グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理
Result in algebraic geometry
グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理
グロタンディークのグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理に関するコメント
分野代数幾何学
最初の証明アレクサンダー・グロタンディーク
最初の校正1957
一般化アティヤ・シンガー指数定理
結果ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理
曲面のリーマン・ロッホの定理 リーマン
・ロッホの定理

数学、特に代数幾何学において、グロタンディーク＝リーマン＝ロッホの定理は、コヒーレントコホモロジーに関する広範な結果である。これは複素多様体に関するヒルツェブルッフ＝リーマン＝ロッホの定理の一般化であり、ヒルツェブルッフ＝リーマン＝ロッホの定理自体は、コンパクトリーマン面上の直線束に関する古典的なリーマン＝ロッホの定理の一般化である。

リーマン・ロッホ型の定理は、ベクトル束のコホモロジーのオイラー特性をその位相次数、あるいはより一般的には（コ）ホモロジーにおける特性類、あるいはその代数的類似物と関連付けるものである。古典的なリーマン・ロッホの定理は曲線と線束についてこれを行なうのに対し、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理はこれを多様体上のベクトル束に一般化する。グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、両定理を2つの多様体（あるいはより一般的なスキーム）間の射の相対的な状況に設定し、定理を単一の束に関する定理から層の連鎖複体に適用される定理へと変更する。

この定理は、アティヤ・シンガーの指数定理の発展に大きく貢献した。逆に、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理の複素解析的類似は、族の指数定理を用いて証明することができる。アレクサンダー・グロタンディークは1957年の原稿で最初の証明を与え、後に出版された[1] 。 アルマン・ボレルとジャン＝ピエール・セールは1958年にグロタンディークの証明を書き上げ出版した[ 2]。その後、グロタンディークとその共同研究者は証明を簡略化し一般化した[3] 。

処方

X を体上の滑らかな 準射影スキームとする。これらの仮定の下で、連接層の有界複体のグロタンディーク群は、有限階数ベクトル束の有界複体のグロタンディーク群と標準同型である。この同型を用いて、チャーン類の有理的結合であるチャーン指標を関数変換として考える。 K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)}

c h : K 0 ( X ) → A ( X , Q ) , {\displaystyle \mathrm {ch} \colon K_{0}(X)\to A(X,\mathbb {Q} ),}

ここで、 は有理数同値 を法とする次元dのX上の閉路のChow 群であり、有理数でテンソル化されている。Xが複素数上で定義されている場合、後者の群は位相コホモロジー群に写像される。 A d ( X , Q ) {\displaystyle A_{d}(X,\mathbb {Q} )}

H 2 dim ⁡ ( X ) − 2 d ( X , Q ) . {\displaystyle H^{2\dim(X)-2d}(X,\mathbb {Q} ).}

ここで、滑らかな準 射影スキームと、 f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} F ∙ {\displaystyle {{\mathcal {F}}^{\bullet }}} X . {\displaystyle X.}

グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、プッシュフォワード写像と

f ! = ∑ ( − 1 ) i R i f ∗ : K 0 ( X ) → K 0 ( Y ) {\displaystyle f_{!}=\sum (-1)^{i}R^{i}f_{*}\colon K_{0}(X)\to K_{0}(Y)}

（高次の直接像の交代和）とプッシュフォワード

f ∗ : A ( X ) → A ( Y ) , {\displaystyle f_{*}\colon A(X)\to A(Y),}

式によって

ch ( f ! F ∙ ) t d ( Y ) = f ∗ ( ch ( F ∙ ) t d ( X ) ) 。 {\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (Y)=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (X)).}

これはX（の接束）のトッド種数である。したがって、この定理は、上記の意味での押し進めの可換性の欠如とチャーン指標に対する正確な尺度を与え、必要な補正係数がXとYのみに依存することを示す。実際、トッド種数は正確な列において関数的かつ乗法的であるため、グロタンディーク・リーマン・ロッホの公式は次のように書き直すことができる。 t d ( X ) {\displaystyle \mathrm {td} (X)}

c h ( f ! F ∙ ) = f ∗ ( c h ( F ∙ ) t d ( T f ) ) , {\displaystyle \mathrm {ch} (f_{!}{\mathcal {F}}^{\bullet })=f_{*}(\mathrm {ch} ({\mathcal {F}}^{\bullet })\mathrm {td} (T_{f})),}

ここで、 はfの相対接線層であり、の元として定義されます。たとえば、f が滑らかな射である場合、は単なるベクトル束であり、 fのファイバーに沿った接線束と呼ばれます。 T f {\displaystyle T_{f}} T X − f ∗ ( T Y ) {\displaystyle TX-f^{*}(TY)} K 0 ( X ) {\displaystyle K_{0}(X)} T f {\displaystyle T_{f}}

A 1 -ホモトピー理論を使用して、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理は、Navarro & Navarro (2017) によって、 f が2 つの滑らかなスキーム間の適切な写像である状況にまで拡張されました。

一般化と専門化

定理の一般化は、組み合わせの適切な一般化を考慮することによって滑らかでないケースに行うことができ、コンパクトサポートを持つコホモロジーを考慮することによって適切でないケースに行うことができます。 c h ( − ) t d ( X ) {\displaystyle \mathrm {ch} (-)\mathrm {td} (X)}

算術リーマン・ロッホの定理は、グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理を算術スキームに拡張します。

ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理は、（本質的には） Yが点であり、体が複素数体である 場合の特殊なケースです。

リーマン・ロッホ定理の有向コホモロジー理論に対する版は、イヴァン・パニンとアレクサンダー・スミルノフによって証明された。[4]これは、代数的有向コホモロジー理論（例えば代数的コボルディズム）間の乗法演算に関するものである。グロタンディーク・リーマン・ロッホ定理はこの結果の特殊な例であり、この設定ではチャーン指標が自然に現れる。[5]

例

曲線上のベクトル束

体上の滑らかな射影曲線上の階数と次数（行列式の次数、あるいはそれと同義の第一チャーン類の次数として定義される）のベクトル束は、直線束に対するリーマン・ロッホの公式に類似する公式を持つ。と点を取ると、グロタンディーク・リーマン・ロッホの公式は次のように読み取ることができる。 E → C {\displaystyle E\to C} n {\displaystyle n} d {\displaystyle d} k {\displaystyle k} X = C {\displaystyle X=C} Y = { ∗ } {\displaystyle Y=\{*\}}

c h ( f ! E ) = h 0 ( C , E ) − h 1 ( C , E ) f ∗ ( c h ( E ) t d ( X ) ) = f ∗ ( ( n + c 1 ( E ) ) ( 1 + ( 1 / 2 ) c 1 ( T C ) ) ) = f ∗ ( n + c 1 ( E ) + ( n / 2 ) c 1 ( T C ) ) = f ∗ ( c 1 ( E ) + ( n / 2 ) c 1 ( T C ) ) = d + n ( 1 − g ) ; {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ch} (f_{!}E)&=h^{0}(C,E)-h^{1}(C,E)\\f_{*}(\mathrm {ch} (E)\mathrm {td} (X))&=f_{*}((n+c_{1}(E))(1+(1/2)c_{1}(T_{C})))\\&=f_{*}(n+c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=f_{*}(c_{1}(E)+(n/2)c_{1}(T_{C}))\\&=d+n(1-g);\end{aligned}}}

したがって、

χ ( C , E ) = d + n ( 1 − g ) . {\displaystyle \chi (C,E)=d+n(1-g).} [6]

この式は、階数と次数の連接層にも当てはまります。 n {\displaystyle n} d {\displaystyle d}

滑らかな適切な地図

グロタンディーク・リーマン・ロッホ公式の利点の一つは、ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホ公式の相対版として解釈できることである。例えば、滑らかな射影には、すべて等次元の（そして を に変化させたときに位相空間として同型な）ファイバーが存在する。この事実は、モジュライ理論において、滑らかな固有空間をパラメータ化するモジュライ空間を考える際に有用である。例えば、デイヴィッド・マンフォードはこの公式を用いて、代数曲線 のモジュライ空間上のチャウ環の関係を導出した。[7] f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y} C {\displaystyle \mathbb {C} } M {\displaystyle {\mathcal {M}}}

曲線の係数

種数曲線のモジュライスタック（マークされた点がない）に対して、種数とマークされた点を持つ曲線のモジュライスタックである普遍曲線が存在する。そして、彼はトートロジー類を定義する。 g {\displaystyle g} M ¯ g {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} π : C ¯ g → M ¯ g {\displaystyle \pi \colon {\overline {\mathcal {C}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} C ¯ g = M ¯ g , 1 {\displaystyle {\overline {\mathcal {C}}}_{g}={\overline {\mathcal {M}}}_{g,1}} g {\displaystyle g}

K C ¯ g / M ¯ g = c 1 ( ω C ¯ g / M ¯ g ) κ l = π ∗ ( K C ¯ g / M ¯ g l + 1 ) E = π ∗ ( ω C ¯ g / M ¯ g ) λ l = c l ( E ) {\displaystyle {\begin{aligned}K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}&=c_{1}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\kappa _{l}&=\pi _{*}(K_{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}^{l+1})\\\mathbb {E} &=\pi _{*}(\omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}})\\\lambda _{l}&=c_{l}(\mathbb {E} )\end{aligned}}}

ここで、 とは相対双対層である。 の点上の繊維に注目すると、これは双対層 である。彼は と の関係を見つけ、 を[7] (系6.2) の和で表すことで滑らかな軌跡 のチャウリング 上のグロタンディーク・リーマン・ロッホ の手法で記述することができた。 は滑らかなドリーニュ・マンフォードのスタックであるため、彼はある有限群 に対してとなるスキームによる被覆を考えた。彼は に対してグロタンディーク・リーマン・ロッホ を用いて、 1 ≤ l ≤ g {\displaystyle 1\leq l\leq g} ω C ¯ g / M ¯ g {\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}} ω C ¯ g / M ¯ g {\displaystyle \omega _{{\overline {\mathcal {C}}}_{g}/{\overline {\mathcal {M}}}_{g}}} [ C ] ∈ M ¯ g {\displaystyle [C]\in {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} ω C {\displaystyle \omega _{C}} λ i {\displaystyle \lambda _{i}} κ i {\displaystyle \kappa _{i}} λ i {\displaystyle \lambda _{i}} κ i {\displaystyle \kappa _{i}} A ∗ ( M g ) {\displaystyle A^{*}({\mathcal {M}}_{g})} M ¯ g {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} M ~ g → M ¯ g {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}_{g}\to {\overline {\mathcal {M}}}_{g}} M ¯ g = [ M ~ g / G ] {\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g}=[{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}/G]} G {\displaystyle G} ω C ~ g / M ~ g {\displaystyle \omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}}

c h ( π ! ( ω C ~ / M ~ ) ) = π ∗ ( c h ( ω C ~ / M ~ ) T d ∨ ( Ω C ~ / M ~ 1 ) ) {\displaystyle \mathrm {ch} (\pi _{!}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}))=\pi _{*}(\mathrm {ch} (\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}})\mathrm {Td} ^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1}))}

なぜなら

R 1 π ! ( ω C ~ g / M ~ g ) ≅ O M ~ , {\displaystyle \mathbf {R} ^{1}\pi _{!}({\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}_{g}/{\tilde {\mathcal {M}}}_{g}}})\cong {\mathcal {O}}_{\tilde {M}},}

この式は次のようになる

c h ( E ) = 1 + π ∗ ( ch ( ω C ~ / M ~ ) Td ∨ ( Ω C ~ / M ~ 1 ) ) . {\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )=1+\pi _{*}({\text{ch}}(\omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}){\text{Td}}^{\vee }(\Omega _{{\tilde {\mathcal {C}}}/{\tilde {\mathcal {M}}}}^{1})).}

の計算はさらに削減できる。偶数次元では、 c h ( E ) {\displaystyle \mathrm {ch} (\mathbb {E} )} 2 k {\displaystyle 2k}

ch ( E ) 2 k = 0. {\displaystyle {\text{ch}}(\mathbb {E} )_{2k}=0.}

また、次元1では、

λ 1 = c 1 ( E ) = 1 12 ( κ 1 + δ ) , {\displaystyle \lambda _{1}=c_{1}(\mathbb {E} )={\frac {1}{12}}(\kappa _{1}+\delta ),}

ここで、は境界上のクラスである。そして滑らかな軌跡の場合、以下の関係が成り立つ。 δ {\displaystyle \delta } g = 2 {\displaystyle g=2} M g {\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}

λ 1 = 1 12 κ 1 λ 2 = λ 1 2 2 = κ 1 2 288 {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}&={\frac {1}{12}}\kappa _{1}\\\lambda _{2}&={\frac {\lambda _{1}^{2}}{2}}={\frac {\kappa _{1}^{2}}{288}}\end{aligned}}}

これは、 の Chern 特性を解析することによって推測できます。 E {\displaystyle \mathbb {E} }

閉じた埋め込み

閉じた埋め込みはグロタンディーク・リーマン・ロッホの公式を用いた記述も可能であり、この公式が成り立つ別の非自明なケースを示している。[8]次元の滑らかな多様体と余次元の部分多様体に対して、次の公式が成り立つ。 f : Y → X {\displaystyle f\colon Y\to X} X {\displaystyle X} n {\displaystyle n} Y {\displaystyle Y} k {\displaystyle k}

c k ( O Y ) = ( − 1 ) k − 1 ( k − 1 ) ! [ Y ] {\displaystyle c_{k}({\mathcal {O}}_{Y})=(-1)^{k-1}(k-1)![Y]}

短完全列の使用

0 → I Y → O X → O Y → 0 {\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Y}\to 0} 、

公式がある

c k ( I Y ) = ( − 1 ) k ( k − 1 ) ! [ Y ] {\displaystyle c_{k}({\mathcal {I}}_{Y})=(-1)^{k}(k-1)![Y]}

理想束についてはである。 1 = c ( O X ) = c ( O Y ) c ( I Y ) {\displaystyle 1=c({\mathcal {O}}_{X})=c({\mathcal {O}}_{Y})c({\mathcal {I}}_{Y})}

アプリケーション

モジュライ空間の準射影性

グロタンディーク・リーマン・ロッホは、尖った代数曲線のモジュライ空間のような粗いモジュライ空間が射影空間への埋め込みを許容し、したがって準射影多様体であることを証明するのに用いることができる。これは、上の標準的に付随する層を調べ、付随する直線束の次数を調べることで達成できる。例えば、[9]は曲線の族を持つ。 M {\displaystyle M} M g , n {\displaystyle M_{g,n}} M {\displaystyle M} M g , n {\displaystyle M_{g,n}}

π : C g , n → M g , n {\displaystyle \pi \colon C_{g,n}\to M_{g,n}}

セクション付き

s i : M g , n → C g , n {\displaystyle s_{i}\colon M_{g,n}\to C_{g,n}}

マークされた点に対応する。各ファイバーは標準束を持つので、関連する直線束とが存在 する 。 ω C {\displaystyle \omega _{C}} Λ g , n ( π ) = det ( R π ∗ ( ω C g , n / M g , n ) ) {\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )=\det(\mathbf {R} \pi _{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}))} χ g , n ( i ) = s i ∗ ( ω C g , n / M g , n ) . {\displaystyle \chi _{g,n}^{(i)}=s_{i}^{*}(\omega _{C_{g,n}/M_{g,n}}).}

Λ g , n ( π ) ⊗ ( ⨂ i = 1 n χ g , n ( i ) ) {\displaystyle \Lambda _{g,n}(\pi )\otimes \left(\bigotimes _{i=1}^{n}\chi _{g,n}^{(i)}\right)}

は十分な線束[9] pg 209であるため、粗いモジュライ空間は準射影的である。 M g , n {\displaystyle M_{g,n}}

歴史

アレクサンダー・グロタンディークによるリーマン・ロッホ定理の解釈は、 1956年から1957年頃にジャン＝ピエール・セールに宛てた手紙の中で初めて伝えられました。そして、1957年の最初のボン・ワークショップで公表されました。その後、セールとアルマン・ボレルはプリンストン大学でセミナーを開催し、この定理の理解を深めました。最終的に発表された論文は、事実上ボレル＝セールの解説でした。

グロタンディークのアプローチの重要性はいくつかの点に帰結する。まず、グロタンディークは定理の主張自体を変えた。当時、定理は多様体に関する定理として理解されていたが、グロタンディークはそれを多様体間の射に関する定理と捉えた。適切な一般化を見出すことで、証明はより単純になり、結論はより一般化された。つまり、グロタンディークは難解な解析に強力な圏論的アプローチを適用したのだ。さらに、グロタンディークは前述のようにK群を導入し、代数的K理論への道を開いた。

参照

注記

  1. ^ A. グロタンディーク。リーマン・ロックの技術と理論のクラス (1957)。 SGA 6、Springer-Verlag (1971)、20-71 に掲載。
  2. ^ アルマンド・ボレル;ジャン・ピエール・セール（1958年）。 「リーマン・ロックのテオレーム」。フランス数学協会紀要。86 : 97–136 .土井: 10.24033/bsmf.1500。MR  0116022。
  3. ^ SGA 6、Springer-Verlag (1971)。
  4. ^ Panin, Ivan; Smirnov, Alexander (2002). 「代数多様体の有向コホモロジー理論における前進」
  5. ^ Morel, Fabien ; Levine, Marc, Algebraic cobordism (PDF) , Springer4.2.10および4.2.11を参照
  6. ^ モリソン、ハリス「曲線のモジュライ」p.154。
  7. ^ ab Mumford, David (1983). 「曲線のモジュライ空間の列挙幾何学に向けて」.算術と幾何学. pp.  271– 328. doi :10.1007/978-1-4757-9286-7_12. ISBN 978-0-8176-3133-8。
  8. ^ フルトン『交差理論』297ページ。
  9. ^ Knudsen, Finn F. (1983-12-01). 「安定曲線のモジュライ空間の射影性 III: M g , n {\displaystyle M_{g,n}} 上の直線束、および標数 0 における M ¯ g , n {\displaystyle {\bar {M}}_{g,n}} の射影性の証明」. Mathematica Scandinavica . 52 : 200–212 . doi : 10.7146/math.scand.a-12002 . ISSN  1903-1807.

参考文献

  • グロタンディーク・リーマン・ロッホの定理
  • MathOverflowのスレッド「Grothendieck-Riemann-Roch の応用?」
  • MathOverflowのスレッド「GRR をどう理解するか? (グロタンディーク、リーマン、ロッホ)」。
  • Stack Exchangeのスレッド「理想層のチャーン類」。
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