排出される粒状物質は、サイロ・ホンキングと呼ばれるプロセスで大きな音響放射を発生させます

造粒

造粒とは、一次粉末粒子を付着させて、顆粒と呼ばれるより大きな多粒子の物体を形成する行為またはプロセスです

結晶

水やその他の液体を十分にゆっくり冷却すると、ランダムに配置された分子が再配置され、固体の結晶が出現して成長します。同様の結晶化プロセスが、ランダムに詰まった粒状物質でも発生する可能性があります。冷却によるエネルギーの除去とは異なり、粒状物質の結晶化は外部からの駆動によって達成されます。粒状物質の秩序化、つまり結晶化は、周期的に剪断された粒状物質や振動する粒状物質で発生することが観察されています。^{[ 11 ]}分子システムとは対照的に、個々の粒子の位置は実験で追跡できます。^{[ 14 ]}球状粒子のシステムのコンピューターシミュレーションにより、体積分率で均質な結晶化が発生することが明らかになっています。^{[ 15 ]}コンピューターシミュレーションでは、粒状結晶化に必要な最小限の要素が特定されています。特に、重力と摩擦は必要ありません。 ${\displaystyle \phi =0.646\pm 0.001}$

粒状材料の計算モデリング

粒状材料のモデリング にはいくつかの手法が利用可能である。これらの手法のほとんどは、点データまたは画像から得られる様々な統計特性を抽出し、それを用いて粒状媒体の確率モデルを生成する統計的手法である。こうした手法に関する最近の包括的なレビューは、Tahmasebiら（2017）に掲載されている。^{[ 16 ]}最近発表された粒状粒子パック構築のための別の代替手法は、レベルセットアルゴリズムに基づいており、これにより粒子の形態に関する抽出された統計値を通じて粒子の実際の形状を捉え、再現することができる。^{[ 17 ]}

関連項目

• 骨材（複合材）
• 脆い物質
• ランダムクローズパック
• 土壌の液状化
• 金属粉
• 微粒子
• ペースト（レオロジー）
• μ(I)レオロジー：粒状流のレオロジーの1つのモデル。
• ダイラタンシー（粒状物質）

参考文献

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外部リンク

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• メスター、L.、粒状材料の新しい物理力学理論。2009年、Homonnai、ISBN 978-963-8343-87-1
• Pareschi, L., Russo, G., Toscani, G., 『運動学的散逸システムのモデリングと数値解析』 Nova Science Publishers, New York, 2006年