重力ポテンシャル

古典力学において、重力ポテンシャルとは、空間の各点に、保存重力場における固定された基準点から物体をその点に移動させるために必要な単位質量あたりの仕事（伝達されるエネルギー）を関連付けるスカラーポテンシャルである。これは、質量が電荷の役割を果たす電位に類似している。ポテンシャルがゼロとなる基準点は、慣例的にあらゆる質量から無限に離れているため、有限距離において負のポテンシャルとなる。これらの類似性は、両方の関連場が保存力を持つことと相関している。

数学的には、重力ポテンシャルはニュートンポテンシャルとも呼ばれ、ポテンシャル理論の研究において基礎となる。また、均一に帯電または分極した楕円体によって生成される静電場および静磁場を解く際にも用いられる。[ 1 ]

位置エネルギー

ある場所における重力ポテンシャル（V ）は、その場所における単位質量あたりの 重力ポテンシャルエネルギー（U ）です。

V＝あなたメートル、{\displaystyle V={\frac {U}{m}},}

ここで、mは物体の質量です。位置エネルギーは、重力場が物体を無限遠から空間内の所定の位置に移動させる仕事に等しく（大きさは負ですが）、物体の質量が1キログラムの場合、その物体に割り当てられる位置エネルギーは重力位置エネルギーに等しくなります。したがって、位置エネルギーは、重力場が単位質量を無限遠から移動させる仕事の負の値として解釈できます。

状況によっては、位置からほぼ独立した場を仮定することで方程式を簡略化できます。例えば、地球の表面に近い領域では、重力加速度gは一定とみなすことができます。この場合、ある高さから別の高さへの位置エネルギーの差は、ほぼ正確には、高さの差に比例します。 Δあなた≈メートルグラムΔh。{\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}

数学的な形式

質量Mの質点から距離xにある重力ポテンシャルVは、単位質量を無限遠からその点まで運ぶために外部のエージェントが行う必要がある仕事Wとして定義できます。 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]

V（×）＝Wメートル＝1メートル∫∞×F（×′）⋅d×′＝1メートル∫∞×GメートルM×′2d×′＝−GM×、{\displaystyle V(\mathbf {x} )={\frac {W}{m}}={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}\mathbf {F} \left(\mathbf {x} '\right)\cdot d\mathbf {x} '={\frac {1}{m}}\int _{\infty }^{x}{\frac {GmM}{x'^{2}}}dx'=-{\frac {GM}{x}},} ここで、Gは重力定数、Fは重力の力です。積GMは標準的な重力パラメータであり、 GまたはMを個別に用いるよりも高い精度で知られていることがよくあります。ポテンシャルは質量あたりのエネルギーを単位とし、例えばMKS単位系ではJ/kgとなります。慣例により、定義されている場所では常に負の値をとり、xが無限大に近づくにつれて0に近づきます。

重力場、ひいては質量の大きい物体の周囲の空間における小物体の加速度は、重力ポテンシャルの 負の勾配である。したがって、負の勾配の負の値は、質量の大きい物体に向かう正の加速度を生み出す。ポテンシャルには角度成分がないため、その勾配は次のように表される。 ここで、 xは質量点から小物体に向かう長さxのベクトルであり、は質量点から小物体に向かう単位ベクトルである。したがって、加速度の大きさは反二乗則に従う。 1つの＝−GM×3×＝−GM×2×^、{\displaystyle \mathbf {a} =-{\frac {GM}{x^{3}}}\mathbf {x} =-{\frac {GM}{x^{2}}}{\hat {\mathbf {x} }},}×^{\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}}‖1つの‖＝GM×2。{\displaystyle \|\mathbf {a} \|={\frac {GM}{x^{2}}}.}

質量分布に関連するポテンシャルは、質点のポテンシャルの重ね合わせである。質量分布が有限個の質点の集合であり、質点が点x 1 , ..., x nに位置し、質量がm 1 , ..., m nである場合、点xにおける分布のポテンシャルは V（×）＝∑私＝1n−Gメートル私‖×−×私‖。{\displaystyle V(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}\|}}.}

点xとr。rは分布質量（灰色）に含まれ、微分質量dm ( r ) は点rに位置します。

質量分布が3次元ユークリッド空間R 3上の質量測度dmとして与えられている場合、ポテンシャルは− G /| r |とdmの畳み込みです。多くの場合、これは積分に等しくなります。 ここで| x − r |は点xとr間の距離です。rにおける分布の密度を表す関数ρ ( r )があり、dm ( r ) = ρ ( r ) dv ( r ) （ dv ( r ) はユークリッド体積要素）である場合、重力ポテンシャルは体積積分です。V（×）＝−∫R3G‖×−r‖dメートル（r）、{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,dm(\mathbf {r} ),}V（×）＝−∫R3G‖×−r‖ρ（r）dv（r）。{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\|\mathbf {x} -\mathbf {r} \|}}\,\rho (\mathbf {r} )dv(\mathbf {r} ).}

V が連続質量分布ρ ( r )から導かれるポテンシャル関数である場合、ρ はラプラス演算子Δを用いて復元できます。 これは、ρ が連続で、有界集合の外側ではゼロである場合には常に点ごとに成り立ちます。一般に、ラプラス演算子を分布の意味でとれば、質量測度dm も同様の方法で復元できます。結果として、重力ポテンシャルはポアソン方程式を満たします。3変数ラプラス方程式のグリーン関数とニュートンポテンシャルも参照してください。 ρ（×）＝14πGΔV（×）。{\displaystyle \rho (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi G}}\Delta V(\mathbf {x} ).}

対称楕円体や退化楕円体を含むあらゆる楕円体形状について、この積分は既知の超越関数を用いて表すことができます。[ 6 ]これらには、3つの半軸が等しい球面、2つの半軸が等しい扁平楕円体（楕円体参照）と長楕円体、1つの半軸が無限大の退化楕円体（楕円柱と円筒）、そして2つの半軸が無限大の無限シートが含まれます。これらの形状はすべて、重力ポテンシャル積分（定数G、ただし定数電荷密度𝜌は除く）の電磁気学への応用において広く用いられています。

球面対称性

球対称の質量分布は、分布の外側にいる観測者にとっては、質量の全てが中心に集中しているかのように振る舞い、殻定理により実質的に質点として振る舞います。地球表面では、加速度はいわゆる標準重力gによって与えられ、約9.8 m/s 2ですが、この値は緯度と高度によってわずかに変化します。地球は扁平回転楕円体であるため、加速度の大きさは赤道よりも極でわずかに大きくなります。

球対称の質量分布の下では、球座標系でポアソン方程式を解くことができる。半径R、密度ρ、質量mの均一球体内部の重力gは中心からの距離rに比例して変化し、球体内部の重力ポテンシャルは[ 7 ] [ 8 ] となり、 これは球体外部のポテンシャル関数と微分的に結びつく（上図参照）。 V（r）＝23πGρ[r2−3R2]＝Gメートル2R3[r2−3R2]、r≤R、{\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho \left[r^{2}-3R^{2}\right]={\frac {Gm}{2R^{3}}}\left[r^{2}-3R^{2}\right],\qquad r\leq R,}

一般相対性理論

一般相対論では、重力ポテンシャルは計量テンソルに置き換えられます。重力場が弱く、源が光速に比べて非常にゆっくりと移動している場合、一般相対論はニュートン力学の重力に帰着し、計量テンソルは重力ポテンシャルによって展開されます。[ 9 ]

多極展開

点xにおける電位は次のように与えられる。 V（×）＝−∫R3G|×−r| dメートル（r）。{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {x} -\mathbf {r} |}}\ dm(\mathbf {r} ).}

質量中心をベクトルxとrの原点とし、ポテンシャルが計算される点をベクトルxの先頭に置いた質量分布 (灰色) の図。

ポテンシャルは、一連のルジャンドル多項式で展開できます。点xとr を、質量中心に対する位置ベクトルとして表します。積分の分母は平方根として表され、次のようになります。 ここで、最後の積分では、r = | r |であり、θはxとrの間の角度です。 V（×）＝−∫R3G|×|2−2×⋅r+|r|2dメートル（r）＝−1|×|∫R3G1−2r|×|コス⁡θ+（r|×|）2dメートル（r）{\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {|\mathbf {x} |^{2}-2\mathbf {x} \cdot \mathbf {r} +|\mathbf {r} |^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {1}{|\mathbf {x} |}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {G}{\sqrt {1-2{\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}}}}\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}

( § 数学的形式を参照。) 積分関数は、係数を明示的に計算することにより、Z = r /| x |のテイラー級数として展開できます。同じ結果を得るためのより簡単な方法は、一般化二項定理を使用することです。[ 10 ]結果として得られる級数は、ルジャンドル多項式の 生成関数です。これは、 | X | ≤ 1かつ| Z | < 1 に有効です。係数P nは、次数nのルジャンドル多項式です。したがって、積分関数のテイラー係数は、X = cos θのルジャンドル多項式で与えられます。したがって、システムのすべての質量要素に対してr < | x |となるような位置xについて収束する級数にポテンシャルを展開できます(つまり、システムを囲む、質量中心を中心とする球の外側)。 積分は、質量中心のx方向の成分です。ベクトルx は質量中心から放射されるため、この成分は消えます。したがって、積分を和の符号の下に持ってくると、 （1−2XZ+Z2）−12 ＝∑n＝0∞ZnPn（X）{\displaystyle \left(1-2XZ+Z^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\ =\sum _{n=0}^{\infty }Z^{n}P_{n}(X)}V（×）＝−G|×|∫∑n＝0∞（r|×|）nPn（コス⁡θ）dメートル（r）＝−G|×|∫（1+（r|×|）コス⁡θ+（r|×|）23コス2⁡θ−12+⋯）dメートル（r）{\displaystyle {\begin{aligned}V(\mathbf {x} )&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{n}P_{n}(\cos \theta )\,dm(\mathbf {r} )\\&=-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left(1+\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)\cos \theta +\left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}+\cdots \right)\,dm(\mathbf {r} )\end{aligned}}}∫rcos⁡(θ)dm{\textstyle \int r\cos(\theta )\,dm}V(x)=−GM|x|−G|x|∫(r|x|)23cos2⁡θ−12dm(r)+⋯{\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {GM}{|\mathbf {x} |}}-{\frac {G}{|\mathbf {x} |}}\int \left({\frac {r}{|\mathbf {x} |}}\right)^{2}{\frac {3\cos ^{2}\theta -1}{2}}dm(\mathbf {r} )+\cdots }

これは、質量中心からの距離が同じ場合を比較すると、物体が伸長すると、球状の質量による電位と比較して、伸長方向の電位は低くなり、垂直方向の電位は高くなることを示しています。（表面からの距離が同じ場合を比較すると、その逆になります。）

単位と数値

重力ポテンシャルのSI単位は平方メートル毎秒（m 2 /s 2 ）、またはジュール毎キログラム（J/kg）です。地球、太陽、そして天の川銀河の質量に対する、様々な地点における重力ポテンシャルの絶対値は、以下の表に示されています。つまり、地球表面にある物体が地球の重力場から「脱出」するには60 MJ/kg 、太陽の重力場から「脱出」するにはさらに900 MJ/kg、天の川銀河の重力場から「脱出」するには130 GJ/kg以上の重力ポテンシャルが必要です。このポテンシャルは脱出速度の2乗の半分です。

位置 に関して
地球太陽天の川
地球の表面60 MJ/kg900 MJ/kg≥ 130 GJ/kg
レオ57 MJ/kg900 MJ/kg≥ 130 GJ/kg
ボイジャー1号（地球から170億km）23 J/kg8 MJ/kg≥ 130 GJ/kg
地球から0.1光年0.4 J/kg140 kJ/kg≥ 130 GJ/kg

これらの場所での重力を比較してください。

参照

注記

  1. ^ Solivérez, CE (2016).偏極楕円体の静電気学と静磁気学：偏極テンソル法（第1版）. 無料科学情報. ISBN 978-987-28304-0-3。
  2. ^マリオン, JB; ソーントン, ST (1995).粒子とシステムの古典力学（第4版）. ハーコート・ブレース・アンド・カンパニー. p  . 192. ISBN 0-03-097302-3。
  3. ^ Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2005). Mathematical Methods For Physicists International Student Edition (6th ed.). Academic Press . p. 72. ISBN 978-0-08-047069-6。
  4. ^サング, デイビッド; ジョーンズ, グラハム; チャダ, グリンダ; ウッドサイド, リチャード; スターク, ウィル; ギル, エイダン (2014).ケンブリッジ国際AS・Aレベル物理学コースブック（イラスト入り）.ケンブリッジ大学出版局. p. 276. ISBN 978-1-107-69769-0。
  5. ^マンカスター、ロジャー (1993). Aレベル物理学（イラスト入り）.ネルソン・ソーンズ. p. 106. ISBN 978-0-7487-1584-8。
  6. ^マクミラン、WD (1958). 『潜在能力の理論』ドーバー・プレス.
  7. ^ローリー、ウィリアム・ローリー（2011年）『地球物理学方程式の学生ガイド』ケンブリッジ大学出版局、p.69、ISBN 978-1-139-49924-8。68ページの抜粋
  8. ^サンチェス＝ラベガ、アグスティン (2011). 『惑星大気入門（イラスト入り）』CRC Press. p. 19. ISBN 978-1-4200-6735-4。19ページの抜粋
  9. ^ Grøn, Øyvind; Hervik, Sigbjorn (2007)、アインシュタインの一般相対性理論：宇宙論への現代的応用、Springer Science & Business Media、p. 201、ISBN 978-0-387-69200-5
  10. ^ Wylie, CR Jr. (1960). Advanced Engineering Mathematics (第2版). New York: McGraw-Hill . p. 454 [定理2、セクション10.8].

参考文献

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