グロタンディークの痕跡公式

代数幾何学において、グロタンディークの跡公式は、有限体上の多様体の点の数を、そのコホモロジー群上のフロベニウス自己準同型の跡を用いて表す。いくつかの一般化が存在する。フロベニウス自己準同型は、より一般的な自己準同型に置き換えることができ、その場合、有限体上の点はその不動点に置き換えられる。また、多様体上の層に対するより一般的なバージョンもあり、その場合、コホモロジー群は、層に係数を持つコホモロジーに置き換えられる。

グロタンディークの跡公式は、代数位相幾何学におけるレフシェッツの不動点定理の代数幾何学における類似物である。

グロタンディークのトレース公式の応用の一つは、有限体上の多様体のゼータ関数、あるいはより一般的には層のL級数を、コホモロジー群上のフロベニウスのトレースの和として表すことである。これは、ヴェイユ予想の証明において用いられるステップの一つである。

ベーレンドのトレース公式は、この公式を代数スタックに一般化します。

正式な声明L-関数

k を有限体、l をkにおいて可逆な素数、Xをn次元の滑らかなk -スキーム、X上に構成可能な-層とします。このとき、のL -関数に対する次のコホモロジー表現が成り立ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle L(X,{\mathcal {F}},t)=\prod _{i=0}^{2n}\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))^{(-1)^{i+1}}={\frac {\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n-1}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}{\det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{0}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))\cdots \det(1-t\cdot F\,\,|\,\,H_{c}^{2n}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}}$

ここで、Fは、層 のコンパクト台を持つl進コホモロジー上の幾何学的フロベニウス作用である。両方の形式的冪級数の対数微分をとると、基本体kの各有限体拡大Eのトレースの和に関する記述が得られる。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \sum _{x\in X(E)}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,{\mathcal {F}}_{x})=\sum _{i=0}^{2n}(-1)^{i}\operatorname {tr} (F_{E}\,\,|\,\,H_{c}^{i}(X_{\bar {k}},{\mathcal {F}}))}$

定数層 （l進層として適格と見なされる）の場合、この式の左側はXのE点の数です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{l}}$ ${\displaystyle (\varprojlim \mathbb {Z} /l^{n}\mathbb {Z} )\otime \mathbb {Q} }$

参考文献

• ドリーニュ、ピエール(1977)。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale - (SGA 4 1/2)。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 569.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。土井：10.1007/BFb0091516。ISBN 978-3-540-08066-4。
• グロタンディーク、アレクサンダー(1977)。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1965-66 - Cohomologie l-adique et Fonctions L - (SGA 5)。数学の講義ノート (フランス語)。 Vol. 589.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。土井：10.1007/BFb0096802。ISBN 3-540-08248-4。
• フライタグ、エバーハルト。Kiehl、Reinhardt (1988)、Étale コホモロジーと Weil 予想、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 13、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-12175-6、MR  0926276