ハミルトン制約

ハミルトン制約は、ハミルトン定式化を許容し、再パラメータ化不変であるあらゆる理論から生じる。一般相対論におけるハミルトン制約は、重要な非自明な例である。

一般相対論の文脈において、ハミルトン拘束条件は、厳密には、空間座標と時間座標の両方における理論の再パラメータ化可能性を反映した、空間微分同相拘束条件と時間微分同相拘束条件の線形結合を指します。しかし、多くの場合、ハミルトン拘束条件という用語は、時間微分同相拘束条件を生成する拘束条件を指すために用いられます。

最も単純な例: パラメータ化された時計と振り子のシステム

パラメータ化

古典力学の通常の説明では、時間は独立変数として特別な役割を与えられているように見える。しかし、これは必ずしも必要ではない。時間変数を共通の、しかし未指定のパラメータ変数でパラメータ化することにより、時間変数を拡張位相空間内の他の変数と同じ立場で扱うように力学を定式化することができる。位相空間変数は、同じ立場にある。

時計の時刻の読みと振り子の伸びの間のさまざまな相関関係をラベル付けする非物理的なパラメータとして導入します。は非物理的なパラメータであり、さまざまな選択肢があります。${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \tau }$

単振動する振り子と時計からなるシステムを例に挙げましょう。このシステムは、xを時間の関数として定義した位置x=x(t)で古典的に記述できますが、xとtの関係を直接指定せずに、x( )とt( )で記述することも可能です。この場合、xとtはパラメータによって決定されますが、パラメータはシステムの単なるパラメータであり、それ自体には客観的な意味を持たない可能性があります。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$

このシステムは、中心からの振り子の位置（ ）と、時計の読み（ ）で記述されます。架空のパラメータ を導入することで、これらの変数を同じ土台に置きます。このパラメータ の に対する変化は、 変位と時計の読みの間のあらゆる可能な相関関係を連続的に示します。明らかに、変数 は 任意の単調関数、で置き換えることができます。これが、このシステムを再パラメータ化不変にするものです。この再パラメータ化不変により、理論は の特定の値に対してまたはの値を予測できず、これらの量間の関係のみを予測できることに注意してください。ダイナミクスはこの関係によって決定されます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle x(\tau ),\;\;\;\;t(\tau )}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau '=f(\tau )}$ ${\displaystyle x(\tau )}$ ${\displaystyle t(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$

この再パラメータ化不変システムのダイナミクス

媒介変数付き調和振動子の作用は、 ここで 、およびはそれぞれ標準座標、およびそれらの共役運動量であり、拡張された位相空間を表す（この式から通常のニュートン方程式を復元できることを示す）。作用を次のように書き表す と、 $${\displaystyle S=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-\lambda \left(p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right)\right],}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{t}}$ $${\displaystyle S=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-{\mathcal {H}}(x,t;p,p_{t})\right]}$$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {H}}(x,t,\lambda ;p,p_{t})=\lambda \left(p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right).}$$

ハミルトンの方程式は制約 を与える。 ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle {\partial {\mathcal {H}} \over \partial \lambda }=0}$$ $${\displaystyle C=p_{t}+{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}=0.}$$

${\displaystyle C}$ はハミルトン制約です! これはオイラー–ラグランジュの運動方程式からも得られます。ただし、作用は に依存しますが、その導関数には依存しません。すると、拡張位相空間変数、、、は、拡張位相空間のこの制約超面上の値を取るように制約されます。 を「スミア」ハミルトン制約と呼びます。ここでは任意の数です。「スミア」ハミルトン制約は、拡張位相空間変数（またはその関数）が に関してどのように発展するかを示します。 (これらは実際には別のハミルトン方程式です)。これらの方程式は、位相空間におけるフローまたは軌道を記述します。一般に、 任意の位相空間関数 に対して が成り立ちます。ハミルトン制約ポアソンはそれ自身と可換であるため、それ自体と制約超面が保存されます。とのような測定可能な量の間の可能な相関関係は、制約面内で制約によって生成される「軌道」に対応します。各特定の軌道は、ある瞬間にととともにの値を測定することによって互いに区別されます。特定の軌道を決定した後、 の各測定値について、 の値が取る 値を予測できます。${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{t}}$ ${\displaystyle \lambda C}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \tau }$ $${\displaystyle {dx \over d\tau }=\{x,\lambda C\},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=\{p,\lambda C\}\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }=\{t,\lambda C\},\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }=\{p_{t},\lambda C\}}$$ $${\displaystyle {dF(x,p,t,p_{t}) \over d\tau }=\{F(x,p,t,p_{t}),\lambda C\}}$$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x(\tau )}$ ${\displaystyle t(\tau )}$ ${\displaystyle p(\tau )}$ ${\displaystyle x(\tau )}$ ${\displaystyle t(\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t(\tau )}$ ${\displaystyle x(\tau )}$

デパラメータ化

ハミルトン力学の他の方程式は $${\displaystyle {dx \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial p},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=-{\partial {\mathcal {H}} \over \partial x};\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial p_{t}},\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }={\partial {\mathcal {H}} \over \partial t}.}$$

これらのアクションを代入すると、 $${\displaystyle {dx \over d\tau }=\lambda {p \over m},\;\;\;\;{dp \over d\tau }=-\lambda m\omega ^{2}x;\;\;\;\;\;\;{dt \over d\tau }=\lambda ,\;\;\;\;{dp_{t} \over d\tau }=0,}$$

これらは私たちのシステムを支配する基本的な方程式を表しています。

パラメータ化された時計と振り子のシステムの場合、もちろん、独立変数である通常の運動方程式を復元できます。 ${\displaystyle t}$

そして、次のように推測できる。 ${\displaystyle dx/dt}$ ${\displaystyle dp/dt}$

$${\displaystyle {dx \over dt}={dx \over d\tau }{\Big /}{dt \over d\tau }={\lambda p/m \over \lambda }={p \over m}}$$ $${\displaystyle {dp \over dt}={dp \over d\tau }{\Big /}{dt \over d\tau }={-\lambda m\omega ^{2}x \over \lambda }=-m\omega ^{2}x.}$$

単純な調和振動子の 通常の微分方程式を復元すると、$${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}=-\omega ^{2}x.}$$

また、${\displaystyle dp_{t}/dt=dp_{t}/d\tau {\big /}dt/d\tau =0}$ ${\displaystyle p_{t}=\mathrm {const} .}$

すると、ハミルトニアン制約はエネルギー不変の条件として容易に理解できる。デパラメタライゼーションと、すべての事象がそれに基づいて発展する時間変数の特定は、パラメタライゼーションの逆の過程である。一般に、すべての再パラメタライゼーション不変系がデパラメタライゼーションできるわけではないことが分かる。一般相対論はその代表的な物理的例である（ここで、時空座標は非物理的に対応し、ハミルトニアンは空間と時間の微分同相写像を生成する制約の線形結合である）。 ${\displaystyle \tau }$

ここでデパラメータ化できる理由

デパラメタライズが可能だった根本的な理由は（そもそもそれが人為的な再パラメタライズであったことは既にわかっているが）、制約の数学的形式、すなわち、 $${\displaystyle C=p_{t}+C'(x,p).}$$

得られた元の作用にハミルトン拘束を代入すると、 調和振動子の標準作用が得られます。一般相対論は、ハミルトン拘束が一般に上記の数学的形式をとらない物理理論の一例であり、したがって一般にデパラメタライズすることはできません。 $${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p+{dt \over d\tau }p_{t}-\lambda (p_{t}+C'(x,p))\right]\\&=\int d\tau \left[{dx \over d\tau }p-{dt \over d\tau }C'(x,p)\right]\\&=\int dt\left[{dx \over dt}p-{p^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}x^{2}\right]\end{aligned}}}$$

古典一般相対論のハミルトニアン

一般相対性理論のADM定式化では、時空を空間スライスと時間に分割し、基本変数として、空間スライス上の誘導計量、 （時空計量によって空間スライスに誘導される計量）とその外在曲率に関連する共役運動量変数、（これは空間スライスが時空に対してどのように曲がるかを示し、誘導計量が時間とともにどのように発展するかの尺度である）が取られる。^[1]これらは計量標準座標である。 ${\displaystyle q_{ab}(x)}$ ${\displaystyle K^{ab}(x)}$

場の時間発展などのダイナミクスはハミルトン制約によって制御されます。

ハミルトン制約の正体は量子重力における主要な未解決問題であり、そのような特定の制約から 物理的観測可能なものを抽出することも未解決問題である。

1986年、アベイ・アシュテカーは、3次元空間スライス上の計量正準変数をSU(2)ゲージ場とその相補変数を用いて書き換えるという特異な方法を表現するために、新たな正準変数の集合であるアシュテカー変数を導入した。^[2]この再定式化により、ハミルトニアンは大幅に簡素化された。これは量子一般相対論のループ表現、ひいてはループ量子重力理論につながった。^[3]

ループ量子重力表現の中で、ティーマンはそのような制約条件の提案として数学的に厳密な演算子を定式化した。 ^[4]この演算子は完全かつ一貫性のある量子理論を定義するが、古典的な一般相対性理論との矛盾（量子制約代数は閉じているが、一般相対性理論の^古典的な制約代数とは同型ではなく、これは矛盾の状況証拠と見なされ、矛盾の証明にはまったくならない）のためにこの理論の物理的現実性に関して疑問が提起され（誰によって？）、そのため変種が提案されてきた。

メトリック定式化

そのアイデアは、正準変数 とを量子化し、3次元計量空間上の波動関数に作用する演算子とし、次にハミルトニアン（およびその他の制約）を量子化するというものでした。しかし、このプログラムはすぐに様々な理由から途方もなく困難であるとみなされるようになりました。その一つは、ハミルトニアン制約の非多項式性です。 ここで、は3次元計量 のスカラー曲率です。正準変数とその導関数における非多項式式であるため、量子演算子への昇格は非常に困難です。 ${\displaystyle q_{ab}}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}={\sqrt {q}}(K^{ab}-q^{ab}K_{c}^{c})}$ $${\displaystyle H={\sqrt {\det(q)}}(K_{ab}K^{ab}-(K_{a}^{a})^{2}-{}^{3}R)}$$ ${\displaystyle \;^{3}R}$ ${\displaystyle q_{ab}(x)}$

アシュテカー変数を使用した式

アシュテカー変数の配置変数はゲージ場または接続のように振る舞う。その正準共役運動量はであり、これは密度化された「電場」または三元体（ として密度化される）である。これらの変数は重力とどのような関係があるのだろうか？密度化された三元体を用いて空間計量を再構成することができる。 ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ ${\textstyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$

$${\displaystyle \det(q)q^{ab}={\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}\delta ^{ij}.}$$

稠密化された三つ組は一意ではなく、実際には内部添字に関して空間内で局所的な回転を行うことができる。これがゲージ不変性の起源である。この接続を用いて外在曲率を再構成することができる。関係式は次のように与えられる。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle SU(2)}$

$${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}-iK_{a}^{i}}$$

ここで、 は、 および によってスピン接続、と関連しています。 ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a\;\;i}^{\;\;j}}$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

アシュテカー変数を用いた制約の古典的な表現は、

$${\displaystyle H={\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}.}$$

ここで、ゲージ場の場の強度テンソルである。因子 のため、これはアシュテカー変数に関して非多項式である。条件を課すので、 ${\displaystyle F_{ab}^{k}}$ ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

$${\displaystyle H=0,}$$

代わりに密度化されたハミルトニアンを考えることもできる。

$${\displaystyle {\tilde {H}}={\sqrt {\det(q)}}H=\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}=0.}$$

このハミルトニアンは、アシュテカー変数の多項式になりました。この発展は、正準量子重力計画への新たな希望をもたらしました。^[5]アシュテカー変数はハミルトニアンを簡素化するという利点がありましたが、変数が複素数になるという問題がありました。理論を量子化する場合、複素一般相対論ではなく実一般相対論を確実に回復することは困難な作業です。また、稠密化されたハミルトニアンを量子演算子に昇格させることにも深刻な困難がありました。

現実条件の問題に対処する一つの方法は、符号を 、つまりローレンツ型ではなくユークリッド型とすれば、実変数についてはハミルトニアンの単純な形を維持できることに着目した。そして、ローレンツ型理論を回復するために、いわゆる一般化ウィック回転を定義することができる。 ^[6]一般化というのは、位相空間におけるウィック変換であり、時間パラメータ の解析接続とは無関係であるからである。 ${\displaystyle (+,+,+,+)}$ ${\displaystyle t}$

アシュテカー変数の実数定式化の表現

トーマス・ティーマンは上記の両方の問題に対処した。^[4]彼は実接続

$${\displaystyle A_{a}^{i}=\Gamma _{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}$$

実アシュテカー変数の場合、完全なハミルトニアンは

$${\displaystyle H=-\zeta {\epsilon _{ijk}F_{ab}^{k}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}+2{\zeta \beta ^{2}-1 \over \beta ^{2}}{({\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}-{\tilde {E}}_{j}^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}) \over {\sqrt {\det(q)}}}(A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i})(A_{b}^{j}-\Gamma _{b}^{j})=H_{E}+H'.}$$

ここで定数はバルベロ・イミルジパラメータである。^[7]定数はロレンツシグネチャの場合は-1、ユークリッドシグネチャの場合は+1である。 は稠密化されたトライアドと複雑な関係があり、量子化時に深刻な問題を引き起こす。アシュテカー変数は、2番目のより複雑な項を消すように選択したものと見ることができる（ユークリッド理論では最初の項が の実際の選択に対して残るため と表記される）。また、因子の問題もまだ残っている 。 ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle \beta =i}$ ${\displaystyle H_{E}}$ ${\displaystyle \beta =\pm 1}$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

ティーマンはそれを実際に機能させることができた。まず、彼は等式を使って 面倒な部分を簡素化することができた。${\displaystyle \beta }$ ${\textstyle 1/{\sqrt {\det(q)}}}$

$${\displaystyle \{A_{c}^{k},V\}={\epsilon _{abc}\epsilon ^{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b} \over {\sqrt {\det(q)}}}}$$

音量は どこにありますか${\displaystyle V}$

$${\displaystyle V=\int d^{3}x{\sqrt {\det(q)}}={1 \over 6}\int d^{3}x{\sqrt {\left|{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}{\tilde {E}}_{k}^{c}\epsilon ^{ijk}\epsilon _{abc}\right|}}.}$$

ハミルトン制約の最初の項は

$${\displaystyle H_{E}=\{A_{c}^{k},V\}F_{ab}^{k}{\tilde {\epsilon }}^{abc}}$$

ティーマン恒等式を用いると、このポアソン括弧は量子化によって交換子に置き換えられます。同様のトリックを使って第2項を処理できることが分かります。なぜ稠密化された三項によって が与えられるのでしょうか？これは実際にはガウスの法則から来ています。 ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$

$${\displaystyle D_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0.}$$

これを解くには、レヴィ・チヴィタ接続を方程式から計算するのとほぼ同じ方法、つまり、様々な添え字を回転させて加減算する。結果は複雑で非線形である。この複雑な関係によって生じる問題を回避するために、ティーマンはまずガウスゲージ不変量を定義する。 ${\displaystyle \nabla _{c}g_{ab}=0}$

$${\displaystyle K=\int d^{3}xK_{a}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{a}}$$

ここで、 ${\textstyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{ai}/{\sqrt {\det(q)}}}$

$${\displaystyle K_{a}^{i}=\{A_{a}^{i},K\}.}$$

すると、次のように書くことができる。

$${\displaystyle A_{a}^{i}-\Gamma _{a}^{i}=\beta K_{a}^{i}=\beta \{A_{a}^{i},K\}}$$

そして、配置変数とを用いて表現を求める。ハミルトニアンの第2項は ${\displaystyle A_{a}^{i}}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle H'=\epsilon ^{abc}\epsilon _{ijk}\{A_{a}^{i},K\}\{A_{b}^{j},K\}\{A_{c}^{k},V\}.}$$

なぜ量子化が容易なのでしょうか？それは、量子化の方法が既に分かっている量で書き直すことができるからです。具体的には、次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

$${\displaystyle K=-\left\{V,\int d^{3}xH_{E}\right\}}$$

ここで、外在曲率の積分された密度化されたトレースは「体積の 時間微分」であると考えました。

参考文献

1. ミスナー、チャールズ・W.、ソーン、キップ・S.、ホイーラー、ジョン・アーチボルド著『重力』ニューヨーク：WHフリーマン・アンド・カンパニー。
2. Ashtekar, Abhay (1986-11-03). 「古典重力と量子重力のための新しい変数」. Physical Review Letters . 57 (18). アメリカ物理学会 (APS): 2244– 2247. doi :10.1103/physrevlett.57.2244. ISSN  0031-9007.
3. Rovelli, Carlo; Smolin, Lee (1988-09-05). 「結び目理論と量子重力」. Physical Review Letters . 61 (10). American Physical Society (APS): 1155– 1158. doi :10.1103/physrevlett.61.1155. ISSN  0031-9007.
4. Thiemann, T. (1996). 「非摂動論的4次元ロレンツ量子重力の異常値フリー定式化」. Physics Letters B. 380 ( 3–4 ) . Elsevier BV: 257–264 . arXiv : gr-qc/9606088 . doi :10.1016/0370-2693(96)00532-1. ISSN  0370-2693.
5. この理論とその後の発展に関する詳細は、『 Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity』を参照。初版1991年。World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
6. Thiemann, T (1996-06-01). 「量子ゲージ場理論と量子重力における変換を誘導する実在条件」.古典重力と量子重力. 13 (6). IOP Publishing: 1383– 1403. arXiv : gr-qc/9511057 . doi :10.1088/0264-9381/13/6/012. ISSN  0264-9381.
7. Barbero G., J. Fernando (1995-05-15). 「ロレンツシグネチャ時空における実アシュテカー変数」. Physical Review D. 51 ( 10). American Physical Society (APS): 5507– 5510. arXiv : gr-qc/9410014 . doi :10.1103/physrevd.51.5507. ISSN  0556-2821.

外部リンク

• カルロ・ロヴェッリによる概要
• LQGに関する有益な情報