群速度分散

光学において、群速度分散（GVD）は分散媒質の特性であり、媒質が光パルスの伝播時間にどのように影響するかを決定するために最もよく用いられます。正式には、GVDは物質中の光の群速度の逆数を角周波数で微分したものとして定義されます。[ 1 ] [ 2 ]

妊娠中毒症（ω0）≡∂∂ω（1vグラム（ω））ω＝ω0、{\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega )}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}

ここで、 とは角周波数であり、群速度はと定義されます。群速度分散の単位は [時間] 2 /[距離] であり、多くの場合fs 2 / mmで表されます。 ω{\displaystyle \omega }ω0{\displaystyle \omega _{0}}vグラム（ω）{\displaystyle v_{g}(\omega )}vグラム（ω）≡∂ω/∂け{\displaystyle v_{g}(\omega )\equiv \partial \omega /\partial k}

同様に、群速度分散は媒質依存の波数ベクトルによって次のよう に定義できる。け（ω）{\displaystyle k(\omega )}

妊娠中毒症（ω0）≡（∂2け∂ω2）ω＝ω0、{\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv \left({\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}},}

または屈折率 に基づいて n（ω）{\displaystyle n(\omega )}

妊娠中毒症（ω0）≡2c（∂n∂ω）ω＝ω0+ω0c（∂2n∂ω2）ω＝ω0。{\displaystyle {\text{GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {2}{c}}\left({\frac {\partial n}{\partial \omega }}\right)_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}n}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.}}

アプリケーション

群速度分散は、対象となる物質を通過した後の光パルスに課される チャープの量を推定するために最も一般的に使用されます。

さえずり＝（材料の厚さ）×妊娠中毒症（ω0）×（帯域幅）。{\displaystyle {\text{chirp}}=({\text{材料の厚さ}})\times {\text{GVD}}(\omega _{0})\times ({\text{帯域幅}}).}

導出

GVDを用いてパルスチャープを決定する方法の簡単な例として、厚さdの平面媒質を通過する、持続時間tの変換限界パルスの効果を見ることができます。媒質を通過する前に、すべての周波数の位相オフセットは時間的に整列しており、パルスは時間の関数として記述できます。 σ{\displaystyle \sigma }

E（t）＝あe−t24σ2e−私ω0t、{\displaystyle E(t)=Ae^{-{\frac {t^{2}}{4\sigma ^{2}}}}e^{-i\omega _{0}t},}

あるいは、周波数の関数として、

E（ω）＝Be−（わ−わ0）24（1/2σ）2{\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}}

（パラメータAとBは正規化定数である）。媒質を通過すると周波数依存の位相累積が生じ、媒質通過後のパルスは次のように記述できる。 Δϕ（ω）＝け（ω）d{\displaystyle \Delta \phi (\omega )=k(\omega )d}

E（ω）＝Be−（わ−わ0）24（1/2σ）2e私け（ω）d。{\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}{4(1/2\sigma )^{2}}}}e^{ik(\omega )d}.}

一般に、屈折率、ひいては波数ベクトル はの任意の関数となるため、逆フーリエ変換を解析的に時間領域に戻すことは困難です。しかし、パルスの帯域幅が の曲率に対して狭い場合、 をを中心としたテイラー展開で置き換えることで、屈折率の影響を適切に近似することができます。 n（ω）{\displaystyle n(\omega )}け（ω）＝n（ω）ω/c{\displaystyle k(\omega)=n(\omega)\omega /c}ω{\displaystyle \omega }n{\displaystyle n}け（ω）{\displaystyle k(\omega )}ω0{\displaystyle \omega _{0}}

n（ω）ωc＝n（ω0）ω0c⏟け（ω0）+[n（ω0）+n′（ω0）ω0c]⏟け′（ω0）（ω−ω0）+12[2n′（ω0）+n″（ω0）ω0c]⏟妊娠中毒症（ω−ω0）2+…{\displaystyle {\frac {n(\omega )\omega }{c}}=\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k(\omega _{0})}+\underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})+{\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{\text{GVD}}(\omega -\omega _{0})^{2}+\dots }

この式を切り捨ててポスト中周波数領域式に挿入すると、ポスト中時間領域式が得られる。

E役職（t）＝あ役職経験⁡[−（t−け′（ω0）d）24（σ2−私妊娠中毒症d/2）]e私[け（ω0）d−ω0t]。{\displaystyle E_{\text{post}}(t)=A_{\text{post}}\exp \left[-{\frac {\left(tk'(\omega _{0})d\right)^{2}}{4\left(\sigma ^{2}-i\,{\text{GVD}}\,d/2\right)}}\right]e^{i[k(\omega _{0})d-\omega _{0}t]}.}

結局、パルスは強度標準偏差値 まで延長される。

σ役職＝σ2+[d妊娠中毒症（ω0）12σ]2、{\displaystyle \sigma _{\text{post}}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,{\textrm {GVD}}(\omega _{0}){\frac {1}{2\sigma }}\right]^{2}}},}

これにより、最初の式が検証されます。変換制限パルスは を持つことに注意してください。したがって、1/(2 σ t ) を帯域幅として 識別することが適切です。σωσt＝1/2{\displaystyle \sigma _{\omega }\sigma _{t}=1/2}

代替派生

パルスチャープと群速度分散（GVD）の関係を導出する別の方法は、群速度の逆数の微分によってGVDを定義できる理由をより直接的に示しており、以下のように概説できる。搬送周波数とをそれぞれ有する、変換限界を持つ2つのパルスを考えてみよう。これらのパルスは、最初は時間的に重なり合っている。媒質を通過した後、これらの2つのパルスは、それぞれのパルスエンベロープ中心間に時間遅延を示す。これは次式で表される。 ω1{\displaystyle \omega _{1}}ω2{\displaystyle \omega _{2}}

ΔT=d(1vg(ω2)−1vg(ω1)).{\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{2})}}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right).}

この式はテイラー展開で近似することができ、

ΔT=d(1vg(ω1)+∂∂ω(1vg(ω′))ω′=ω1(ω2−ω1)−1vg(ω1)),{\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),}

または

ΔT=d×GVD(ω1)×(ω2−ω1).{\displaystyle \Delta T=d\times {\textrm {GVD}}(\omega _{1})\times (\omega _{2}-\omega _{1}).}

ここから、この式を2つのパルスに無限に拡大することを考えることができます。周波数差は帯域幅に置き換えなければならず、時間遅延は誘起チャープへと発展します。 ω2−ω1{\displaystyle \omega _{2}-\omega _{1}}ΔT{\displaystyle \Delta T}

群遅延分散

密接に関連しながらも独立した量として群遅延分散（GDD）があります。群速度分散は単位長さあたりの群遅延分散として定義されます。GDDは、層状ミラーの特性評価においてパラメータとしてよく用いられます。層状ミラーでは、群速度分散は明確に定義されていませんが、ミラーからの反射後に発生するチャープは明確に定義できます。群遅延分散の単位は[時間] 2で、多くの場合 fs 2で表されます。

光学素子の群遅延分散（GDD）は、角周波数に対する群遅延の微分であり、光位相の 2次微分でもあります。

D2(ω)=−∂Tgdω=d2ϕdω2.{\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {\partial T_{g}}{d\omega }}={\frac {d^{2}\phi }{d\omega ^{2}}}.}

これは素子の波長分散の尺度である。GDDは全分散パラメータと次のように 関係している。Dtot{\displaystyle D_{\text{tot}}}

D2(ω)=−2πcλ2Dtot.{\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}D_{\text{tot}}.}

参考文献

  1. ^ Boyd, Robert. W. (2007).非線形光学（第3版）. エルゼビア.
  2. ^ Paschotta, Dr. Rüdiger (2008年3月5日). 「群速度分散」 .レーザー物理技術百科事典. doi : 10.61835/9gj . 2016年5月15日閲覧。
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