数学において、有限体F上の非特異代数曲線Cのハッセ・ウィット行列 Hは、第一種微分方程式の基底に関するフロベニウス写像 （p乗写像、ただしFはq個の元を持ち、q は素数pのべき乗）の行列である。これはg × g行列であり、 Cの種数はgである。ハッセ・ウィット行列の階数はハッセ不変量またはハッセ・ウィット不変量である。
定義へのアプローチ
この定義は、序論で述べたように、古典的に自然であり、ヘルムート・ハッセとエルンスト・ウィット（1936）によるものである。これは、 Cのヤコビ多様体Jのp階数の問題に対する解を与える。p階数はHの階数によって制限され、具体的には、フロベニウス写像を自身とg回合成した時の階数である。また、これは原理的にアルゴリズム的な定義でもある。近年、この定義は暗号への実用的応用として大きな関心を集めており、Cは超楕円曲線である。曲線Cは、 H = 0のとき超特殊である。
この定義には、少なくともいくつかの注意点があります。まず、フロベニウス写像に関する慣例があり、現代の理解では、Hに必要なのはフロベニウスの転置写像です（詳細は算術的および幾何学的フロベニウスの項を参照）。次に、フロベニウス写像はF線型ではなく、 Fの素体 Z / p Z上で線型です。したがって、行列は書き下すことはできますが、直接的な意味での線型写像を表すものではありません。
コホモロジー
層コホモロジーの解釈は次のようになる：p冪写像は
- H 1 ( C , O C )、
あるいは、Cの構造層に係数を持つ最初のコホモロジーである。これは現在、ピエール・カルティエとユーリ・マナンにちなんで、カルティエ・マナン作用素（カルティエ作用素と呼ばれることもある）と呼ばれている。ハッセ・ウィット定義との関連は、セール双対性によっており、曲線に対してこの群を次の関係に関連付ける。
- H 0 ( C , Ω C )
ここで、Ω C = Ω 1 CはC上のケーラー微分層です。
アーベル多様体とそのp-ランク
特性 pの体K上のアーベル多様体Aのp階数は、 pによる乗算の核A [ p ] がp k点を持つような整数kです。これは 0 からAの次元dまでの任意の値を取ります。対照的に、他の任意の素数lに対しては、 A [ l ] にはl 2 d点があります。 p階数が低い理由は、 A上のpによる乗算が分離不可能な同種写像であるためです。つまり、微分はpであり、これはKでは 0 です。核をグループ スキームとして見ると、より完全な構造を得ることができます ( David Mumford Abelian Varieties pp. 146–7 を参照)。ただし、たとえば除算方程式の p を法とする簡約を見ると、解の数は減少するはずです。
したがって、カルティエ・マナン作用素、あるいはハッセ・ウィット行列の階数は、 p階数の上限を与える。p階数は、フロベニウス作用素の階数をg回自身と合成したものである。ハッセとウィットの原著論文では、この問題は J に依存せず、 C に固有の用語で表現されている。そこでは、関数体 F ( C ) （この場合、クンマー理論の類似物）の可能なアルティン・シュライアー 拡大を分類することが問題となる。
属1の場合
楕円曲線の場合は、1934 年にハッセが解決しました。種数が 1 であるため、行列Hの可能性は、 Hが 0、ハッセ不変量 0、pランク 0、超特異ケース、またはHが0 以外、ハッセ不変量 1、pランク 1、通常のケースの 2 つだけです。[1] ここで、少なくともq = pのときは、 Hはpを法としてC上の点の数Nと合同であるという合同式があります。楕円曲線に関するハッセの定理により、pを法とするNがわかれば、 p ≥ 5 の場合のNが決定します。この局所ゼータ関数との関連は、詳細に調査されてきました。
3次曲線f ( X , Y , Z ) = 0で定義される平面曲線の場合、ハッセ不変量はf p −1における( XYZ ) p −1の係数が0の場合にのみ0になる。[1]
注記
- ^ ab ハーツホーン、ロビン(1977).代数幾何学.大学院数学テキスト. 第52巻.シュプリンガー出版社. p. 332. ISBN 0-387-90244-9. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
参考文献
- ハッセ、ヘルムート (1934)。 "Existenz separabler zyklischer unverzweigter Erweiterungskörper vom Primzahlgrad p über elliptischen Funktionenkörpern der Charakteristik p "。数学に関するジャーナル。172 : 77–85 .土井:10.1515/crll.1935.172.77。JFM 60.0910.02。Zbl 0010.14803。
- ハッセ、ヘルムート。ウィット、エルンスト (1936)。 "Zyklische unverzweigte Erweiterungskörper vom Primzahlgrad p über einem algebraischen Funktionenkörper der Charakteristik p "。数学と物理学のモナトシェフ。43 : 477–492 .土井:10.1515/9783110835007.202。JFM 62.0112.01。Zbl 0013.34102。
- マニン, Ju. I. (1965). 「代数曲線のハッセ・ウィット行列」.翻訳, シリーズ2, アメリカ数学協会. アメリカ数学会翻訳シリーズ2. 45 : 245– 246. doi :10.1090/trans2/045/16. ISBN 978-0-8218-1745-2。ISSN 0065-9290。Zbl 0148.28002。（ロシア語原文の英語訳）
