大円
大円g (緑) は球の中心O (黒)を通る平面上にあります。中心を通る垂線a (紫) はgの軸と呼ばれ、球面との2つの交点PとP ' (赤) はgの極です。これらの極を通る大円s (青) はいずれもgの二次円です。
大円は球を 2 つの等しい半球に分割します。

数学において、大円または正円は、球とその中心点を通る平面と の交点である。[ 1 ] [ 2 ]

議論

大円の任意の弧は球面の測地線であるため、球面幾何学における大円は、ユークリッド空間における直線の自然な類似物です。球面上の異なる 2 つの点の任意のペアに対して、両方を通る唯一の大円が存在します。(任意の点を通るすべての大円はその対心点も通るため、2 つの対心点を通る大円は無数に存在します。) 球面上の異なる 2 点間の 2 つの大円弧のうち短い方は短弧と呼ばれ、2 点間の最短の表面経路です。その弧の長さは、2 点間の大円距離(球面上の固有距離) であり、 2 点と球の中心によって形成される 中心角の大きさに比例します。

大円とは、任意の球面上に描くことができる最大の円です。任意の大円の直径は球面の直径と一致するため、すべての大円は球面と同心円となり、同じ半径を共有します。球面上の他の円は小円と呼ばれ、球面と球面の中心を通らない平面との交点です。小円は、ユークリッド空間における円の球面幾何学における類似物です。

ユークリッド 3 次元空間内のすべての円は、ちょうど 1 つの球面の大円です。

大円で囲まれた円板は大円板と呼ばれます。これは球体とその中心を通る平面との交点です。高次元では、 n球面上の大円は、ユークリッド空間R n + 1において、 n球面と原点を通る2次元平面との交点です。

大円の半分は、大半円と呼ばれることもあります (たとえば、天文学における子午線の一部のように)。

最短経路の導出

大円の短弧が球面上の 2 点を結ぶ最短経路であることを証明するには、変分法を適用します。

ある点から別の点へのすべての正規経路のクラスを考えます。球座標を導入し、 が北極と一致するようにします。球面上の曲線のうち、端点を除いてどちらの極とも交わらないものは、次のように媒介変数化できます。 p{\displaystyle p}q{\displaystyle q}p{\displaystyle p}

θ＝θ（t）、ϕ＝ϕ（t）、1つの≤t≤b{\displaystyle \theta =\theta (t),\quad \phi =\phi (t),\quad a\leq t\leq b}

与えられた値は任意の実数値を取ることができる。これらの座標における無限小弧の長さは ϕ{\displaystyle \phi }

ds＝rθ′2+ϕ′2罪2⁡θdt。{\displaystyle ds=r{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}

したがって、からまでの曲線の長さは、次式で与えられる曲線の 関数である。γ{\displaystyle \gamma}p{\displaystyle p}q{\displaystyle q}

S[γ]＝r∫1つのbθ′2+ϕ′2罪2⁡θdt。{\displaystyle S[\gamma ]=r\int _{a}^{b}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}\,dt.}

オイラー・ラグランジュ方程式によれば、が最小化されるのは、 S[γ]{\displaystyle S[\gamma ]}

罪2⁡θϕ′θ′2+ϕ′2罪2⁡θ＝C{\displaystyle {\frac {\sin ^{2}\theta \phi '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}=C}、

ここでは-独立な定数であり、 C{\displaystyle C}t{\displaystyle t}

罪⁡θコス⁡θϕ′2θ′2+ϕ′2罪2⁡θ＝ddtθ′θ′2+ϕ′2罪2⁡θ。{\displaystyle {\frac {\sin \theta \cos \theta \phi '^{2}}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\theta '}{\sqrt {\theta '^{2}+\phi '^{2}\sin ^{2}\シータ }}}.}

これら2つの最初の式から、

ϕ′＝Cθ′罪⁡θ罪2⁡θ−C2{\displaystyle \phi '={\frac {C\theta '}{\sin \theta {\sqrt {\sin ^{2}\theta -C^{2}}}}}}。

両辺を積分し、境界条件を考慮すると、 の実数解はゼロとなる。したがって、と は0から の間の任意の値を取り得ることから、曲線は球面の子午線上になければならないことがわかる。直交座標系では、これは C{\displaystyle C}ϕ′＝0{\displaystyle \phi '=0}θ{\displaystyle \theta}θ0{\displaystyle \theta _{0}}

×罪⁡ϕ0−yコス⁡ϕ0＝0{\displaystyle x\sin \phi _{0}-y\cos \phi _{0}=0}

これは原点、つまり球の中心を通る平面です。

アプリケーション

天球上の大円の例としては、天の地平線、天の赤道、黄道などが挙げられます。また、大円は、地球表面の測地線（完全な球体ではありませんが）のかなり正確な近似値として、航空航行や海上航行、さらには回転楕円体天体においても用いられます。

理想的な地球の赤道は大円であり、任意の子午線とその反対子午線は大円を形成します。もう一つの大円は、陸半球と水半球を分ける大円です。大円は地球を二つの半球に分け、大円が点を通過する場合、必ずその対蹠点も通過します。

ファンク変換は、球面上のすべての大円に沿って関数を積分します。

参照

参考文献

  1. ^ W., Weisstein, Eric. 「Great Circle -- from Wolfram MathWorld」 . mathworld.wolfram.com . 2022年9月30日閲覧。{{cite web}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
  2. ^ Weintrit, Adam; Kopcz, Piotr (2014).航法における航程線（等角線）、正円線（大円線）、大楕円線、測地線（測地線）。米国: CRC Press, Inc. ISBN 978-1-138-00004-9。
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