調和的尺度

数学、特にポテンシャル理論において、調和測度は古典的なディリクレ問題の解決から生じる調和関数の理論に関連した概念です。

調和測度はブラウン運動の出口分布である

確率論において、ユークリッド空間 の有界領域の境界の部分集合の調和測度とは、領域内で開始されたブラウン運動がその境界の部分集合に当たる確率である。より一般的には、伊藤拡散Xの調和測度は、 XがDの境界に当たるときの分布を記述する。複素平面において、調和測度は、領域の境界上の絶対値の境界が与えられた場合に、領域D内の解析関数の絶対値を推定するために使用できる。この原理の特殊なケースは、アダマールの 3 円定理である。単連結な平面領域では、調和測度と等角写像の理論は密接に関連している。 ${\displaystyle R^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

調和測度という用語は、1928年にロルフ・ネヴァンリンナによって平面領域に対して導入されたが^{[ 1 ] [ 2 ]}、ネヴァンリンナは、この概念がヨハンソン、F・リース、M・リース、カールマン、オストロフスキー、ジュリア（原文の引用順）による初期の研究において暗黙のうちに現れていたと指摘している。調和測度とブラウン運動の関連性は、10年後の1944年に角谷によって初めて特定された。^{[ 3 ]}

意味

D をn次元ユークリッド空間R ⁿ（n  ≥ 2 ）の有界開領域とし、∂ DをDの境界とする。任意の連続関数f  : ∂ D  →  R は、ディリクレ問題を解く唯一の調和関数H _{fを決定する。}

${\displaystyle {\begin{cases}-\Delta H_{f}(x)=0,&x\in D;\\H_{f}(x)=f(x),&x\in \partial D.\end{cases}}}$

点x  ∈  Dが固定されている場合、リース・マルコフ・角谷の表現定理と最大値原理により、 H _f ( x ) は∂ D上の確率測度ω ( x ,  D ) を次のように 決定する。

$\displaystyle H_{f}(x)=\int _{\partial D}f(y)\,\mathrm {d} \omega (x,D)(y).$

測度ω ( x ,  D ) は調和測度( xに極を持つ領域Dの) と呼ばれます。

プロパティ

• ∂ Dの任意のボレル部分集合Eに対して、調和測度ω ( x ,  D )( E ) は、境界データがEの指示関数に等しいディリクレ問題の解のxにおける値に等しくなります。
• DとE⊆∂D を固定すると、ω ( x ,  D )( E ) は x∈Dの調和関数となり、

${\displaystyle 0\leq \omega (x,D)(E)\leq 1;}$

${\displaystyle 1-\omega (x,D)(E)=\omega (x,D)(\partial D\setminus E);}$

したがって、各xとDに対して、ω ( x ,  D )は∂D上の確率測度です。

• Dの1点xにおいてさえω ( x ,  D )( E ) = 0となる場合、 は恒等的にゼロとなり、この場合Eは調和測度ゼロの集合と呼ばれる。これはハルナックの不等式から得られる。${\displaystyle y\mapsto \omega (y,D)(E)}$

通常、調和測度の明示的な式は利用できないため、集合が調和測度ゼロを持つことを保証する条件を決定することに興味があります。

• F. と M. Riesz の定理: ^{[ 4 ]}が直線で囲まれた単連結平面領域である場合(つまり の場合)、調和測度は弧の長さに関して互いに絶対連続です。すべての に対して、の場合に限ります。${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle H^{1}(\partial D)<\infty }$ ${\displaystyle E\subset \partial D}$ ${\displaystyle \omega (X,D)(E)=0}$ ${\displaystyle H^{1}(E)=0}$
• マカロフの定理：^{[ 5 ]}を単連結平面領域とする。もしかつある に対してならば、 となる。さらに、D上の調和測度は、すべてのt > 1 に対して、 t次元ハウスドルフ測度 に関して互いに特異である 。${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle E\subset \partial D}$ ${\displaystyle H^{s}(E)=0}$ ${\displaystyle s<1}$ ${\displaystyle \omega (x,D)(E)=0}$

• ダールバーグの定理: ^{[ 6 ]}が有界リプシッツ領域である場合、調和測度と( n  −1)次元ハウスドルフ測度は互いに絶対連続である。すべての に対して、の場合に限り、 である。${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle E\subset \partial D}$ ${\displaystyle \omega (X,D)(E)=0}$ ${\displaystyle H^{n-1}(E)=0}$

例

• が単位円板である場合、原点に極がある の調和測度は、確率 に正規化された単位円上の長さ測度、すなわち、すべての に対して となります。ここで、は の長さを表します。${\displaystyle \mathbb {D} =\{X\in \mathbb {R} ^{2}:|X|<1\}}$ ${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \omega (0,\mathbb {D} )(E)=|E|/2\pi }$ ${\displaystyle E\subset S^{1}}$ ${\displaystyle |E|}$ ${\displaystyle E}$
• が単位円板でならば、すべての に対して が成り立ちます。ここで は単位円上の長さの測度を表します。ラドン・ニコディム微分はポアソン核と呼ばれます。${\displaystyle \mathbb {D} }$ ${\displaystyle X\in \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \omega (X,\mathbb {D} )(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|XQ|^{2}}}{\frac {dH^{1}(Q)}{2\pi }}}$ ${\displaystyle E\subset S^{1}}$ ${\displaystyle H^{1}}$ ${\displaystyle d\omega (X,\mathbb {D} )/dH^{1}}$
• より一般的には、がn次元単位球体である場合、 に極を持つ調和測度はすべての に対して成り立ち、 は単位球面上の面測度（( n  − 1)次元ハウスドルフ測度） 、はを表す。${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {B} ^{n}=\{X\in \mathbb {R} ^{n}:|X|<1\}}$ ${\displaystyle X\in \mathbb {B} ^{n}}$ ${\displaystyle \omega (X,\mathbb {B} ^{n})(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|XQ|^{n}}}{\frac {dH^{n-1}(Q)}{\sigma _{n-1}}}}$ ${\displaystyle E\subset S^{n-1}}$ ${\displaystyle H^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle H^{n-1}(S^{n-1})=\sigma _{n-1}}$

• 

  単連結平面領域上の調和測度

  がジョルダン曲線で囲まれた単連結平面領域でX Dの場合、任意の に対して、 は原点をXに送る唯一のリーマン写像、すなわち です。カラテオドリの定理を参照してください。${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \in}$ ${\displaystyle \omega (X,D)(E)=|f^{-1}(E)|/2\pi }$ ${\displaystyle E\subset \partial D}$ ${\displaystyle f:\mathbb {D} \rightarrow D}$ ${\displaystyle f(0)=X}$
• がコッホ雪片で囲まれた領域である場合、長さがゼロ ( ) で完全調和測度であるコッホ雪片 のサブセットが存在する。${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle E\subset \partial D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H^{1}(E)=0}$ ${\displaystyle \omega (X,D)(E)=1}$

拡散の調和測定

領域Dの内部にある点xから始まるR ⁿ値のイトー拡散Xを考えます。この拡散 Xは法則P ^xに従います。XがDから出る点の分布を知りたいとします。例えば、実数直線上の0 から始まる正準ブラウン運動B は、確率 ⁠ で区間(−1, +1) から −1 で出ます。1/2⁠そして確率 +1 で⁠1/2⁠なので、B _{τ (−1, +1)}は集合 {−1, +1} 上に 均一に分布します。

一般に、GがR ⁿ内にコンパクトに埋め込まれている場合、Gの境界∂ G上のXの調和測度（または打撃分布）は、次式で定義される 測度μ _G ^{xである。}

${\displaystyle \mu_{G}^{x}(F)=\mathbf {P}^{x}{\big [}X_{\tau_{G}}\in F{\big ]}}$

x  ∈  GかつF  ⊆ ∂ Gの場合。

ブラウン運動の先ほどの例に戻ると、BがR ⁿのx  ∈  R ⁿから始まるブラウン運動であり、D  ⊂  R ⁿがxを中心とする開球である場合、 Bの∂ D上の調和測度はDのxの周りのすべての回転に対して不変であり、 ∂ D上の正規化された曲面測度と一致することが示せます。

一般的な参考文献

• ガーネット、ジョン・B.、マーシャル、ドナルド・E. (2005). 『調和的尺度』 ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-47018-6。

• Øksendal, Bernt K. (2003).確率微分方程式：応用入門（第6版）. ベルリン: Springer. ISBN 3-540-04758-1。MR  2001996（第7項、第8項、第9項参照）

• カポーニャ、ルカ、ケニグ、カルロス・E、ランツァーニ、ロレダーナ(2005).調和測度：幾何学的および解析的観点. 大学講義シリーズ. 第ULECT/35巻. アメリカ数学会. p. 155. ISBN 978-0-8218-2728-4。

参考文献

1. R. Nevanlinna (1970)、「解析関数」、Springer-Verlag、ベルリン、ハイデルベルク、序論p.3を参照
2. R. Nevanlinna (1934)、「Das harmonische Mass von Punktmengen und seine Anwendung in der Funktionentheorie」、Comptes rendus du huitème congrès des mathématiciens scandinaves、ストックホルム、116–133 ページ。
3. 角谷 誠 (1944). 「 n空間におけるブラウン運動について」 . Proc. Imp. Acad. Tokyo . 20 (9): 648– 652. doi : 10.3792/pia/1195572742 .
4. F. および M. Riesz (1916)、「Über die Randwerte einer Analytischen Funktion」、Quatrième Congrès des Mathématiciens Scandinaves、ストックホルム、27–44 ページ。
5. Makarov, NG (1985). 「等角写像における境界集合の歪みについて」. Proc. London Math. Soc . 3. 52 (2): 369– 384. doi : 10.1112/plms/s3-51.2.369 .
6. Dahlberg, Björn EJ (1977). 「調和音程の推定」. Arch. Rat. Mech. Anal . 65 (3): 275– 288. Bibcode : 1977ArRMA..65..275D . doi : 10.1007/BF00280445 . S2CID 120614580 . 

• P. JonesとT. Wolff、「平面における調和測度のハウスドルフ次元」、Acta. Math. 161 (1988) 131-144 (MR962097)(90j:31001)
• C. Kenig と T. Toro, 調和関数とポアソン核の自由境界正則性, Ann. of Math. 150 (1999)369-454MR 172669992001d:31004)
• C. Kenig, D. Preissand, T. Toro, 「高次元における内外調和測度による境界構造とサイズ」, Jour. of Amer. Math. Soc. vol 22 July 2009, no3,771-796
• SG Krantz著『共形幾何学の理論と実践』ドーバー出版、ミネオラ・ニューヨーク（2016年）、特に第6章の古典的ケース

外部リンク

• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「調和測度」、数学百科事典、EMSプレス