グロタンディークスペクトル列

数学において、ホモロジー代数の分野において、アレクサンダー・グロタンディークが東北論文で導入したグロタンディークスペクトル列は、2つの関数の合成の導来関数を、と導来関数の知識から計算するスペクトル列です 。代数幾何学における多くのスペクトル列はグロタンディークスペクトル列の例であり、例えばルレイスペクトル列などが あります ${\displaystyle G\circ F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$

ステートメント

とがアーベル圏間の加法的で左正確な2つの関手であり、との両方に十分な単射があり、単射対象を非巡回対象に取る場合、の各対象に対してスペクトル列が存在する ${\displaystyle F\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle G\colon {\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R}}^{p+q}(G\circ F)(A),}$

ここで、 は のp番目の右導関数を表し、矢印 ' ' はスペクトル列 の収束を意味します。 ${\displaystyle {\rm {R}}^{p}G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Longrightarrow }$

5項完全列

低度の正確な順序は次のようになります

${\displaystyle 0\to {\rm {R}}^{1}G(FA)\to {\rm {R}}^{1}(GF)(A)\to G({\rm {R}}^{1}F(A))\to {\rm {R}}^{2}G(FA)\to {\rm {R}}^{2}(GF)(A).}$

例

ルレイスペクトル列

および が位相空間である場合、 およびをそれぞれおよび上のアーベル群の層のカテゴリとします。 ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$ ${\textstyle {\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)}$ ${\textstyle {\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)}$ ${\textstyle X}$ ${\textstyle Y}$

連続写像 に対しては（左厳密な）直接像関数が存在する。また、大域切断関数 も存在する。${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f_{*}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)}$

${\displaystyle \Gamma _{X}\colon \mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} }$ そして${\displaystyle \Gamma _{Y}\colon \mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .}$

そして、関数とが仮定を満たすので（直像関数は正確な左随伴関数を持つので、単射関数のプッシュフォワードは単射であり、特に大域切断関数に対しては非巡回的である）、この場合の順序は次のようになります ${\displaystyle \Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle \Gamma _{Y}}$ ${\displaystyle f^{-1}}$

${\displaystyle H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})}$

上のアーベル群の層 について。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X}$

局所から大域へのExtスペクトル系列

大域的Extと層Extを関連付けるスペクトル列が存在する。F , Gを環空間（例えばスキーム）上の加群の層とする。すると、 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).}$ ^[1]

これはグロタン

${\displaystyle R^{p}\Gamma (X,-)=\operatorname {H} ^{p}(X,-)}$ 、そして${\displaystyle R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,-)}$ ${\displaystyle R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{n}(F,-)}$

さらに、は単射な- 加群をフラスク層^[2]に送り、これは- 非巡回的である。したがって、仮定は満たされる。 ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$

導出

次の補題を使用します。

補題— Kがアーベル圏Cの入射複体であり、微分核が入射対象である場合、各nに対して、

${\displaystyle H^{n}(K^{\bullet })}$

は入射的対象であり、 C上の任意の左完全加法関手Gに対して、

${\displaystyle H^{n}(G(K^{\bullet }))=G(H^{n}(K^{\bullet })).}$

証明：を核とし、 の像とする。 ${\displaystyle Z^{n},B^{n+1}}$ ${\displaystyle d:K^{n}\to K^{n+1}}$

${\displaystyle 0\to Z^{n}\to K^{n}{\overset {d}{\to }}B^{n+1}\to 0,}$

は分解できる。これはそれぞれが単射であることを意味する。次に ${\displaystyle B^{n+1}}$

${\displaystyle 0\to B^{n}\to Z^{n}\to H^{n}(K^{\bullet })\to 0.}$

それは分裂し、補題の最初の部分と、

${\displaystyle 0\to G(B^{n})\to G(Z^{n})\to G(H^{n}(K^{\bullet }))\to 0.}$

同様に（先ほどの分割を使用して）次のようになります。

${\displaystyle 0\to G(Z^{n})\to G(K^{n}){\overset {G(d)}{\to }}G(B^{n+1})\to 0.}$

次は第2部です。${\displaystyle \square }$

ここでスペクトル列を構築します。Aの単射分解を とします。について書くと、次のようになります。 ${\displaystyle A^{0}\to A^{1}\to \cdots }$ ${\displaystyle \phi ^{p}}$ ${\displaystyle F(A^{p})\to F(A^{p+1})}$

${\displaystyle 0\to \operatorname {ker} \phi ^{p}\to F(A^{p}){\overset {\phi ^{p}}{\to }}\operatorname {im} \phi ^{p}\to 0.}$

第1項と第3項の非零項の単射的分解とをとる。馬蹄形の補題より、それらの直和はの単射的分解となる。したがって、複素数の単射的分解が得られた。 ${\displaystyle J^{0}\to J^{1}\to \cdots }$ ${\displaystyle K^{0}\to K^{1}\to \cdots }$ ${\displaystyle I^{p,\bullet }=J\oplus K}$ ${\displaystyle F(A^{p})}$

${\displaystyle 0\to F(A^{\bullet })\to I^{\bullet ,0}\to I^{\bullet ,1}\to \cdots .}$

各行が補題の仮定を満たすようなもの（Cartan–Eilenbergの解決を参照）。 ${\displaystyle I^{0,q}\to I^{1,q}\to \cdots }$

さて、この二重複体から水平と垂直の2つのスペクトル列が生じます。これらをこれから検証していきます。一方で、定義により、 ${\displaystyle E_{0}^{p,q}=G(I^{p,q})}$

${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{p,\bullet }))=R^{q}G(F(A^{p}))}$ ,

これは仮定よりG非巡回なので、 q = 0でない限り常に0である。したがって、そしてである。一方、定義と補題より、 ${\displaystyle F(A^{p})}$ ${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}^{n}=R^{n}(G\circ F)(A)}$ ${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{2}={}^{\prime \prime }E_{\infty }}$

${\displaystyle {}^{\prime }E_{1}^{p,q}=H^{q}(G(I^{\bullet ,p}))=G(H^{q}(I^{\bullet ,p})).}$

はの入射的解決である（コホモロジーが自明であるので、それは解決である）。 ${\displaystyle H^{q}(I^{\bullet ,0})\to H^{q}(I^{\bullet ,1})\to \cdots }$ ${\displaystyle H^{q}(F(A^{\bullet }))=R^{q}F(A)}$

${\displaystyle {}^{\prime }E_{2}^{p,q}=R^{p}G(R^{q}F(A)).}$

と は同じ極限項を持つので、証明は完全です。${\displaystyle {}^{\prime }E_{r}}$ ${\displaystyle {}^{\prime \prime }E_{r}}$ ${\displaystyle \square }$

注釈

1. Godement 1973, Ch. II, 定理7.3.3.
2. Godement 1973, Ch. II, 補題7.3.2

参考文献

• ゴデマン、ロジェ（1973）『トポロジーとフェイセオリー』パリ：ヘルマン、MR  0345092
• ワイベル、チャールズ・A. (1994).ホモロジー代数入門. ケンブリッジ高等数学研究. 第38巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-55987-4 MR  1269324. OCLC  36131259

計算例

• シャープ、エリック (2003). D-ブレーンと層に関する講義 (18～19ページ) , arXiv : hep-th/0307245

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