ハミルトン・ヤコビ方程式

物理学において、ウィリアム・ローワン・ハミルトンとカール・グスタフ・ヤコビ・ヤコビにちなんで名付けられたハミルトン・ヤコビ方程式は、古典力学の別の定式化であり、ニュートンの運動の法則、ラグランジアン力学、ハミルトン力学などの他の定式化と同等です。

ハミルトン・ヤコビ方程式は、粒子の運動を波として表す力学の定式化である。この意味で、この方程式は、光の伝播と粒子の運動の間に類似点を見出すという、理論物理学における長年の目標（少なくとも18世紀のヨハン・ベルヌーイに遡る）を達成した。力学系が従う波動方程式は、後述するようにシュレーディンガー方程式と類似しているが、同一ではない。このため、ハミルトン・ヤコビ方程式は古典力学から量子力学への「最も近いアプローチ」と考えられている。^{[1] [2]}この関係の定性的形式は、ハミルトンの光機械アナロジーと呼ばれる。

数学において、ハミルトン・ヤコビ方程式は、変分法の問題の一般化における極値幾何学を記述する必要条件である。これは、動的計画法におけるハミルトン・ヤコビ・ベルマン方程式の特殊なケースとして理解することができる。^[3]

概要

ハミルトン・ヤコビ方程式は、1階の非線形 偏微分方程式である。

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}.}$

座標⁠ ⁠${\displaystyle \mathbf {q} }$ にある粒子系について。関数は系のハミルトニアンで、系のエネルギーを与える。この方程式の解は作用⁠ ⁠であり、ハミルトンの主関数と呼ばれる。^{[4] :  291}この解は、最小作用の原理で使用される形式の不定積分によって 系ラグランジアンと関連付けることができる。^{[5] : 431} 定作用の幾何学的表面は系の軌跡に垂直であり、系ダイナミクスの波面のようなビューを作成する。ハミルトン-ヤコビ方程式のこの性質は、古典力学と量子力学を結び付ける。^{[6] : 175}${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$ $${\displaystyle \ S=\int {\mathcal {L}}\ \mathrm {d} t+~{\mathsf {some\ constant}}~}$$

数学的定式化

表記

太字の変数は一般化座標のリストを表します。 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N-1},q_{N})}$$

変数またはリスト上のドットは時間微分を表します（ニュートン記法を参照）。例えば、 $${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {d\mathbf {q} }{dt}}.}$$

同じ数の座標を持つ2つのリスト間のドット積表記は、対応する成分の積の合計を表す略記法である。例えば、 $${\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =\sum _{k=1}^{N}p_{k}q_{k}.}$$

作用関数（別名ハミルトンの主関数）

意味

ヘッセ行列は 逆行列であるとする。この関係式は 、オイラー・ラグランジュ方程式が2階常微分方程式系を形成すること を示している。行列を逆行列化すると、この系は次のように変形される 。${\textstyle H_{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\left\{\partial ^{2}{\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}\right\}_{ij}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {\dot {q}}^{j}}}{\ddot {q}}^{j}+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial {q}^{j}}}{\dot {q}}^{j}\right)+{\frac {\partial ^{2}{\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}\partial t}},\qquad i=1,\ldots ,n,}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H_{\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle {\ddot {q}}^{i}=F_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),\ i=1,\ldots ,n.}$$

時刻と配置空間上の点を固定する。存在定理と一意性定理は、条件とを満たすすべての初期値問題に対して、局所的に一意な解を持つことを保証する。さらに、異なる初期速度を持つ極値が交差しないような十分に小さな時間間隔があるとする。後者は、任意のと任意のに対して、最大で1つの極値が存在し、かつとなることを意味する。作用関数に代入すると、ハミルトンの主関数（HPF）が得られる。 ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}\in M}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0},}$ ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}|_{\tau =t_{0}}=\mathbf {v} _{0}}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}).}$ ${\displaystyle (t_{0},t_{1})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$ ${\displaystyle M\times (t_{0},t_{1}).}$ ${\displaystyle \mathbf {q} \in M}$ ${\displaystyle t\in (t_{0},t_{1}),}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$ ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$

${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t;\mathbf {q} _{0},t_{0})\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\int _{t_{0}}^{t}{\mathcal {L}}(\gamma (\tau ;\cdot ),{\dot {\gamma }}(\tau ;\cdot ),\tau )\,d\tau ,}$

どこ

• ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0}),}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0},}$
• ${\displaystyle \gamma |_{\tau =t}=\mathbf {q} .}$

運動量の公式

運動量は、量として定義されます。このセクションでは、HPF がわかると、 の依存性がなくなる ことを示します。${\textstyle p_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=\partial {\mathcal {L}}/\partial {\dot {q}}^{i}.}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} }$

実際、時刻と配置空間内の点を固定します。すべての時刻と点に対して、ハミルトンの主関数の定義から（唯一の）極値を⁠ ⁠とします。速度を⁠ ⁠とします。すると ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,{\dot {\gamma }}(\tau ;t,t_{0},\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0})|_{\tau =t}}$ ${\displaystyle \tau =t}$

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q^{i}}}=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\right|_{\mathbf {\dot {q}} =\mathbf {v} }\!\!\!\!\!\!\!,\quad i=1,\ldots ,n.}$

証拠

以下の証明では、配置空間が の開集合であると仮定していますが、基礎となる手法は任意の空間にも同様に当てはまります。この証明の文脈において、カリグラフィ文字は作用関数、イタリック体はハミルトンの主関数を表します。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle S}$

ステップ1.配置空間における経路をとし、に沿ったベクトル場を とします。(各ベクトルは摂動、点 における機械系の微小変化または仮想変位と呼ばれます。)点における作用の方向への変化は、式で与えられます。 ここで、右辺の偏微分を計算した後 、と を代入する必要があります。(この式は、ガトー微分の定義から部分積分を経て導かれます。)${\displaystyle \xi =\xi (t)}$ ${\displaystyle \delta \xi =\delta \xi (t)}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \delta \xi (t)}$ ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\gamma ,t_{1},t_{0}]}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \delta \xi }$ $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t_{1},t_{0}]=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {q} }}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right)\delta \xi \,dt+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\,\delta \xi {\Biggl |}_{t_{0}}^{t_{1}},}$$ ${\displaystyle q^{i}=\xi ^{i}(t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\dot {\xi }}^{i}(t)}$

が極値であると仮定する。今や はオイラー・ラグランジュ方程式を満たすので、積分項は消滅する。の開始点が固定されている場合、オイラー・ラグランジュ方程式を導出する際に用いられたのと同じ論理により、 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{0}}$ ${\displaystyle \delta \xi (t_{0})=0.}$ $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]=\left.{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \mathbf {\dot {q}} }}\right|_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}\,\delta \xi (t).}$$

ステップ2.をHPFの定義からの（唯一の）極値、に沿ったベクトル場、および「適合する」の変形とします。正確には、${\displaystyle \gamma =\gamma (\tau ;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ ${\displaystyle \delta \gamma =\delta \gamma (\tau )}$ ${\displaystyle \gamma ,}$ ${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }=\gamma _{\varepsilon }(\tau ;\mathbf {q} _{\varepsilon },\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \delta \gamma .}$ ${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\gamma ,}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{\varepsilon }|_{\varepsilon =0}=\delta \gamma ,}$ ${\displaystyle \gamma _{\varepsilon }|_{\tau =t_{0}}=\gamma |_{\tau =t_{0}}=\mathbf {q} _{0}.}$

HPFとガトー微分の定義により、 $${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \gamma }[\gamma ,t]{\overset {\text{def}}{{}={}}}\left.{\frac {d{\mathcal {S}}[\gamma _{\varepsilon },t]}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}=\left.{\frac {dS(\gamma _{\varepsilon }(t),t)}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}={\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\,\delta \gamma (t).}$$

ここでは、それを考慮してコンパクトさを重視しました。 ${\displaystyle \mathbf {q} =\gamma (t;\mathbf {q} ,\mathbf {q} _{0},t,t_{0})}$ ${\displaystyle t_{0}}$

ステップ 3。ステップ 1 の式にとを代入し、その結果をステップ 2 で導出した式と比較します。ベクトル場に対して が任意に選択されたという事実により、証明が完了します。 ${\displaystyle \xi =\gamma }$ ${\displaystyle \delta \xi =\delta \gamma }$ ${\displaystyle \delta {\mathcal {S}}_{\delta \xi }[\xi ,t;t_{0}]}$ ${\displaystyle t>t_{0},}$ ${\displaystyle \delta \gamma }$

式

機械システムのハミルトニアン が与えられた場合、ハミルトン・ヤコビ方程式はハミルトンの主関数に対する1階の非線形偏微分方程式である。^[7]${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}.}$

導出

初期速度が極値の場合（HPFの定義の前の議論を参照）、 ${\displaystyle \xi =\xi (t;t_{0},\mathbf {q} _{0},\mathbf {v} _{0}),}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}={\dot {\xi }}|_{t=t_{0}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(\xi (t),{\dot {\xi }}(t),t)={\frac {dS(\xi (t),t)}{dt}}=\left[{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\mathbf {\dot {q}} +{\frac {\partial S}{\partial t}}\right]_{\mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t)}^{\mathbf {q} =\xi (t)}.}$$

の公式 と、 （一意に解ける）を満たすハミルトニアン座標ベースの定義 から、次式を得る。 ここで、${\displaystyle p_{i}=p_{i}(\mathbf {q} ,t)}$ $${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)=\mathbf {p} \mathbf {\dot {q}} -{\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t),}$$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} )}$ ${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial {\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}{\partial \mathbf {\dot {q}} }},}$ $${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}={\mathcal {L}}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)-{\frac {\partial S}{\mathbf {\partial q} }}\mathbf {\dot {q}} =-H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)},}$$ ${\displaystyle \mathbf {q} =\xi (t)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} ={\dot {\xi }}(t).}$

あるいは、後述するように、ハミルトン力学からハミルトン・ヤコビ方程式を導くこともできる。これは、古典ハミルトン力学の 標準変換の生成関数として扱うことによって行われる。${\displaystyle S}$ $${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{N};t).}$$

共役運動量は一般化座標に関する 1次導関数に対応する。${\displaystyle S}$ $${\displaystyle p_{k}={\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}.}$$

ハミルトン・ヤコビ方程式の解として、主関数には未定定数が含まれます。最初の未定定数は と表され、最後の未定定数は の積分から得られます。 ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$

と の関係は、位相空間における軌道をこれらの運動定数を用いて記述します。さらに、これらの量 も運動定数であり、これらの方程式を逆転させて、すべてのと定数、および時間の関数としてを求めることができます。^[8]${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ $${\displaystyle \beta _{k}={\frac {\partial S}{\partial \alpha _{k}}},\quad k=1,2,\ldots ,N}$$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

他の力学定式化との比較

ハミルトン・ヤコビ方程式は、一般化座標と時間の関数 に関する単一の一次偏微分方程式である。一般化運動量は、古典作用の微分としてのみ現れる。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle q_{1},\,q_{2},\dots ,q_{N}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S}$

比較のために、ラグランジュ力学における等価なオイラー・ラグランジュの運動方程式にも共役運動量は現れない。しかし、これらの方程式はの連立方程式であり、一般には一般化座標の時間発展に関する2階方程式である。同様に、ハミルトンの運動方程式は、一般化座標とその共役運動量 の時間発展に関する2 Nの1階方程式の連立方程式である。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p_{1},\,p_{2},\dots ,p_{N}}$

HJEはハミルトン原理のような積分最小化問題と等価な表現なので、変分法の他の問題や、より一般的には力学系、シンプレクティック幾何学、量子カオスといった数学や物理学の他の分野でも有用である。例えば、ハミルトン・ヤコビ方程式はリーマン多様体上の測地線を決定するのに使用できる。これはリーマン幾何学における重要な変分問題である。しかし、計算ツールとしては、偏微分方程式を解くのは非常に複雑で、独立変数を分離できる場合を除いて、HJEは計算上有用となる。^{[5] : 444}

正準変換を用いた導出

タイプ2生成関数を含む任意の標準変換は関係につながり 、新しい変数と新しいハミルトニアン に関するハミルトン方程式は同じ形式になります。 ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }},\quad \mathbf {Q} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {P} }},\quad \\&K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} ,\,\mathbf {Q} }$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\partial K \over \partial \mathbf {Q} },\quad {\dot {\mathbf {Q} }}=+{\partial K \over \partial \mathbf {P} }.}$$

HJEを導出するには、新しいハミルトニアンが となるような生成関数を選択します。したがって、そのすべての導関数もゼロとなり、変換されたハミルトン方程式は自明となり 、新しい一般化座標と運動量は運動定数となります。これらは定数であるため、この文脈では、新しい一般化運動量は通常 と表記されます。つまり、新しい一般化座標は通常と表記されます。 ${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)}$ ${\displaystyle K=0}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}={\dot {\mathbf {Q} }}=0}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \alpha _{1},\,\alpha _{2},\dots ,\alpha _{N}}$ ${\displaystyle P_{m}=\alpha _{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle \beta _{1},\,\beta _{2},\dots ,\beta _{N}}$ ${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}}$

生成関数をハミルトンの主関数に任意の定数を加えた値に設定すると、 HJEが自動的に発生する。 ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle G_{2}(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=S(\mathbf {q} ,t)+A,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {p} ={\frac {\partial G_{2}}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\\[1ex]\rightarrow {}&H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)+{\partial G_{2} \over \partial t}=0\\[1ex]\rightarrow {}&H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }},t\right)}+{\partial S \over \partial t}=0.\end{aligned}}}$$

を解くと、 わかりやすいように成分で書かれた 便利な方程式 や${\displaystyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}$ $${\displaystyle \mathbf {Q} ={\boldsymbol {\beta }}={\partial S \over \partial {\boldsymbol {\alpha }}},}$$ $${\displaystyle Q_{m}=\beta _{m}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)}{\partial \alpha _{m}}}.}$$

理想的には、これらのN方程式を逆転させて、定数およびの関数として元の一般化座標を 見つけ、元の問題を解決できます。 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }},\,{\boldsymbol {\beta }},}$ ${\displaystyle t}$

変数の分離

問題が加法的な変数分離を許す場合、HJEは直接的に運動定数へと導く。例えば、ハミルトニアンが時間に明示的に依存しない場合、時間tは分離可能である。その場合、 HJEにおける時間微分は定数でなければならず、通常は( )と表記され、分離された解を与える。 ここで、時間に依存しない関数は、略式作用またはハミルトン特性関数^{[5] :434}、あるいは^{[9] :607}と 呼ばれることもある（作用原理名を参照）。簡約されたハミルトン・ヤコビ方程式は次のように書ける。 ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}}$ ${\displaystyle -E}$ $${\displaystyle S=W(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{N})-Et}$$ ${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle S_{0}}$ $${\displaystyle H{\left(\mathbf {q} ,{\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}\right)}=E.}$$

他の変数の分離可能性を説明するために、ある一般化座標 とその導関数が ハミルトニアンにおいて 単一の関数として現れると仮定する。 ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}}$ $${\displaystyle \psi {\left(q_{k},{\frac {\partial S}{\partial q_{k}}}\right)}}$$ $${\displaystyle H=H(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N};p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_{N};\psi ;t).}$$

その場合、関数Sは2つの関数に分割することができ、1つはq _kのみに依存し、もう1つは残りの一般化座標のみに依存する。 $${\displaystyle S=S_{k}(q_{k})+S_{\text{rem}}(q_{1},\ldots ,q_{k-1},q_{k+1},\ldots ,q_{N},t).}$$

これらの式をハミルトン・ヤコビ方程式に代入すると、関数ψは定数（ここでは と表記）でなければならないことが示され、次の1階常微分方程式が得られる。${\displaystyle \Gamma _{k}}$ ${\displaystyle S_{k}(q_{k}),}$

$${\displaystyle \psi {\left(q_{k},{\frac {dS_{k}}{dq_{k}}}\right)}=\Gamma _{k}.}$$

幸運なケースでは、関数は完全に関数に分離できる。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S_{m}(q_{m}),}$ $${\displaystyle S=S_{1}(q_{1})+S_{2}(q_{2})+\cdots +S_{N}(q_{N})-Et.}$$

このような場合、問題は常微分方程式に移行します。 ${\displaystyle N}$

Sの分離可能性は、ハミルトニアンと一般化座標の選択の両方に依存する。直交座標と、時間依存性を持たず一般化運動量に関して2次のハミルトニアンの場合、各座標におけるポテンシャルエネルギー項に、ハミルトニアンの対応する運動量項における座標依存係数を乗じた値（シュテッケル条件）が各座標において加法的に分離可能である場合、S は完全に分離可能となる。説明のために、次の節では直交座標におけるいくつかの例を扱う。 ${\displaystyle S}$

さまざまな座標系の例

球座標

球座標では、保存ポテンシャルU内を運動する自由粒子のハミルトニアンは次のように書ける。 $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left[p_{r}^{2}+{\frac {p_{\theta }^{2}}{r^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{2}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right]+U(r,\theta ,\phi ).}$$

ハミルトン・ヤコビ方程式は、これらの座標において、類似の形式で書ける 関数が存在する限り、完全に分離可能である。${\displaystyle U_{r}(r),U_{\theta }(\theta ),U_{\phi }(\phi )}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=U_{r}(r)+{\frac {U_{\theta }(\theta )}{r^{2}}}+{\frac {U_{\phi }(\phi )}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}.}$$

完全に分離された溶液を HJEに 代入すると、$${\displaystyle S=S_{r}(r)+S_{\theta }(\theta )+S_{\phi }(\phi )-Et}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+2mU_{\theta }(\theta )\right]+{\frac {1}{2mr^{2}\sin ^{2}\theta }}\left[\left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )\right]=E.}$$

この方程式は、ハミルトン・ヤコビ方程式から依存性を 消去する運動定数である 、の方程式から始めて、常微分方程式を連続的に積分することによって解くことができる。${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\phi }}{d\phi }}\right)^{2}+2mU_{\phi }(\phi )=\Gamma _{\phi }}$$ ${\displaystyle \Gamma _{\phi }}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {1}{2mr^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }\right]=E.}$$

次の常微分方程式には一般化座標が含まれます。 ここでもは運動の定数であり、これによって依存性が排除され、HJE が最終的な常微分方程式に簡約されます。 この方程式を積分すると の解が完成します。 ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left({\frac {dS_{\theta }}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {2m}{\sin ^{2}\theta }}U_{\theta }(\theta )+\Gamma _{\phi }=\Gamma _{\theta }}$$ ${\displaystyle \Gamma _{\theta }}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{r}}{dr}}\right)^{2}+U_{r}(r)+{\frac {\Gamma _{\theta }}{2mr^{2}}}=E}$$ ${\displaystyle S}$

楕円円筒座標

楕円円筒座標におけるハミルトニアンは、楕円の焦点が-軸上の に位置する 場合に書き表される 。ハミルトン・ヤコビ方程式は、 が類似の形を持つという条件のもと、これらの座標において完全に分離可能である。 ここで、、は任意関数である。この完全に分離された解を HJEに代入すると、次式が得られる 。 $${\displaystyle H={\frac {p_{\mu }^{2}+p_{\nu }^{2}}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\mu ,\nu ,z)}$$ ${\displaystyle \pm a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U(\mu ,\nu ,z)={\frac {U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}+U_{z}(z)}$$ ${\displaystyle U_{\mu }(\mu )}$ ${\displaystyle U_{\nu }(\nu )}$ ${\displaystyle U_{z}(z)}$ $${\displaystyle S=S_{\mu }(\mu )+S_{\nu }(\nu )+S_{z}(z)-Et}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+{\frac {1}{2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}\right]&\\{}+U_{z}(z)+{\frac {1}{\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}\left[U_{\mu }(\mu )+U_{\nu }(\nu )\right]&=E.\end{aligned}}}$$

最初の常微分方程式 を分離すると 、簡約されたハミルトン・ヤコビ方程式が得られます（並べ替えて両辺に分母を乗算した後）。 この方程式自体は、2 つの独立した常微分方程式 に分離でき 、これを解くと の完全な解が得られます。 $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}+2ma^{2}U_{\mu }(\mu )+2ma^{2}U_{\nu }(\nu )=2ma^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left({\frac {dS_{\mu }}{d\mu }}\right)^{2}&\,+\,&2ma^{2}U_{\mu }(\mu )&\,+\,&2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sinh ^{2}\mu &=\,&\Gamma _{\mu }\\\left({\frac {dS_{\nu }}{d\nu }}\right)^{2}&\,+\,&2ma^{2}U_{\nu }(\nu )&\,+\,&2ma^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)\sin ^{2}\nu &=\,&\Gamma _{\nu }\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle S}$

放物面円筒座標

放物面円筒座標におけるハミルトニアンは次のように書ける。 $${\displaystyle H={\frac {p_{\sigma }^{2}+p_{\tau }^{2}}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+U(\sigma ,\tau ,z).}$$

ハミルトン・ヤコビ方程式は、これらの座標において、 、、 が任意の関数 であるような類似の形を持つ 限り、完全に分離可能である。この完全に分離された解を HJEに代入すると、次の式が得られる 。${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U(\sigma ,\tau ,z)={\frac {U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}+U_{z}(z)}$$ ${\displaystyle U_{\sigma }(\sigma )}$ ${\displaystyle U_{\tau }(\tau )}$ ${\displaystyle U_{z}(z)}$ $${\displaystyle S=S_{\sigma }(\sigma )+S_{\tau }(\tau )+S_{z}(z)-Et+{\text{constant}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+{\frac {1}{2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left[\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}\right]&\\{}+U_{z}(z)+{\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )\right]&=E.\end{aligned}}}$$

最初の常微分方程式 を分離すると 、簡約されたハミルトン・ヤコビ方程式が得られます（並べ替えて両辺に分母を乗算した後）。 この方程式自体は、2 つの独立した常微分方程式 に分離でき 、これを解くと の完全な解が得られます。 $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\frac {dS_{z}}{dz}}\right)^{2}+U_{z}(z)=\Gamma _{z}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}+\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}+2m\left[U_{\sigma }(\sigma )+U_{\tau }(\tau )\right]=2m\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\left(E-\Gamma _{z}\right)}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\left({\frac {dS_{\sigma }}{d\sigma }}\right)^{2}&+\,&2mU_{\sigma }(\sigma )&+\,&2m\sigma ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)&=\,&\Gamma _{\sigma }\\\left({\frac {dS_{\tau }}{d\tau }}\right)^{2}&+\,&2mU_{\tau }(\tau )&+\,&2m\tau ^{2}\left(\Gamma _{z}-E\right)&=\,&\Gamma _{\tau }\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle S}$

波と粒子

光波面と軌跡

HJEは、軌跡と波面の二重性を確立する。^[10]例えば、幾何光学では、光は「光線」と波のどちらとしても考えることができる。波面は、時刻 に放射された光が時刻 に到達した面として定義できる。光線と波面は二重性を持ち、一方が分かれば、他方を推測することができる。 ${\textstyle {\mathcal {C}}_{t}}$ ${\textstyle t=0}$ ${\textstyle t}$

より正確には、幾何光学は変分問題であり、「作用」は経路に沿った移動時間であり、媒質の屈折率、無限小の弧長です。上記の定式化から、オイラー・ラグランジュの定式化を用いて光線の経路を計算することができます。あるいは、ハミルトン・ヤコビ方程式を解くことで波面を計算することもできます。どちらか一方を知ることで、もう一方を知ることができます。 ${\textstyle T}$ $${\displaystyle T={\frac {1}{c}}\int _{A}^{B}n\,ds}$$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle ds}$

上記の双対性は非常に一般的であり、変分原理から派生するすべてのシステムに適用されます。オイラー–ラグランジュ方程式を使用して軌道を計算するか、ハミルトン–ヤコビ方程式を使用して波面を計算します。

時刻 における初期状態が である系の、時刻における波面は、となる点の集合として定義されます。 が既知であれば、運動量は直ちに推定されます。 ${\textstyle t}$ ${\textstyle \mathbf {q} _{0}}$ ${\textstyle t_{0}}$ ${\textstyle \mathbf {q} }$ ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)={\text{const}}}$ ${\textstyle S(\mathbf {q} ,t)}$ $${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S}{\partial \mathbf {q} }}.}$$

が分かれば、軌道の接線は について方程式を解くことで計算されます。ここではラグランジアンです。軌道は の情報から復元されます。 ${\textstyle \mathbf {p} }$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ $${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}={\boldsymbol {p}}}$$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$ ${\textstyle {\mathcal {L}}}$ ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}}$

シュレーディンガー方程式との関係

関数の等値面は、任意の時刻tで決定できます。時間の関数としての -等値面の運動は、等値面上の点を始点とする粒子の運動によって定義されます。このような等値面の運動は、波動方程式に厳密には従いませんが、 -空間を移動する波として考えることができます。これを示すために、S を波の 位相とします。 ここで、は指数引数を無次元化するために導入された定数（プランク定数）です。波の振幅の変化は、 を複素数とすることで表すことができます。ハミルトン・ヤコビ方程式は と書き直され、 これはシュレーディンガー方程式 です。 ${\displaystyle S(\mathbf {q} ,t)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ $${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{iS/\hbar }}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -U\psi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}}$$

逆に、シュレーディンガー方程式と の仮定から出発して、次のように推論することができる^[11]${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}{\frac {\nabla ^{2}\psi _{0}}{\psi _{0}}}.}$$

上記のシュレーディンガー方程式の古典極限（）は、ハミルトン・ヤコビ方程式の次の変形と同一となる。 ${\displaystyle \hbar \rightarrow 0}$ $${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left(\nabla S\right)^{2}+U+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}$$

アプリケーション

重力場におけるHJE

曲がった空間を移動する静止質量 を持つ粒子に対する^[12]の形のエネルギー-運動量関係を用いると、 はアインシュタイン場の方程式から解かれた計量テンソル（すなわち逆計量）の反変座標であり、は光速 である。4元運動量を作用の4元勾配に等しく設定すると、 計量 によって決定される幾何学、 すなわち重力場 におけるハミルトン・ヤコビ方程式が得られる。 $${\displaystyle g^{\alpha \beta }P_{\alpha }P_{\beta }-(mc)^{2}=0}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P_{\alpha }}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle P_{\alpha }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}}$$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g^{\alpha \beta }{\frac {\partial S}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\beta }}}-(mc)^{2}=0,}$$

電磁場におけるHJE

真空中の四元ポテンシャル を持つ電磁場中を運動する静止質量 と電荷を持つ粒子の場合、計量テンソルによって決定される幾何学におけるハミルトン・ヤコビ方程式は形を持ち 、ハミルトン主作用関数について解くことで粒子の軌道と運動量のさらなる解を得ること ができる。 ^[13] ここで、ベクトルポテンシャルのサイクル平均 である。${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle A_{i}=(\phi ,\mathrm {A} )}$ ${\displaystyle g^{ik}=g_{ik}}$ $${\displaystyle g^{ik}\left({\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}+{\frac {e}{c}}A_{i}\right)\left({\frac {\partial S}{\partial x^{k}}}+{\frac {e}{c}}A_{k}\right)=m^{2}c^{2}}$$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{z}\,d\xi ,&y&=-{\frac {e}{c\gamma }}\int A_{y}\,d\xi ,\\[1ex]z&=-{\frac {e^{2}}{2c^{2}\gamma ^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,&\xi &=ct-{\frac {e^{2}}{2\gamma ^{2}c^{2}}}\int \left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right)\,d\xi ,\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {e}{c}}A_{x},&p_{y}&=-{\frac {e}{c}}A_{y},\\[1ex]p_{z}&={\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),&{\mathcal {E}}&=c\gamma +{\frac {e^{2}}{2\gamma c}}\left(\mathrm {A} ^{2}-{\overline {\mathrm {A} ^{2}}}\right),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \xi =ct-z}$ ${\displaystyle \gamma ^{2}=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}}{c^{2}}}{\overline {A}}^{2}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}}$

円偏波

円偏波の場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{x}&=E_{0}\sin \omega \xi _{1},&E_{y}&=E_{0}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]A_{x}&={\frac {cE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&A_{y}&=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1}.\end{aligned}}}$$

したがって $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},&y&=-{\frac {ecE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},\\[1ex]p_{x}&=-{\frac {eE_{0}}{\omega }}\cos \omega \xi _{1},&p_{y}&={\frac {eE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},\end{aligned}}}$$

ここで、これは、粒子が磁場ベクトルに沿った 方向の、一定の半径と不変の運動量値を持つ円軌道に沿って移動することを意味します。${\displaystyle \xi _{1}=\xi /c}$ ${\displaystyle ecE_{0}/\gamma \omega ^{2}}$ ${\displaystyle eE_{0}/\omega ^{2}}$

単色直線偏波平面波

平坦で単色の直線偏波の場合、軸に沿って電界が向くため 、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{y}&=E_{0}\cos \omega \xi _{1},&A_{y}&=-{\frac {cE_{0}}{\omega }}\sin \omega \xi _{1},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{const}},\\[1ex]y&=y_{0}\cos \omega \xi _{1},&y_{0}&=-{\frac {ecE_{0}}{\gamma \omega ^{2}}},\\[1ex]z&=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},&C_{z}&={\frac {eE_{0}}{8\gamma \omega }},\\[1ex]\gamma ^{2}&=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}E_{0}^{2}}{2\omega ^{2}}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=0,\\[1ex]p_{y}&=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},&p_{y,0}&={\frac {eE_{0}}{\omega }},\\[1ex]p_{z}&=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1}\end{aligned}}}$$

これは、粒子の軌道が電場ベクトルに沿って軸を向いた 8 の字を描くことを意味します。 ${\displaystyle E}$

ソレノイド磁場を持つ電磁波

軸方向（ソレノイド状）磁場を持つ電磁波の場合：^[14] したがって、 有効半径、誘導率、巻数、そしてソレノイド巻線を流れる電流値を持つソレノイド内の磁場の強さは となる 。ソレノイド磁場の軸対称性により、粒子の運動は、ソレノイド軸に垂直な平面内で任意の方位角を持つ8の字軌道に沿って発生する。 $${\displaystyle E=E_{\phi }={\frac {\omega \rho _{0}}{c}}B_{0}\cos \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle A_{\phi }=-\rho _{0}B_{0}\sin \omega \xi _{1}=-{\frac {L_{s}}{\pi \rho _{0}N_{s}}}I_{0}\sin \omega \xi _{1},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\text{constant}},\\y&=y_{0}\cos \omega \xi _{1},&y_{0}&=-{\frac {e\rho _{0}B_{0}}{\gamma \omega }},\\z&=C_{z}y_{0}\sin 2\omega \xi _{1},&C_{z}&={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{8c\gamma }},\\\gamma ^{2}&=m^{2}c^{2}+{\frac {e^{2}\rho _{0}^{2}B_{0}^{2}}{2c^{2}}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{x}&=0,\\p_{y}&=p_{y,0}\sin \omega \xi _{1},&p_{y,0}&={\frac {e\rho _{0}B_{0}}{c}},\\p_{z}&=-2C_{z}p_{y,0}\cos 2\omega \xi _{1},\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle B_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle L_{s}}$ ${\displaystyle N_{s}}$ ${\displaystyle I_{0}}$ ${\displaystyle yz}$ ${\displaystyle \varphi }$

参照

• 数学ポータル
• 物理学ポータル

• 標準変換
• 運動定数
• ハミルトンベクトル場
• ハミルトン・ヤコビ・アインシュタイン方程式
• WKB近似
• 作用角座標

参考文献

1. ゴールドスタイン、ハーバート（1980年）『古典力学』（第2版）アディソン・ウェスレー社、マサチューセッツ州レディング、pp.  484– 492. ISBN 978-0-201-02918-5。（特に491ページの最後の段落から始まる議論）
2. 桜井, JJ (1994).現代量子力学（改訂版）. マサチューセッツ州レディング: アディソン・ウェスレー. pp.  103– 107. ISBN 0-201-53929-2。
3. ルドルフ・E・カルマン (1963). 「最適制御理論と変分法」. リチャード・ベルマン編著. 『数学的最適化技術』 . バークレー: カリフォルニア大学出版局. pp.  309– 331. OCLC  1033974.
4. Hand, LN; Finch, JD (2008).解析力学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-57572-0。
5. ゴールドスタイン, ハーバート; プール, チャールズ P.; サフコ, ジョン L. (2008).古典力学(3, [後期] 版). サンフランシスコ・ミュンヘン: アディソン・ウェスレー. ISBN 978-0-201-65702-9。
6. クーパースミス、ジェニファー（2017年）『怠惰な宇宙：最小作用の原理入門』オックスフォード大学出版局（イギリス）／ニューヨーク市（ニューヨーク州）ISBN 978-0-19-874304-0。
7. Hand, LN; Finch, JD (2008).解析力学. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-57572-0。
8. ゴールドスタイン、ハーバート（ 1980年）『古典力学』（第2版）アディソン・ウェスレー社、マサチューセッツ州レディング、p.440。ISBN 978-0-201-02918-5。
9. Hanc, Jozef; Taylor, Edwin F.; Tuleja, Slavomir (2005-07-01). 「1次元および2次元における変分力学」 . American Journal of Physics . 73 (7): 603– 610. Bibcode :2005AmJPh..73..603H. doi :10.1119/1.1848516. ISSN  0002-9505.
10. Houchmandzadeh, Bahram (2020). 「ハミルトン・ヤコビ方程式：代替アプローチ」. American Journal of Physics . 85 (5) 10.1119/10.0000781. arXiv : 1910.09414 . Bibcode :2020AmJPh..88..353H. doi :10.1119/10.0000781. S2CID  204800598.
11. ゴールドスタイン、ハーバート（1980年）『古典力学』（第2版）アディソン・ウェスレー社、マサチューセッツ州レディング、pp.  490– 491. ISBN 978-0-201-02918-5。
12. ウィーラー、ジョン、ミスナー、チャールズ、ソーン、キップ (1973). 『重力』 WHフリーマン社 pp. 649, 1188. ISBN 978-0-7167-0344-0。
13. Landau, L. ; Lifshitz, E. (1959). 『古典場の理論』 マサチューセッツ州レディング: Addison-Wesley. OCLC  17966515.
14. EV Shun'ko; DE Stevenson; VS Belkin (2014). 「6 eVから100 eVの範囲でプラズマ電子エネルギーを制御可能な誘導結合プラズマリアクター」. IEEE Transactions on Plasma Science . 42, part II (3): 774– 785. Bibcode :2014ITPS...42..774S. doi :10.1109/TPS.2014.2299954. S2CID  34765246.

さらに読む

• アーノルド, VI (1989).古典力学の数学的手法（第2版）. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 0-387-96890-3。
• ハミルトン, W. (1833). 「光と惑星の軌道を特性関数の係数で表す一般的な方法について」(PDF) .ダブリン大学評論: 795–826 .
• ハミルトン, W. (1834). 「光学に応用された一般的な数学的手法の力学への応用について」(PDF) .英国協会報告書: 513–518 .
• フェッター、A. & ワレッカ、J. (2003).粒子と連続体の理論力学. ドーバーブックス. ISBN 978-0-486-43261-8。
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975).力学. アムステルダム: Elsevier.
• 桜井, JJ (1985).現代量子力学. ベンジャミン/カミングス出版. ISBN 978-0-8053-7501-5。
• Jacobi、CGJ (1884)、Vorlesungen über Dynamik、CGJ Jacobi's Gesammelte Werke (ドイツ語)、ベルリン: G. Reimer、OL  14009561M
• 中根美千代フレイザー、クレイグ G. (2002)。 「ハミルトン・ヤコビ力学の初期の歴史」。ケンタウルス座。44 ( 3–4 ): 161–227 .土井:10.1111/j.1600-0498.2002.tb00613.x。PMID  17357243。