アダマールの不等式

数学において、アダマールの不等式（行列式に関するアダマールの定理^[1]とも呼ばれる）は、 1893年にジャック・アダマールによって初めて発表された結果である。^[2]これは、複素数を要素とする行列の行列式の、列ベクトルの長さに関する上界である。幾何学的には、実数に限定した場合、 n次元ユークリッド空間におけるn個のベクトルv _i（1 ≤ i ≤ n）で囲まれた体積を、これらのベクトルの長さ || v _i || で上界する。

具体的には、アダマールの不等式は、Nが列^[3] v _iを持つ行列である場合、

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

nベクトルがゼロでない場合、ベクトルが直交している場合にのみ、アダマールの不等式が等式化されます。

代替形式と帰結

系として、 n行n列の行列Nの要素がBで囲まれている場合、すべてのiとjに対して| N _ij | ≤ Bとなる。

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq B^{n}n^{n/2}.}$

特に、Nの要素が+1と-1のみの場合、 ^[4]

${\displaystyle \left|\det(N)\right|\leq n^{n/2}.}$

組合せ論では、等式が成り立つ行列N、つまり直交する列を持つ行列は、アダマール行列と呼ばれます。

より一般的には、Nがn 次複素行列で、その要素が1 からnまでの各i , jに対して | N _ij | ≤ 1で制限されるとする。このとき、アダマールの不等式は次のように表される。

${\displaystyle |\operatorname {det} (N)|\leq n^{n/2}.}$

この境界における等式は、 Nがアダマール行列である 場合にのみ、実行列Nに対して達成されます。

半正定値行列 PはN ^* Nと表すことができます。ここでN ^*はNの共役転置を表します（半正定値行列の分解を参照）。

${\displaystyle \det(P)=\det(N)^{2}\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|^{2}=\prod _{i=1}^{n}p_{ii}.}$

したがって、正定値行列の行列式は、その対角成分の積以下になります。これはアダマールの不等式とも呼ばれます。^{[2] [5]}

証拠

行列Nが特異行列であれば結果は自明なので、 Nの列は線形独立であると仮定する。各列をユークリッドノルムで割ると、結果は各列のノルムが1である特殊なケースと等価であることがわかる。言い換えれば、e _iが単位ベクトルで、Mがe _{i を}列として 持つ行列である場合、

${\displaystyle \left|\det M\right|\leq 1,}$

1

そして、ベクトルが直交集合である場合にのみ等式が達成されます。一般的な結果は次のようになります。

${\displaystyle \left|\det N\right|={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|{\bigg )}\left|\det M\right|\leq \prod _{i=1}^{n}\|v_{i}\|.}$

(1)を証明する には、P = M ^* Mを考えます。ここでM ^*はMの共役転置です。そしてPの固有値はλ ₁ , λ ₂ , … λ _nです。M の各列の長さは1 なので、 Pの対角要素はそれぞれ1 であり、したがってPのトレースはnです。算術平均と幾何平均の不等式を適用すると、

${\displaystyle \det P=\prod _{i=1}^{n}\lambda _{i}\leq \left({1 \over n}\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right)^{n}=\left({1 \over n}\operatorname {tr} P\right)^{n}=1^{n}=1,}$

それで

${\displaystyle \left|\det M\right|={\sqrt {\det P}}\leq 1.}$

等式がある場合、λ _iのそれぞれはすべて等しく、その和はnなので、すべて 1 になります。行列Pはエルミートなので対角化可能であり、単位行列です。言い換えると、Mの列は直交集合であり、 Nの列は直交集合です。^[6]他の多くの証明は文献に記載されています。

参照

• フィッシャーの不等式

注記

1. 「アダマールの定理 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2020年6月15日閲覧。
2. マズヤ＆シャポシュニコワ
3. 結果は行ベクトルで表現されることがあります。転置を適用することで、これが同値であることがわかります。
4. ガーリング
5. ロザンスキ、ミハウ;ウィトゥワ、ローマ人。ヘトマニオク、エディタ (2017)。 「アダマール不等式のより微妙なバージョン」。線形代数とその応用。532 : 500– 511.土井: 10.1016/j.laa.2017.07.003。
6. 証明は、若干の修正を加えて、Maz'ya & Shaposhnikova による 2 番目の証明に従います。

参考文献

• マズヤ, ウラジミール; シャポシュニコワ, TO (1999).ジャック・アダマール: 普遍的な数学者. AMS. pp. 383ff. ISBN 0-8218-1923-2。
• ガーリング, DJH (2007).不等式：線型解析への旅. ケンブリッジ. p. 233. ISBN 978-0-521-69973-0。
• リース、フリジェス。シュケファルヴィ=ナジ、ベーラ (1990)。機能分析。ドーバー。 p. 176.ISBN​ 0-486-66289-6。
• ワイスタイン、エリック・W.「アダマールの不等式」。MathWorld。

さらに読む

• ベッケンバッハ, エドウィン・F; ベルマン, リチャード・アーネスト (1965).不等式. シュプリンガー. p. 64.