グリフィスの不等式

統計力学において、グリフィス不等式（グリフィス・ケリー・シャーマン不等式、あるいはGKS不等式とも呼ばれ、ロバート・B・グリフィスにちなんで名付けられた）は、強磁性スピン系における相関不等式である。非公式には、強磁性スピン系において、スピンの「事前分布」がスピン反転に対して不変であれば、スピンの任意の単項式の相関は非負であり、スピンの2つの単項式の2点相関も非負であることを意味する。

この不等式は、二体相互作用のあるイジング強磁性体に対してグリフィスによって証明され、^[1]その後ケリーとシャーマンによって任意の数のスピンを含む相互作用に一般化され、^[2]さらにグリフィスによって任意のスピンを持つ系に一般化されました。^{[3]より一般的な定式化は}ジニブレによって示され、^[4]現在ではジニブレ不等式と呼ばれています。

定義

Λ格子上の（連続または離散）スピン配置を とします。A ⊂ Λ が格子点のリスト（重複を含む場合もある）である場合 、はA内の スピンの積とします。 ${\displaystyle \textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }}$ ${\displaystyle \textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}}$

スピンに事前測度dμ(σ)を割り当てる。Hを次の形のエネルギー関数とする。

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,}$

ここで、和はサイトAのリスト全体にわたっており、

${\displaystyle Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

を分割関数とする。いつものように、

${\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }f(\sigma )e^{-H(\sigma )}}$

アンサンブル平均を表します。

任意のサイトAのリストに対して、J _A ≥ 0を満たすとき、系は強磁性体と呼ばれる。Λ内の任意のjに対して、測度μが符号反転写像σ → τの下で保存されるとき、系はスピン反転に対して不変体と呼ばれる。ここで、

${\displaystyle \tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}}$

不等式の記述

最初のグリフィス不等式

スピン反転に対して不変である強磁性スピン系では、

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle \geq 0}$

任意のスピンリストAの場合。

第2グリフィス不等式

スピン反転に対して不変である強磁性スピン系では、

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle }$

スピンAとBの任意のリストの場合。

最初の不等式は2番目の不等式の特殊なケースであり、B = ∅ に対応します。

証拠

パーティション関数は定義により非負であることに注意してください。

第一不等式の証明：展開

${\displaystyle e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}}$

ここでn _A (j)はAにおけるjの出現回数を表す。スピン反転に対する不変性により、

${\displaystyle \int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0}$

少なくとも1つのn(j)が奇数であり、かつnが偶数の場合に同じ式が明らかに非負であるとき、Z < σ _A >≥0となり、したがって< σ _A >≥0となる。

第二不等式 の証明。第二グリフィス不等式では、確率変数 を2倍、つまり の分布と同じ分布を持つ スピンの2番目のコピー を考える 。すると、 ${\displaystyle \sigma '}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.}$

新しい変数を導入する

${\displaystyle \sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.}$

二重システムは、正の係数を持つ 多項式であるため、強磁性である。${\displaystyle \langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle }$ ${\displaystyle \tau ,\tau '}$ ${\displaystyle -H(\sigma )-H(\sigma ')}$ ${\displaystyle \tau ,\tau '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}}$

さらに、上の測度はスピン反転に対して不変である。なぜなら、はであるからである。最後に、単項式は、正の係数を持つ 多項式である。${\displaystyle \tau ,\tau '}$ ${\displaystyle d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')}$ ${\displaystyle \sigma _{A}}$ ${\displaystyle \sigma _{B}-\sigma '_{B}}$ ${\displaystyle \tau ,\tau '}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}}$

最初のグリフィス不等式を適用すると、次のような結果が得られます。 ${\displaystyle \langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle }$

詳細は^[5]と^{[6]をご覧ください。}

拡張：ジニブレ不等式

ジニブレ不等式はジャン・ジニブレ^[4]によって発見されたグリフィス不等式の 拡張である。

処方

(Γ,  μ ) を確率空間とする。Γ上の 関数f ,  hに対して、

${\displaystyle \langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

AをΓ上の実関数の集合とし、Aの任意のf ₁ , f ₂ ,..., f _nに対して、また任意の符号±に対して、

${\displaystyle \iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.}$

そして、Aによって生成される凸錐内の任意のf、g、−hに対して、

${\displaystyle \langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.}$

証拠

させて

${\displaystyle Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).}$

それから

${\displaystyle {\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}}$

不等式は仮定と恒等式から導かれる。

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).}$

例

• （第二）グリフィス不等式を復元するには、Γ = {−1, +1} ^Λとする。ここで、Λ は格子であり、μ はΓ 上の符号反転不変な測度とする。正係数多項式の錐A は、ジニブレ不等式の仮定を満たす。
• (Γ,  μ ) はハール測度を持つ可換 コンパクト群であり、Aは Γ 上の実正定値関数の錐である。
• Γ は全順序集合、Aは Γ 上の実正非減少関数の錐である。これによりチェビシェフの和不等式が得られる。半順序集合への拡張については、FKG不等式 を参照のこと。

アプリケーション

• 強磁性イジングモデル（非負の外部磁場hと自由境界条件を持つ）の相関の熱力学的限界が存在します。

これは、体積を増やすことは、ある部分集合Bに対して新たな結合J _Bをオンにすることと同じであるためである。グリフィスの第二不等式により、

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0}$

したがって、 体積とともに単調に増加し、1 で制限されるため収束します。${\displaystyle \langle \sigma _{A}\rangle }$

• 相互作用を持つ 1 次元の強磁性イジング モデルは、次の場合に相転移を示します。${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle 1<\alpha <2}$

この特性は、いくつかの相互作用が欠如している点で完全なモデルとは異なる階層的な近似で示すことができる。上記のように第2グリフィス不等式を用いて議論すると、結果は完全なモデルに引き継がれる。^[7]

• ジニブレ不等式は、2次元古典XY模型の自由エネルギーとスピン相関の熱力学的極限の存在を規定する。^[4]さらに、ジニブレ不等式を通して、クンツとフィスターは、相互作用のある強磁性XY模型で相転移が存在することを証明した。${\displaystyle J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }}$ ${\displaystyle 2<\alpha <4}$
• アイゼンマンとサイモン^[8]は、ジニブレ不等式を用いて、次元、結合、逆温度における強磁性古典XYモデルの2点スピン相関が、次元、結合、逆温度における強磁性イジングモデルの2点相関によって支配される（すなわち、上限が与えられる）ことを証明した。${\displaystyle D}$ ${\displaystyle J>0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle J>0}$ ${\displaystyle \beta /2}$

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }}$

したがって、 XYモデルの臨界値はイジングモデルの 臨界値の2倍より小さくなることはできない。${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;}$

次元D = 2、結合J = 1の場合、

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.}$

• クーロン気体に対するジニブレ不等式の別のバージョンが存在し、相関の熱力学的極限の存在を示唆している。^[9]
• その他の応用（スピン系における相転移、XYモデル、XYZ量子鎖）については^{[10]でレビューされている。}

参考文献

1. Griffiths, RB (1967). 「イジング強磁性体の相関 I」. J. Math. Phys . 8 (3): 478– 483. Bibcode :1967JMP.....8..478G. doi :10.1063/1.1705219.
2. Kelly, DJ; Sherman, S. (1968). 「イジング強磁性体における相関に​​関する一般グリフィス不等式」. J. Math. Phys . 9 (3): 466– 484. Bibcode :1968JMP.....9..466K. doi :10.1063/1.1664600.
3. Griffiths, RB (1969). 「任意スピンのイジング強磁性体に関する厳密な結果」. J. Math. Phys . 10 (9): 1559– 1565. Bibcode :1969JMP....10.1559G. doi :10.1063/1.1665005.
4. Ginibre, J. (1970). 「グリフィス不等式の一般的な定式化」. Comm. Math. Phys . 16 (4): 310– 328. Bibcode :1970CMaPh..16..310G. doi :10.1007/BF01646537. S2CID  120649586.
5. Glimm, J. ; Jaffe, A. (1987).量子物理学. 関数積分的視点. ニューヨーク: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96476-2。
6. Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). 格子システムの統計力学：具体的な数学的入門. ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 9781107184824。
7. Dyson, FJ (1969). 「1次元イジング強磁性体における相転移の存在」. Comm. Math. Phys . 12 (2): 91– 107. Bibcode :1969CMaPh..12...91D. doi :10.1007/BF01645907. S2CID  122117175.
8. Aizenman, M. ; Simon, B. (1980). 「平面回転子とイジングモデルの比較」. Phys. Lett. A. 76 ( 3– 4 ): 281– 282. Bibcode :1980PhLA...76..281A. doi :10.1016/0375-9601(80)90493-4.
9. Fröhlich, J. ; Park, YM (1978). 「相関不等式と古典系および量子連続系の熱力学的極限」. Comm. Math. Phys . 59 (3): 235– 266. Bibcode :1978CMaPh..59..235F. doi :10.1007/BF01611505. S2CID  119758048.
10. Griffiths, RB (1972). 「厳密な結果と定理」. C. DombおよびM.S.Green編. 『相転移と臨界現象』第1巻. ニューヨーク: Academic Press. p. 7.