理論物理学において、ユージン・ウィグナーとエルダル・イノニュは、与えられたリー群から、その連続部分群に関する群縮約によって、異なる（同型でない）リー群を得る可能性について議論した[1] 。これは、リー代数のパラメータに対する極限操作に相当し、適切な状況下では、このリー代数の構造定数を非自明な特異な方法で変化させる。[2] [3]
例えば、3次元回転群SO(3)のリー代数、[ X 1 , X 2 ] = X 3などは、変数Y 1 = εX 1、Y 2 = εX 2、Y 3 = X 3と書き換えられる。
- [ Y 1 , Y 2 ] = ε 2 Y 3、[ Y 2 , Y 3 ] = Y 1、[ Y 3 , Y 1 ] = Y 2。
収縮極限ε → 0は第1交換子を自明化し、平面ユークリッド群の非同型代数E 2 ~ ISO(2)をもたらす。（これは円筒群と同型であり、円筒の表面上の点の運動を記述する。これはミンコフスキー空間におけるヌル4元ベクトルの小群、または安定化部分群である。）具体的には、並進生成子Y 1、Y 2は、 E 2のアーベル正規部分群 （群の拡張を参照）、放物型ローレンツ変換を生成する。
物理学でかなり応用されている同様の限界（対応原理を参照）は、
- ド・ジッター群 SO(4, 1) ~ Sp(2, 2)をポアンカレ群 ISO(3, 1)に変換する場合、ド・ジッター半径はR → ∞に発散する: R → ∞ ; または
- AdS半径がR → ∞に発散するにつれて、超反ド・ジッター代数は超ポアンカレ代数になる。または
- ポアンカレ群からガリレイ群へ、光速が発散するにつれて：c → ∞；[4]または
- モヤル括弧リー代数（量子交換子に相当）をポアソン括弧リー代数に変換し、古典的な極限ではプランク定数はħ → 0 とゼロになる。
注記
- ^ イノニュ＆ウィグナー 1953
- ^ シーガル 1951, 221ページ
- ^ サレタン 1961、1ページ
- ^ ギルモア 2006
参考文献
- Dooley, AH; Rice, JW (1985). 「半単純リー群の縮約について」(PDF) .アメリカ数学会誌. 289 (1): 185– 202. doi : 10.2307/1999695 . ISSN 0002-9947. JSTOR 1999695. MR 0779059.
- ギルモア、ロバート (2006).リー群、リー代数、およびその応用. ドーバー数学書籍.ドーバー出版. ISBN 0486445291. MR 1275599。
- イノニュ, E. ;ウィグナー, EP (1953). 「群の縮約とその表現について」. Proc. Natl. Acad. Sci . 39 (6): 510–24 . Bibcode :1953PNAS...39..510I. doi : 10.1073/pnas.39.6.510 . PMC 1063815. PMID 16589298 .
- Saletan, EJ (1961). 「リー群の縮約」.数理物理学ジャーナル. 2 (1): 1– 21. Bibcode :1961JMP.....2....1S. doi :10.1063/1.1724208.
- シーガル, IE (1951). 「群によって決定される作用素環のクラス」デューク数学ジャーナル. 18 : 221. doi :10.1215/S0012-7094-51-01817-0.