ハブーシュの定理

数学 において、ハブーシュの定理（しばしばマンフォード予想とも呼ばれる）は、体K上の任意の半単純代数群Gと、 Kベクトル空間V上のGの任意の線型表現 ρ に対して、Gの作用によって固定されたV内のv  ≠ 0が与えられたとき、定数項のないV上のG不変多項式Fが存在し、

F ( v )≠0です。

多項式は同次、すなわちVの双対の対称べき乗の元とすることができ、特性がp >0 であれば、多項式の次数はpのべき乗とすることができる。K が特性 0 を持つとき、これはよく知られていた。実際、Gの表現の完全な還元可能性に関するワイルの定理は、 F が線型であるとすることさえできることを意味している。 素特性pへの拡張に関するマンフォードの予想は、デイヴィッド・マンフォードが著書『幾何学的不変量理論』初版の序文で問題を提示してから約 10 年後、 WJハボウシュ (1975)によって証明された。

アプリケーション

ハボウシュの定理は、既に知られている標数0から標数p >0まで、幾何学的不変量理論の結果を一般化するために用いることができる。特に、永田の以前の結果とハボウシュの定理を組み合わせると、（代数的に閉体上の）簡約群が有限生成代数に​​作用する場合、固定された部分代数も有限生成となることがわかる。

ハボウシュの定理は、G がアフィン代数多様体上に正則に作用する簡約代数群である場合、互いに素な閉不変集合XとY は不変関数fによって分離できる（つまり、fはXでは 0 、 Yでは 1 である）ことを意味します。

CS Seshadri (1977) は、Haboush の定理をスキーム上の簡約群に拡張しました。

永田（1963） 、ハブーシュ、ポポフの研究から、以下の条件は体K上のアフィン代数群Gに対して同値であることがわかります。

• Gは簡約的です (その単元根は自明です)。
• Gの有理表現における任意の非ゼロ不変ベクトルに対して、その上で消えない不変同次多項式が存在します。
• G が有理的に作用する任意の有限生成K代数に対して、固定元の代数は有限生成されます。

証拠

この定理は次のようにいくつかのステップで証明されます。

• 群は特性p > 0の代数的に閉じた体K上で定義されていると仮定できます。
• 有限群は、すべての元について積を取ればよいので扱いやすく、連結簡約群の場合に帰着できます（連結成分は有限指数を持つため）。また、無害な中心拡大をとることで、群Gが単連結であると仮定することもできます。
• A ( G ) をGの座標環とします。これはGが左平行移動によって作用するGの表現です。不変ベクトルv上で値 1 を持つVの双対の元v ′を選びます。w ∈ Vをa ∈ A ( G )の元にa ( g ) = v ′ ( g ( w ) )として送ることで、 VからA ( G )への写像が得られます。これによりv は1∈ A ( G )に送られるので、 V ⊂ A ( G ) かつv =1と仮定できます。
• 表現A ( G ) の構造は以下のように与えられる。 Gの極大トーラスT を選び、それが A ( G ) に右並進作用（つまりGの作用と可換となるように）するようにする。すると、A ( G ) は、λ に従って変換する元の部分表現A ( G ) ^λのTの指標 λ 上の和として分解される。したがって、 V はA ( G )のT不変部分空間A ( G ) ^λに含まれると仮定できる。
• 表現A ( G ) ^λは、形式E _{λ+ n ρ} ⊗ E _{n ρの部分表現の増加和集合です。ここで、 ρ は}Tの単純根を選択するためのワイルベクトル、nは正の整数、E _μはTの指標 μ に対応するG / B上の直線束の切断空間です。ここで、BはTを含むボレル部分群です。
• nが十分に大きい場合、 E _{n ρ は}( n +1) ^N次元を持ちます。ここでNは正根の数です。これは、標数 0 において、対応する加群がワイル指標公式によりこの次元を持つためです。また、n が十分に大きく、 G / B上の直線束が非常に豊富である場合、E _{n ρ は}標数 0 の場合と同じ次元を持ちます。
• 正の整数rに対してq = p ^r、かつn = q −1の場合、 E _{n ρ}には次元q ^NのSteinberg 表現G ( F _q ) が含まれます(ここで、F _q ⊂ Kは位数qの有限体です)。 Steinberg 表現はG ( F _q ) の既約表現であり、したがってG ( K ) の既約表現でもあります。また、r が十分に大きい場合、 Steinberg 表現はE _{n ρ}と同じ次元を持つため、 E _{n ρ}が既約となるようなnの値は無限に存在します。
• E _{n ρ が}既約な場合、それはその双対と同型なので、E _{n ρ} ⊗ E _{n ρ}は End( E _{n ρ} ) と同型である。したがって、A ( G )のT不変部分空間A ( G ) ^{λは、表現}E ( E _{( q −1)ρ} ) に対して、形式End( E )の部分表現の増加和である。しかし、形式 End( E ) の表現に対して、0 と 1 を分離する不変多項式は行列式によって与えられる。これでハブーシュの定理の証明の概要は完了する。

参考文献

• Demazure、Michel (1976)、「Démonstration de la conjecture de Mumford (d'après W. Haboush)」、Séminaire Bourbaki (1974/1975: Exposés Nos. 453--470)、Lecture Notes in Mathematics、vol. 514、ベルリン: Springer、pp.  138–144、土井: 10.1007/BFb0080063、ISBN 978-3-540-07686-5、MR  0444786
• Haboush, WJ (1975)、「還元群は幾何学的に還元的である」Annals of Mathematics、102 (1): 67– 83、doi : 10.2307/1970974、JSTOR  1970974
• マムフォード、D.フォガティ、J. Kirwan, F.幾何不変理論。第 3 版。Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) (数学および関連分野の結果 (2))、34。Springer-Verlag、ベルリン、1994。xiv+292 pp. MR 1304906 ISBN  3-540-56963-4
• 永田 正義(1963)、「アフィン環上の群の不変量」、京都大学数学誌、3 (3): 369– 377、doi : 10.1215/kjm/1250524787、ISSN  0023-608X、MR  0179268
• 永田正之; 宮田毅 (1964). 「半簡約群に関するノート」 .京都大学数学研究. 3 (3): 379– 382. doi : 10.1215/kjm/1250524788 .
• ポポフ、VL (2001) [1994]、「マンフォード仮説」、数学百科事典、EMSプレス
• Seshadri, CS (1977). 「任意の基数上の幾何学的簡約性」 .数学の進歩. 26 (3): 225– 274. doi : 10.1016/0001-8708(77)90041-x .