ハートッグスの拡張定理

多変数複素関数の理論において、ハルトッグスの拡大定理は多変数正則関数の特異点に関する定理である。非公式には、このような関数の特異点のサポートはコンパクトにはならず、したがって多変数複素関数の特異点集合は（大まかに言えば）ある方向に「無限に伸びる」必要があることを述べている。より正確には、n > 1の複素変数の解析関数 では、孤立した特異点は常に除去可能な特異点であることを示す。この定理の最初のバージョンは、フリードリヒ ハルトッグス^{[1]によって証明されたため、}ハルトッグスの補題やハルトッグスの原理としても知られている。初期のソビエト文献^[2]では、アーサー バートン ブラウンとウィリアム フォッグ オズグッドによる後の研究を認めて、オズグッド–ブラウン定理とも呼ばれている。^[3]多変数正則関数のこの性質はハートッグスの現象とも呼ばれる。しかし、「ハートッグスの現象」という表現は、ハートッグス型の定理を満たす偏微分方程式や畳み込み方程式の解の性質を識別するためにも使用される。^[4]

歴史的注記

最初の証明は、 1906年にフリードリヒ・ハルトッグスが​​、多変数の複素関数に対するコーシーの積分公式を用いて行った。^[1]今日では、通常の証明は、ボクナー・マルティネリ・コッペルマンの公式か、コンパクトな台を持つ非同次コーシー・リーマン方程式の解に頼っている。後者のアプローチは、論文 (Ehrenpreis 1961) でそれを始めたレオン・エーレンプライスによるものである。この結果のさらに別の非常に簡単な証明は、ガエターノ・フィチェラが論文 (Fichera 1957) で、多変数の正則関数に対するディリクレ問題の解と、関連する CR 関数の概念を用いて行った: ^[5]後に彼は論文 (Fichera 1983) で、この定理を特定のクラスの偏微分演算子に拡張し、彼のアイデアは後にジュリアーノ・ブラッティによってさらに探求された。^[6]偏微分作用素の理論における日本の学派もこのテーマに多くの研究を行っており、特に金子明の貢献は目覚ましい。^{[7]彼らのアプローチは}エーレンプライスの基本原理を利用するものである。

ハートッグス現象

例えば、2つの変数の内部領域を考える。

${\displaystyle H_{\varepsilon }=\{z=(z_{1},z_{2})\in \Delta ^{2}:|z_{1}|<\varepsilon \ \ {\text{or}}\ \ 1-\varepsilon <|z_{2}|\}}$

2次元多円板において${\displaystyle \Delta ^{2}=\{z\in \mathbb {C} ^{2};|z_{1}|<1,|z_{2}|<1\}}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon <1.}$

定理ハルトッグス（1906）：上の任意の正則関数は解析的に に接続できる。すなわち、上の正則関数が存在し、上で ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \Delta^{2}.}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle F=f}$ ${\displaystyle H_{\varepsilon }.}$

このような現象はハートッグスの現象と呼ばれ、このハートッグスの拡大定理と正則性の定義域の概念につながります。

正式な声明と証明

fを集合G  \  K上の正則関数とする。ここでGはC ⁿ ( n ≥ 2 )の開部分集合であり、 KはGのコンパクト部分集合である。補集合G  \  Kが連結であれば、f はG上の唯一の正則関数Fに拡張できる。^[8]

エーレンプライスの証明は、滑らかなバンプ関数の存在、正則関数の一意な接続、そしてポアンカレの補題に基づいている。ポアンカレの補題は、 ∂ ω = 0を満たすC ⁿ上の任意の滑らかでコンパクトに支えられた微分(0,1)形式ωに対して、 ∂ η = ωを満たすC ⁿ上の滑らかでコンパクトに支えられた関数η が存在するというものである。このポアンカレの補題の妥当性には、 n ≥ 2 という重要な仮定が必要である。n = 1の場合、 η がコンパクトに支えられることは一般に不可能である。^[9]

Fの仮定は、 G上の滑らかな関数φとvに対してφ f − vである。このような表現は、 fが未定義（つまりK上）のとき、 φが常にゼロに等しいという条件で意味を持つ。さらに、ある開集合上のfに等しいG上の任意の正則関数が与えられた場合、（ G  \  Kの連結性に基づく）一意接続から、それがG  \  K上のすべてのfに等しいことがわかる。

この関数の正則性は、条件∂ v = f ∂ φと同一である。任意の滑らかな関数φに対して、微分 (0,1)-形式f ∂ φは∂ -閉である。φ を、 K上で恒等的にゼロに等しく、 Gのあるコンパクト部分集合Lの補集合上で恒等的に 1 に等しい滑らかな関数として選ぶと、この (0,1)-形式はさらにコンパクト台を持つので、ポアンカレの補題はコンパクト台の適切なvを識別する。これにより、F はG上の正則関数として定義される。残っているのは、（上記のコメントに従って）それがある開集合上の fと一致することを示すことだけである。

集合C ⁿ  \  L上では、φ が恒等定数であるため、 vは正則である。無限大近傍では零であるため、一意接続を適用して、 G  \  Lのある開集合上では恒等零であることが示される。^[10]したがって、この開集合上では、F はfに等しく、ハートーグの定理の存在部分が証明される。一意性は、 Gの連結性に基づく一意接続から自動的に得られる。

1次元における反例

この定理はn = 1の場合には成立しない。これを理解するには、関数f ( z ) = z ^{−1を考えれば十分である。これは}C  \ {0}では明らかに正則であるが、 C全体では正則関数として継続することはできない。したがって、ハートッグスの現象は、一変数関数論と多変数関数論の違いを浮き彫りにする基本的な現象である。

注記

1. Hartogs (1906)の原著論文と、Osgood (1966, pp. 56–59)、Severi (1958, pp. 111–115)、Struppa (1988, pp. 132–134)による様々な歴史的概説におけるその記述を参照のこと。特に、最後の132ページの参考文献において、著者は明確に次のように述べている。「(Hartogs 1906)のタイトルにも指摘されているように、そして読者もすぐに理解するように、証明における鍵となるのはコーシーの積分公式である。」
2. 例えば、ウラジミロフ (1966、p. 153) では、読者に証明としてフックス (1963、p. 284) の本を参照するよう勧めている (ただし、前者の参考文献では、証明が 324 ページにあると誤って述べられている)。
3. Brown（1936）およびOsgood（1929）を参照。
4. Fichera (1983) および Bratti (1986a) (Bratti 1986b) を参照。
5. フィチェラの証明と彼の画期的な論文 (フィチェラ 1957) は、複数の複素変数の関数の理論の専門家の多くによって見過ごされてきたようです。この分野の多くの重要な定理の正しい帰属については、Range (2002) を参照してください。
6. Bratti (1986a) (Bratti 1986b)を参照。
7. 彼の論文（金子 1973）とその中の参考文献を参照。
8. ヘルマンダー、1990 年、定理 2.3.2。
9. ヘルマンダー 1990、30ページ。
10. C ⁿ  \  Lの任意の連結成分は、空でない開集合においてG  \  Lと交わる必要がある。空でないことを確認するには、 C ⁿ  \  Lの任意の点p をLの任意の点に直線で結ぶ。この直線とC ⁿ  \  Lの交点には複数の連結成分が存在する可能性があるが、 pを含む成分はpからG  \  Lへの連続した経路を与える。

参考文献

歴史的参照

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• オズグッド、ウィリアム・フォッグ（1966）[1913]、「多変数関数理論の話題」（完全版・訂正版）、ニューヨーク：ドーバー、pp. IV+120、JFM  45.0661.02、MR  0201668、Zbl  0138.30901。
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• セヴェリ、フランチェスコ(1958 年)、Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse – Tenute nel 1956 ～ 1957 年、ローマのアルタ マテマティカ国立研究所(イタリア語)、パドバ: CEDAM – Casa Editrice Dot。アントニオ・ミラニ、Zbl  0094.28002本書のタイトルは「複素変数の解析関数に関する講義 ― 1956年から1957年にかけてローマの国立高等数学研究所で行われた講義」です。本書は、フランチェスコ・セヴェリが国立高等数学研究所（現在は彼の名を冠しています）で行った講義の講義ノートで構成されており、エンツォ・マルティネッリ、ジョヴァンニ・バッティスタ・リッツァ、マリオ・ベネディクティによる付録が含まれています。
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科学的参考文献

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外部リンク

• Chirka, EM (2001) [1994]、「ハートッグスの定理」、数学百科事典、EMSプレス
• 「1次元におけるハートッグスの定理の破綻」。PlanetMath 。
• PlanetMathにおける Hartogs の定理。
• PlanetMathにおける Hartogs の定理の証明。