ハード六角形モデル

統計力学では、ハード六角形モデルは気体の2 次元格子モデルであり、粒子は三角格子の頂点上に存在できますが、2 つの粒子が隣接することはできません。

このモデルはロドニー・バクスター （1980）によって解明され、ロジャース・ラマヌジャン恒等式と関連していることがわかった。

ハードヘキサゴンモデルの分割関数

ハードヘキサゴンモデルは、グランドカノニカルアンサンブルの枠組みの中で現れます。グランドカノニカルアンサンブルでは、粒子（「ヘキサゴン」）の総数は自然に変化することが許され、化学ポテンシャルによって固定されます。ハードヘキサゴンモデルでは、すべての有効な状態はエネルギーゼロであるため、唯一の重要な熱力学的制御変数は化学ポテンシャルと温度の比μ /( kT ) です。この比の指数z = exp( μ /( kT )) は活性と呼ばれ、値が大きいほど密度の高い構成に対応します。

N個のサイトを持つ三角格子の場合、グランド分割関数は

Z（z）＝∑nznグラム（n、北）＝1+北z+12北（北−7）z2+⋯{\displaystyle \displaystyle {\mathcal {Z}}(z)=\sum _{n}z^{n}g(n,N)=1+Nz+{\tfrac {1}{2}}N(N-7)z^{2}+\cdots }

ここで、 g ( n , N ) は、 n個の粒子を格子点に、どの2個も隣接しないように配置する方法の数である。関数κは次のように定義される。

κ（z）＝リム北→∞Z（z）1/北＝1+z−3z2+⋯{\displaystyle \kappa (z)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\mathcal {Z}}(z)^{1/N}=1+z-3z^{2}+\cdots }

したがって、log(κ)は単位サイトあたりの自由エネルギーです。ハードヘキサゴンモデルを解くということは、（大まかに言えば）κをzの関数として正確に表す式を見つけることを意味します。

平均密度ρは、 zが小さい場合、次の ように与えられる。

ρ＝zdログ⁡（κ）dz＝z−7z2+58z3−519z4+4856z5+⋯。{\displaystyle \rho =z{\frac {d\log(\kappa )}{dz}}=z-7z^{2}+58z^{3}-519z^{4}+4856z^{5}+\cdots .}

格子の頂点は、空間を硬い六角形で満たす3つの異なる方法によって、1、2、3の3つのクラスに分類されます。3つの局所密度ρ 1、ρ 2、ρ 3があり、これらは3つのサイトクラスに対応しています。活性が大きい場合、システムはこれら3つの充填のいずれかに近似するため、局所密度は異なりますが、活性が臨界点以下の場合、3つの局所密度は同じになります。低活性の均質相と高活性の秩序相を分ける臨界点は、黄金比φです。臨界点を超えると局所密度は異なり、ほとんどの六角形がタイプ1のサイト上にある相は、次のように展開できます。 zc＝（11+55）/2＝ϕ5＝11.09017....{\displaystyle z_{c}=(11+5{\sqrt {5}})/2=\phi ^{5}=11.09017....}

ρ1＝1−z−1−5z−2−34z−3−267z−4−2037z−5−⋯{\displaystyle \rho _{1}=1-z^{-1}-5z^{-2}-34z^{-3}-267z^{-4}-2037z^{-5}-\cdots }
ρ2＝ρ3＝z−2+9z−3+80z−4+965z−5−⋯。{\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}=z^{-2}+9z^{-3}+80z^{-4}+965z^{-5}-\cdots .}

解決

z  <  z cの小さな値に対する解は次のよう に与えられる。

z＝−×H（×）5G（×）5{\displaystyle \displaystyle z={\frac {-xH(x)^{5}}{G(x)^{5}}}}
κ＝H（×）3質問（×5）2G（×）2∏n≥1（1−×6n−4）（1−×6n−3）2（1−×6n−2）（1−×6n−5）（1−×6n−1）（1−×6n）2{\displaystyle \kappa ={\frac {H(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{G(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{6n-4})(1-x^{6n-3})^{2}(1-x^{6n-2})}{(1-x^{6n-5})(1-x^{6n-1})(1-x^{6n})^{2}}}}
ρ＝ρ1＝ρ2＝ρ3＝−×G（×）H（×6）P（×3）P（×）{\displaystyle \rho =\rho _{1}=\rho _{2}=\rho _{3}={\frac {-xG(x)H(x^{6})P(x^{3})}{P(x)}}}

どこ

G（×）＝∏n≥11（1−×5n−4）（1−×5n−1）{\displaystyle G(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-4})(1-x^{5n-1})}}}
H（×）＝∏n≥11（1−×5n−3）（1−×5n−2）{\displaystyle H(x)=\prod _{n\geq 1}{\frac {1}{(1-x^{5n-3})(1-x^{5n-2})}}}
P（×）＝∏n≥1（1−×2n−1）＝質問（×）/質問（×2）{\displaystyle P(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{2n-1})=Q(x)/Q(x^{2})}
質問（×）＝∏n≥1（1−×n）。{\displaystyle Q(x)=\prod _{n\geq 1}(1-x^{n}).}

z  >  z cが大きい場合、解（占有サイトの大部分がタイプ1である相）は次のように与えられる。

z＝G（×）5×H（×）5{\displaystyle \displaystyle z={\frac {G(x)^{5}}{xH(x)^{5}}}}
κ＝×−13G（×）3質問（×5）2H（×）2∏n≥1（1−×3n−2）（1−×3n−1）（1−×3n）2{\displaystyle \kappa =x^{-{\frac {1}{3}}}{\frac {G(x)^{3}Q(x^{5})^{2}}{H(x)^{2}}}\prod _{n\geq 1}{\frac {(1-x^{3n-2})(1-x^{3n-1})}{(1-x^{3n})^{2}}}}
ρ1＝H（×）質問（×）（G（×）質問（×）+×2H（×9）質問（×9））質問（×3）2{\displaystyle \rho _{1}={\frac {H(x)Q(x)(G(x)Q(x)+x^{2}H(x^{9})Q(x^{9}))}{Q(x^{3})^{2}}}}
ρ2＝ρ3＝×2H（×）質問（×）H（×9）質問（×9）質問（×3）2{\displaystyle \rho _{2}=\rho _{3}={\frac {x^{2}H(x)Q(x)H(x^{9})Q(x^{9})}{Q(x^{3})^{2}}}}
R＝ρ1−ρ2＝質問（×）質問（×5）質問（×3）2。{\displaystyle R=\rho _{1}-\rho _{2}={\frac {Q(x)Q(x^{5})}{Q(x^{3})^{2}}}.}

関数GとH はロジャース・ラマヌジャン恒等式に現れ、関数Qはオイラー関数で、デデキントのイータ関数と密接に関連しています。x = e 2πiτとすると、x −1/60 G ( x )、x 11/60 H ( x )、x −1/24 P ( x )、z、 κ 、 ρ 、 ρ 1、 ρ 2、 ρ 3はτ のモジュラー関数であり、 x 1/24 Q ( x ) は重み 1/2 のモジュラー形式です。任意の 2 つのモジュラー関数は代数関係で関連しているため、関数κ、z、R、ρはすべて互いに（かなり高次の）代数関数であるということを意味します ( Joyce 1988 )。特に、エリック・ワイスタインがハード六角形エントロピー定数（ワイスタイン）と名付けたκ（1）の値は、24次の代数数で1.395485972...（OEISのシーケンスA085851）に等しい。

剛体六角形モデルは、正方格子とハニカム格子上でも同様に定義できる。どちらのモデルにも厳密な解は知られていないが、臨界点z cは正方格子では3.7962 ± 0.0001 、ハニカム格子では7.92 ± 0.08。κ（1）は正方格子では約1.503048082...（OEISの配列A085850）、ハニカム格子では約1.546440708...である（Baxter 1999）。

参考文献

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