ハリシュ・チャンドラのc関数
Function named after Harish Chandra

数学において、ハリシュ・チャンドラのc関数は、半単純リー群のプランシュレル測度に現れる、2 つの主要な級数表現間の絡み合い演算子に関連する関数です。 ハリシュ・チャンドラ(1958a、1958b) は、リー群の帯球面関数 の漸近挙動に基づいて定義されるこの関数の特殊なケースを導入し、ハリシュ・チャンドラ (1970) は、より一般的なc関数であるハリシュ・チャンドラの(一般化) C関数を導入しました。 ギンディキンとカルペレヴィッチ (1962、1969) は、ハリシュ・チャンドラのc関数の積の公式であるギンディキン–カルペレヴィッチの公式を導入しました。

ジンディキン＝カルペレヴィッチの公式

c関数は、ワイル群の元wに依存した一般化c w (λ)を持つ。最大長s 0の唯一の元は 、ワイルチェンバーを へ運ぶ唯一の元である。ハリシュ・チャンドラの積分公式により、c s 0はハリシュ・チャンドラのc関数である。 a + ∗ {\displaystyle {\mathfrak {a}}_{+}^{*}} − a + ∗ {\displaystyle -{\mathfrak {a}}_{+}^{*}}

c ( λ ) = c s 0 ( λ ) . {\displaystyle c(\lambda )=c_{s_{0}}(\lambda ).}

c関数は一般に次の式で定義される 。

A ( s , λ ) ξ 0 = c s ( λ ) ξ 0 , {\displaystyle \displaystyle A(s,\lambda )\xi _{0}=c_{s}(\lambda )\xi _{0},}

ここで、ξ 0は L 2 ( K / M )の定数関数 1 である。絡み合う演算子の共循環性は、c関数にも同様の乗法性があることを示している。

c s 1 s 2 ( λ ) = c s 1 ( s 2 λ ) c s 2 ( λ ) {\displaystyle c_{s_{1}s_{2}}(\lambda )=c_{s_{1}}(s_{2}\lambda )c_{s_{2}}(\lambda )}

提供された

ℓ ( s 1 s 2 ) = ℓ ( s 1 ) + ℓ ( s 2 ) . {\displaystyle \ell (s_{1}s_{2})=\ell (s_{1})+\ell (s_{2}).}

これにより、 c sの計算は、 s = s αの場合、つまり（単純な）根 α における鏡映、いわゆるGindikin & Karpelevich (1962)の「ランク1縮約」に簡約されます。実際には、積分は、 α が Σ 0 +に属する、によって生成されるリー部分代数に対応する閉連結部分群G αのみを対象とします。この場合、G αは実ランク1の実半単純リー群、すなわち dim A α = 1 となり、c sはG αのハリシュ・チャンドラc関数となります。この場合、c関数は直接計算でき、次のように与えられます。 g ± α {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\pm \alpha }}

c s α ( λ ) = c 0 2 − i ( λ , α 0 ) Γ ( i ( λ , α 0 ) ) Γ ( 1 2 ( 1 2 m α + 1 + i ( λ , α 0 ) ) Γ ( 1 2 ( 1 2 m α + m 2 α + i ( λ , α 0 ) ) , {\displaystyle c_{s_{\alpha }}(\lambda )=c_{0}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}

どこ

c 0 = 2 m α / 2 + m 2 α Γ ( 1 2 ( m α + m 2 α + 1 ) ) {\displaystyle c_{0}=2^{m_{\alpha }/2+m_{2\alpha }}\Gamma \left({1 \over 2}(m_{\alpha }+m_{2\alpha }+1)\right)}

そしてα 0 =α/〈α,α〉である。

c (λ)の一般的なギンディキン・カルペレヴィッチの式は、この式とc s (λ) の乗法特性から直接導かれ、​​次のようになります。

c ( λ ) = c 0 ∏ α ∈ Σ 0 + 2 − i ( λ , α 0 ) Γ ( i ( λ , α 0 ) ) Γ ( 1 2 ( 1 2 m α + 1 + i ( λ , α 0 ) ) Γ ( 1 2 ( 1 2 m α + m 2 α + i ( λ , α 0 ) ) , {\displaystyle c(\lambda )=c_{0}\prod _{\alpha \in \Sigma _{0}^{+}}{2^{-i(\lambda ,\alpha _{0})}\Gamma (i(\lambda ,\alpha _{0})) \over \Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+1+i(\lambda ,\alpha _{0}))\Gamma ({1 \over 2}({1 \over 2}m_{\alpha }+m_{2\alpha }+i(\lambda ,\alpha _{0}))},}

ここで定数c 0はc (–iρ)=1となるように選択される（Helgason 2000、p.447）。

プランシュレル尺度

c関数は球面関数のプランシュレル定理に現れ、プランシュレル測度はルベーグ測度の1/ c 2倍です。

p進リー群

p進リー群にも同様のc関数が存在する。Macdonald (1968, 1971)とLanglands (1971)は、p進リー群のc関数に対して類似の積の公式を発見した。

参考文献

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  • ロバート・S・ドラン、VS・バラダラジャン編（2000年）、ハリシュ＝チャンドラの数学的遺産、ハリシュ＝チャンドラ生誕75周年を記念して1998年1月9日～10日にメリーランド州ボルチモアで開催された、表現論と非可換調和解析に関するAMS特別セッションの議事録、純粋数学シンポジウム第68巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. xii+551、ISBN 978-0-8218-1197-9、MR  1767886
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  • Harish-Chandra (1958b)、「半単純リー群上の球面関数 II」、American Journal of Mathematics、80 (3)、ジョンズ・ホプキンス大学出版局: 553– 613、doi :10.2307/2372772、ISSN  0002-9327、JSTOR  2372772
  • ハリシュ＝チャンドラ（1970）「半単純リー群の調和解析」アメリカ数学会誌、76（3）：529–551、doi：10.1090/S0002-9904-1970-12442-9、ISSN  0002-9904、MR  0257282
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  • Knapp, Anthony W. (2003), 「ギンディキン-カルペレヴィッチの公式と絡み合う作用素」、ギンディキン編『リー群と対称空間。FIカルペレヴィッチ追悼』アメリカ数学会訳第2巻第210号、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp.  145– 159、ISBN 978-0-8218-3472-5、MR  2018359
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  • ウォラック、ノーラン・R (1975)、「ハリシュ・チャンドラの一般化C関数について」、アメリカ数学誌、97 (2): 386– 403、doi :10.2307/2373718、ISSN  0002-9327、JSTOR  2373718、MR  0399357
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